Contrarrecíproca

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es la contrarrecíproca de $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
Respuesta: $\neg q \to \neg p$
La contrarrecíproca intercambia y niega: $\neg q \to \neg p$ . La opción $q \to p$ es la recíproca y $\neg p \to \neg q$ es la inversa.
2.
Regla: si un número es múltiplo de $4$ , entonces es par. Su contrarrecíproca dice: si un número no es par, entonces no es múltiplo de $4$ . ¿Cuál de los números $12$ , $15$ , $20$ , $28$ puedes descartar solo con la contrarrecíproca?
Respuesta: 15
$15$ es el único número impar de la lista. No es par, así que por la contrarrecíproca no es múltiplo de $4$ . Los otros tres son pares, así que la contrarrecíproca no dice nada de ellos (de hecho, $12$ , $20$ y $28$ son todos múltiplos de $4$ ).
3.
Regla: si un número es divisible entre $10$ , entonces su última cifra es $0$ . Usa la contrarrecíproca para decidir si $7345$ es divisible entre $10$ .
Respuesta: 5
1. ¿Cuál es la última cifra de $7345$ ? 5
2. La última cifra no es $0$ , así que por la contrarrecíproca $7345$ no es divisible entre $10$ . ¿Cuál es el resto de $7345 \div 10$ ? 5
4.
¿Qué proposición es la contrarrecíproca de "Si un número termina en $5$ , entonces es divisible entre $5$ "?
1. a)Si un número no es divisible entre $5$ , entonces no termina en $5$ .
2. b)Si un número es divisible entre $5$ , entonces termina en $5$ .
3. c)Si un número no termina en $5$ , entonces es divisible entre $5$ .
4. d)Si un número no termina en $5$ , entonces no es divisible entre $5$ .
Respuesta: Si un número no es divisible entre $5$ , entonces no termina en $5$ .
Intercambiar y negar: "Si un número no es divisible entre $5$ , entonces no termina en $5$ ." La primera opción es la recíproca y la segunda la inversa (falsa: $10$ no termina en $5$ pero es divisible entre $5$ ).
5.
Un condicional es verdadero. Aparte de la propia proposición, ¿cuántas de las otras tres proposiciones relacionadas (recíproca, inversa, contrarrecíproca) son seguro verdaderas también?
Respuesta: 1
Solo la contrarrecíproca está garantizada, así que la respuesta es $1$ . La recíproca y la inversa pueden ser verdaderas o falsas; siempre coinciden entre sí, pero no necesariamente con la proposición original.
6.
Proposición: si $x = 3$ , entonces $2x = 6$ . Su contrarrecíproca es: si $2x \ne 6$ , entonces $x \ne 3$ . Sabes que $2x = 14$ . Demuestra que $x$ no es $3$ y halla $x$ .
Respuesta: 7
1. ¿Cuánto es $2 \times 3$ ? 6
2. $14 \ne 6$ , así que por la contrarrecíproca $x \ne 3$ . Resuelve $2x = 14$ : ¿cuánto vale $x$ ? 7
7.
Se sabe que un condicional $p \to q$ es verdadero. ¿Qué proposición relacionada tiene que ser verdadera también?
1. a)La inversa $\neg p \to \neg q$
2. b)La contrarrecíproca $\neg q \to \neg p$
3. c)La recíproca $q \to p$
4. d)Ninguna de ellas
Respuesta: La contrarrecíproca $\neg q \to \neg p$
La contrarrecíproca es lógicamente equivalente a la proposición original, así que tiene que ser verdadera. La recíproca y la inversa pueden ser falsas, por ejemplo con "Si una figura es un cuadrado, entonces tiene cuatro ángulos rectos".
8.
Usa $1$ para verdadero y $0$ para falso. En la fila de la tabla de verdad con $p = 1$ y $q = 0$ , halla los valores de la contrarrecíproca y de la proposición original.
Respuesta: 0
1. ¿Cuál es el valor de $\neg q$ ? 1
2. ¿Cuál es el valor de $\neg p$ ? 0
3. ¿Cuál es el valor de $\neg q \to \neg p$ ? 0
4. ¿Cuál es el valor de $p \to q$ ? 0
9.
Una tabla de verdad de $\neg q \to \neg p$ tiene $4$ filas. ¿En cuántas de esas filas es verdadero $\neg q \to \neg p$ ?
Respuesta: 3
$\neg q \to \neg p$ solo es falso cuando $\neg q$ es verdadero y $\neg p$ es falso, es decir, cuando $p$ es verdadero y $q$ es falso. Eso es $1$ fila, así que es verdadero en $3$ filas, exactamente como $p \to q$ .
10.
Usa $1$ para verdadero y $0$ para falso. En la fila con $p = 0$ y $q = 1$ , la proposición original $p \to q$ vale $1$ . Halla la contrarrecíproca y la recíproca en esta fila.
Respuesta: 0
1. ¿Cuál es el valor de $\neg q$ ? 0
2. ¿Cuál es el valor de $\neg p$ ? 1
3. ¿Cuál es el valor de la contrarrecíproca $\neg q \to \neg p$ ? 1
4. ¿Cuál es el valor de la recíproca $q \to p$ ? 0
11.
En la fila de la tabla de verdad donde $p$ es verdadero y $q$ es falso, ¿qué valores tienen $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ ?
1. a)Los dos son falsos
2. b) $p \to q$ es verdadero, $\neg q \to \neg p$ es falso
3. c) $p \to q$ es falso, $\neg q \to \neg p$ es verdadero
4. d)Los dos son verdaderos
Respuesta: Los dos son falsos
$p \to q$ va de verdadero a falso, así que es falso. $\neg q$ es verdadero y $\neg p$ es falso, así que $\neg q \to \neg p$ también va de verdadero a falso y es falso. Los dos son falsos.
12.
Regla: si un número es múltiplo de $6$ , entonces es múltiplo de $3$ . Para demostrar con la contrarrecíproca que $50$ no es múltiplo de $6$ , compruebas que $50$ no es múltiplo de $3$ . ¿Cuál es el resto al dividir $50$ entre $3$ ?
Respuesta: 2
$50 = 3 \times 16 + 2$ , así que el resto es $2$ . Como $50$ no es múltiplo de $3$ , la contrarrecíproca nos dice que tampoco es múltiplo de $6$ .
13.
Regla: si un número es divisible entre $3$ , entonces la suma de sus cifras es divisible entre $3$ . Usa la contrarrecíproca para decidir si $2471$ es divisible entre $3$ .
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto suman las cifras de $2471$ ? 14
2. ¿Cuál es el resto al dividir $14$ entre $3$ ? 2
3. La suma de las cifras no es divisible entre $3$ , así que $2471$ no es divisible entre $3$ . ¿Cuál es el resto de $2471 \div 3$ ? 2
14.
Proposición original: "Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 16$ ." ¿Cuáles de las cuatro proposiciones relacionadas (original, recíproca, inversa, contrarrecíproca) son verdaderas?
1. a)Las cuatro
2. b)La original y la contrarrecíproca
3. c)La recíproca y la inversa
4. d)La original y la recíproca
Respuesta: La original y la contrarrecíproca
La proposición original es verdadera, así que la contrarrecíproca "Si $x^2 \ne 16$ , entonces $x \ne 4$ " es verdadera. La recíproca "Si $x^2 = 16$ , entonces $x = 4$ " es falsa por $x = -4$ , y también la inversa "Si $x \ne 4$ , entonces $x^2 \ne 16$ ", con el mismo contraejemplo.
15.
La proposición "Si $3x + 2 > 20$ , entonces $x > 6$ " es verdadera. Su contrarrecíproca es "Si $x \le 6$ , entonces $3x + 2 \le 20$ ." Comprueba la contrarrecíproca para $x = 6$ y $x = 5$ .
Respuesta: 17
1. Halla el valor límite: resuelve $3x + 2 = 20$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 6
2. ¿Cuánto vale $3x + 2$ para $x = 6$ ? 20
3. ¿Cuánto vale $3x + 2$ para $x = 5$ ? 17
16.
La contrarrecíproca de "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" es "Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar." Compruébala para $n = 13$ : escribe $13^2$ en la forma $2m + 1$ . ¿Cuánto vale $m$ ?
Respuesta: 84
$13^2 = 169 = 2 \times 84 + 1$ , así que $m = 84$ y $169$ es impar. Con $n = 2k + 1$ y $k = 6$ , la fórmula general también da $m = 2k^2 + 2k = 72 + 12 = 84$ .
17.
Para ver por qué se cumple "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par", comprueba su contrarrecíproca "Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar" para $n = 9$ , usando la forma $n = 2k + 1$ .
Respuesta: 40
1. Escribe $9 = 2k + 1$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 4
2. ¿Cuánto vale $n^2$ para $n = 9$ ? 81
3. Escribe $81 = 2m + 1$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 40
18.
Para números enteros $a, b \ge 0$ : "Si $a + b \ge 10$ , entonces $a \ge 5$ o $b \ge 5$ ." Su contrarrecíproca es "Si $a < 5$ y $b < 5$ , entonces $a + b < 10$ ." Halla el mayor valor posible de $a + b$ cuando $a < 5$ y $b < 5$ .
Respuesta: 8
1. ¿Cuál es el mayor número entero $a$ con $a < 5$ ? 4
2. ¿Cuál es el mayor número entero $b$ con $b < 5$ ? 4
3. ¿Cuál es el mayor valor posible de $a + b$ ? 8