Guía del profesor: Contrarrecíproca

Aprende a formar la contrarrecíproca de un enunciado condicional "si... entonces", por qué siempre tiene el mismo valor de verdad que la proposición original y cómo usarla para razonar con números.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Formar la contrarrecíproca de un condicional intercambiando y negando las dos partes
Usar una tabla de verdad para demostrar que una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes
Escribir juntas la original, la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca e identificar qué parejas coinciden
Negar proposiciones correctamente, incluidas desigualdades y dobles negaciones
Usar la contrarrecíproca para razonar con números, por ejemplo sobre divisibilidad y paridad

Requisitos previos

• Enunciados condicionales: hipótesis, conclusión y cuándo un condicional es verdadero (lección «Enunciados condicionales (si... entonces)»)
• Recíproca e inversa de un condicional (lección «Recíproca e inversa»)
• Las tablas de verdad y la negación NO (lecciones «Tablas de verdad» y «La operación NO»)
• Criterios de divisibilidad entre 3, 9 y 10, y números pares e impares

Iniciadores de discusión

1. "Si vives en París, entonces vives en Francia." ¿Qué puedes concluir de alguien que no vive en Francia?
2. ¿Por qué intercambiar Y negar conserva el significado de una proposición, mientras que hacer solo una de las dos cosas puede cambiarlo?
3. ¿Encuentras una proposición verdadera cuya recíproca también sea verdadera? ¿Contradice eso la regla de que la recíproca no es equivalente?
4. ¿Por qué una matemática podría preferir trabajar con la contrarrecíproca en lugar de con la proposición original?

Conceptos erróneos comunes

La contrarrecíproca y la inversa son lo mismo porque las dos usan "no"

Remediación: Ponlas una al lado de la otra con el mismo ejemplo (cuadrados y rectángulos) y pide a los alumnos que encuentren un contraejemplo a la inversa. Insiste en que el orden de las partes importa.

Una proposición que se cumple en muchos ejemplos tiene una recíproca verdadera

Remediación: Usa ejemplos con números como "Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 16$ " y pide que busquen un contraejemplo a la recíproca. Basta un solo contraejemplo para que sea falsa.

La negación de "mayor que" es "menor que"

Remediación: Dibuja una recta numérica y sombrea $x > 5$ . Pregunta qué queda sin sombrear: todo hasta $5$ incluido, así que la negación es $x \le 5$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con proposiciones cotidianas (lluvia y calles mojadas) antes de usar símbolos
• Dar una plantilla: Si no ___, entonces no ___, y pedir que rellenen primero la conclusión
• Marcar con colores la hipótesis y la conclusión para que el intercambio se vea

Para estudiantes de nivel:

• Escribir las cuatro proposiciones relacionadas de criterios de divisibilidad y decidir cuáles son verdaderas
• Completar tablas de verdad de p implica q, su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca
• Usar contrarrecíprocas para descartar números en acertijos de divisibilidad

Para estudiantes avanzados:

• Explicar con la contrarrecíproca por qué si n al cuadrado es par, entonces n es par
• Formar contrarrecíprocas de proposiciones con y y o, usando las leyes de De Morgan
• Comparar la contrarrecíproca y la reducción al absurdo con la misma proposición

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión
HSG.CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos (estas demostraciones se basan en enunciados condicionales)

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos exploran las tablas de NO y de IMPLICA, y luego las usan para construir la columna de no q implica no p y compararla con la de p implica q
activityClasificación de tarjetas: cuatro proposiciones
Los grupos clasifican tarjetas en original, recíproca, inversa y contrarrecíproca y marcan cada una como verdadera o falsa
worksheetDetective de números con la contrarrecíproca
Usar contrarrecíprocas de criterios de divisibilidad para descartar números sin dividir

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La contrarrecíproca de un enunciado condicional "Si

p

, entonces

q

" (

p \to q

) es la proposición "Si no

q

, entonces no

p

\neg q \to \neg p

Para construirla haces dos cosas: intercambias la hipótesis y la conclusión, y niegas las dos.

Dato clave: una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes. Siempre son las dos verdaderas o las dos falsas. La tabla de verdad lo muestra fila por fila (V = verdadero, F = falso):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Las dos últimas columnas son idénticas, así que escribimos

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La tabla interactiva de esta lección lo comprueba por ti: su última columna,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vale V en todas las filas.)

Las cuatro proposiciones relacionadas con

p \to q

Original: $p \to q$
Recíproca: $q \to p$ (solo intercambiar)
Inversa: $\neg p \to \neg q$ (solo negar)
Contrarrecíproca: $\neg q \to \neg p$ (intercambiar y negar)

La original y la contrarrecíproca siempre coinciden. La recíproca y la inversa también coinciden siempre entre sí, porque la inversa es la contrarrecíproca de la recíproca.

Ejemplos resueltos

Escribe la contrarrecíproca de: "Si un número es divisible entre $10$ , entonces termina en $0$ ."

Identifica la hipótesis $p$ y la conclusión $q$

$p$ : un número es divisible entre $10$ . $q$ : termina en $0$ . → Dos partes encontradas

Niega las dos partes

$\neg p$ : el número no es divisible entre $10$ . $\neg q$ : no termina en $0$ . → Las dos partes negadas

Intercambia el orden y escribe $\neg q \to \neg p$

Pon primero la conclusión negada y después la hipótesis negada. → Si un número no termina en $0$ , entonces no es divisible entre $10$ .

Respuesta: Si un número no termina en $0$ , entonces no es divisible entre $10$ . Igual que la original, esta proposición es verdadera: por ejemplo, $73$ no termina en $0$ y $73 \div 10 = 7{,}3$ no es un número entero.

Errores comunes

Solo intercambiar las partes y llamar contrarrecíproca a $q \to p$

Por qué está mal: Intercambiar sin negar da la recíproca, que puede ser falsa aunque la original sea verdadera.

Correcto: Intercambia y niega las dos partes: la contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$ .

Negar " $x > 5$ " como " $x < 5$ "

Por qué está mal: Se olvida el caso $x = 5$ . Todo número es mayor que $5$ o no es mayor que $5$ , y "no mayor" incluye al propio $5$ .

Correcto: La negación de $x > 5$ es $x \le 5$ , y la negación de $x \ge 5$ es $x < 5$ .

Suponer que la recíproca de una proposición verdadera también es verdadera

Por qué está mal: "Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 16$ " es verdadera, pero "Si $x^2 = 16$ , entonces $x = 4$ " es falsa, porque $x = -4$ también sirve.

Correcto: Solo la contrarrecíproca tiene garantizado el mismo valor de verdad que la original. La recíproca hay que comprobarla aparte.

Perderse en las dobles negaciones

Por qué está mal: Para "Si no llueve, entonces voy andando al colegio", hay quien escribe "Si no voy andando, entonces no no llueve" o se le escapa una negación por error.

Correcto: La negación de "no llueve" es "llueve". La contrarrecíproca es: "Si no voy andando al colegio, entonces llueve."

Por qué es importante

La contrarrecíproca te da una segunda puerta para entrar en la misma proposición, y a veces esa puerta se abre mucho más fácilmente:

Números: para demostrar que $2750$ no es divisible entre $6$ , basta con ver que no es divisible entre $3$
Comprobar tu trabajo: si una respuesta correcta tiene que ser un número entero y te sale $4{,}5$ , sabes que algo ha fallado
Programas informáticos: "Si la contraseña es correcta, la puerta se abre." La puerta siguió cerrada, así que la contraseña era incorrecta
Demostraciones: más adelante demostrarás proposiciones como "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" demostrando su contrarrecíproca

Saber qué proposiciones relacionadas coinciden también te protege de un error muy común: suponer que la recíproca de una proposición verdadera tiene que ser verdadera.

Aplicaciones del mundo real

Criterios de divisibilidad y dígitos de control

Muchos códigos y comprobaciones rápidas de cálculo mental se basan en criterios de divisibilidad, y la contrarrecíproca permite descartar un número sin dividir.

Ejemplo:

Regla: si un número es divisible entre $9$ , la suma de sus cifras es divisible entre $9$ . La suma de las cifras de $5812$ es $16$ , así que $5812$ no puede ser divisible entre $9$ .

1Inténtalo tú mismo

Regla: si un número es divisible entre $9$ , entonces la suma de sus cifras es divisible entre $9$ . Un empleado comprueba el número de código $4372$ .

¿Es $4372$ divisible entre $9$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la suma de las cifras de $4372$ como una suma:

Reglas de envío gratis

Las tiendas en línea suelen tener reglas como "Si tu pedido es de 50 dólares o más, el envío es gratis." La contrarrecíproca te dice qué significa un gasto de envío en tu factura.

Ejemplo:

Contrarrecíproca: si pagaste el envío, tu pedido era de menos de 50 dólares. Una factura con gastos de envío demuestra que el pedido no llegaba al límite.

2Inténtalo tú mismo

Regla: si un pedido suma 50 dólares o más, el envío es gratis. Anna pagó gastos de envío. En su cesta había un libro de 18 dólares y una lámpara de 27 dólares.

¿Cuál fue el total de su pedido y cuánto le faltó para tener envío gratis?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el total del pedido como una suma:

Leer la clasificación de una liga

Los aficionados al deporte usan la contrarrecíproca para descartar cosas a partir de la clasificación sin ver todos los partidos.

Ejemplo:

En una liga con $3$ puntos por victoria, $1$ por empate y $0$ por derrota: si un equipo ganó sus $5$ partidos, tiene $15$ puntos. Un equipo con menos de $15$ puntos no ganó todos los partidos.

3Inténtalo tú mismo

Regla: si un equipo gana sus $5$ partidos, entonces tiene $15$ puntos ( $3$ por victoria, $1$ por empate, $0$ por derrota). El equipo Azul tiene $13$ puntos después de $5$ partidos.

¿Ganó el equipo Azul todos sus partidos? ¿Cuántos partidos pudo ganar como máximo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe los puntos de $5$ victorias como una multiplicación:

Puntos clave

1La contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$ : intercambia las dos partes y niega las dos
2Una proposición y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes: siempre son las dos verdaderas o las dos falsas
3La tabla de verdad lo muestra: $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ solo son falsas en la fila $p$ verdadero, $q$ falso
4La recíproca $q \to p$ y la inversa $\neg p \to \neg q$ coinciden entre sí, pero no necesariamente con la original
5Niega con cuidado: lo contrario de $x > 5$ es $x \le 5$ , y lo contrario de impar es par
6Cuando una proposición es difícil de comprobar directamente, comprueba su contrarrecíproca, por ejemplo "si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar"

Preguntas frecuentes

¿Por qué la contrarrecíproca siempre es verdadera cuando la original es verdadera?

La proposición

p \to q

dice: siempre que ocurre

p

, ocurre

q

. Entonces, si

q

no ocurrió,

p

tampoco pudo ocurrir, porque si no

q

habría seguido. Eso es exactamente

\neg q \to \neg p

. La tabla de verdad lo confirma en los cuatro casos.

¿Qué diferencia hay entre la inversa y la contrarrecíproca?

Las dos niegan las dos partes, pero la inversa mantiene el orden (

\neg p \to \neg q

) mientras que la contrarrecíproca además lo intercambia (

\neg q \to \neg p

). La contrarrecíproca es equivalente a la original; la inversa es equivalente a la recíproca.

Si la proposición original es falsa, ¿la contrarrecíproca también es falsa?

Sí. Son equivalentes, así que siempre tienen el mismo valor de verdad. "Si un número es par, entonces es divisible entre

4

" es falsa (

6

es un contraejemplo), y también lo es "Si un número no es divisible entre

4

, entonces no es par", con el mismo contraejemplo

6

¿La contrarrecíproca es lo mismo que una demostración por reducción al absurdo?

No. Con la contrarrecíproca demuestras directamente

\neg q \to \neg p

en lugar de

p \to q

. Una reducción al absurdo supone que toda la proposición es falsa y llega a un resultado imposible. Los dos métodos aparecen en el tema de demostraciones.

Glosario

Contrarrecíproca: La proposición $\neg q \to \neg p$ que se obtiene de $p \to q$ intercambiando y negando las dos partes
Recíproca: La proposición $q \to p$ , que se obtiene intercambiando la hipótesis y la conclusión
Inversa: La proposición $\neg p \to \neg q$ , que se obtiene negando la hipótesis y la conclusión sin intercambiarlas
Negación: Lo contrario de una proposición, escrito $\neg p$ ; es verdadera exactamente cuando $p$ es falsa
Lógicamente equivalentes: Dos proposiciones que tienen el mismo valor de verdad en cada fila de una tabla de verdad, se escribe con $\equiv$

Tarjeta de fórmulas

Contrarrecíproca

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Intercambiar y negar las dos partes; siempre equivalente a la original

Recíproca e inversa

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Equivalentes entre sí, pero no necesariamente a la original

Negar desigualdades

\neg(x > a) \iff x \le a

La negación de "mayor que" es "menor o igual que"

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Para estudiantes de nivel:

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Errores comunes

Por qué es importante

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Leer la clasificación de una liga

Puntos clave

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Tarjeta de fórmulas

Contrarrecíproca

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