Recíproca e inversa

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es la recíproca del enunciado condicional $p \to q$ ?
1. a) $q \to p$
2. b) $\neg q \to \neg p$
3. c) $p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to \neg q$
Respuesta: $q \to p$
La recíproca intercambia las dos partes: $q \to p$ . El enunciado $\neg p \to \neg q$ es la inversa, y $\neg q \to \neg p$ es la contrarrecíproca, que verás en la próxima lección.
2.
El enunciado Si $x = 5$ , entonces $x^2 = 25$ es verdadero. Su recíproca, Si $x^2 = 25$ , entonces $x = 5$ , es falsa. ¿Qué número negativo es un contraejemplo de la recíproca?
Respuesta: -5
$(-5)^2 = 25$ , así que $x^2 = 25$ es verdadero para $x = -5$ , pero $x = 5$ es falso. Un contraejemplo demuestra que la recíproca es falsa.
3.
Original: Si $x = 2$ , entonces $3x = 6$ . ¿Es también verdadera la recíproca, Si $3x = 6$ , entonces $x = 2$ ? Hazlo paso a paso.
Respuesta: 1
1. Comprueba el original: ¿cuánto es $3 \times 2$ ? 6
2. Resuelve $3x = 6$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 2
3. ¿Cuántos valores de $x$ cumplen $3x = 6$ ? 1
4.
¿Cuál es la inversa de: Si una figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo?
1. a)Si una figura no es un rectángulo, entonces no es un cuadrado
2. b)Si una figura es un rectángulo, entonces es un cuadrado
3. c)Si una figura no es un cuadrado, entonces no es un rectángulo
4. d)Si una figura es un cuadrado, entonces no es un rectángulo
Respuesta: Si una figura no es un cuadrado, entonces no es un rectángulo
La inversa niega las dos partes y mantiene el orden: Si una figura no es un cuadrado, entonces no es un rectángulo. Es falsa: un rectángulo de 5 cm por 3 cm no es un cuadrado, pero sí es un rectángulo.
5.
Recíproca: Si un número es par, entonces es divisible entre 4. ¿Qué número par entre 5 y 7 demuestra que esta recíproca es falsa?
Respuesta: 6
6 es par, pero $6 \div 4 = 1{,}5$ , así que 6 no es divisible entre 4. La hipótesis es verdadera y la conclusión falsa, así que 6 es un contraejemplo.
6.
Original: Si $x = 6$ , entonces $x^2 = 36$ . Encuentra un contraejemplo de la recíproca, Si $x^2 = 36$ , entonces $x = 6$ .
Respuesta: -6
1. ¿Cuánto es $6^2$ ? 36
2. ¿Cuánto es $(-6)^2$ ? 36
3. ¿Qué valor de $x$ cumple $x^2 = 36$ pero $x \neq 6$ ? -6
7.
Original: Si un número es múltiplo de 10, entonces es múltiplo de 5. ¿La recíproca es verdadera o falsa?
1. a)Falsa, porque 20 es múltiplo de 10
2. b)Verdadera, porque el original es verdadero
3. c)Verdadera, porque todo múltiplo de 5 es múltiplo de 10
4. d)Falsa, porque 15 es múltiplo de 5 pero no de 10
Respuesta: Falsa, porque 15 es múltiplo de 5 pero no de 10
La recíproca es: Si un número es múltiplo de 5, entonces es múltiplo de 10. 15 es múltiplo de 5, pero $15 \div 10 = 1{,}5$ , así que la recíproca es falsa. Que el original sea verdadero no dice nada sobre la recíproca.
8.
Original: Si un número es múltiplo de 9, entonces es múltiplo de 3. Su recíproca es falsa. ¿Cuál es el menor múltiplo de 3 de dos cifras que no es múltiplo de 9?
Respuesta: 12
Los múltiplos de 3 de dos cifras empiezan por 12, 15, 18. Como $12 \div 9$ no es un número entero, 12 es múltiplo de 3 pero no de 9. Hace fallar la recíproca, Si un número es múltiplo de 3, entonces es múltiplo de 9.
9.
Original: Si un número es divisible entre 4, entonces es divisible entre 2. Comprueba la inversa, Si un número no es divisible entre 4, entonces no es divisible entre 2, con el número 10.
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el resto al dividir 10 entre 4? 2
2. ¿Cuánto es $10 \div 2$ ? 5
3. 10 no es divisible entre 4, pero sí entre 2. ¿Cuántos contraejemplos necesitas para demostrar que la inversa es falsa? 1
10.
La recíproca de un enunciado condicional es falsa. ¿Qué puedes decir de su inversa?
1. a)Es verdadera
2. b)Puede ser verdadera o falsa
3. c)Es falsa
4. d)Es igual que el original
Respuesta: Es falsa
La recíproca y la inversa siempre tienen el mismo valor de verdad: sus columnas en la tabla de verdad son iguales. Así que, si la recíproca es falsa, la inversa también lo es.
11.
¿En cuántas de las cuatro filas de la tabla de verdad tienen $p \to q$ y su recíproca $q \to p$ valores de verdad distintos?
Respuesta: 2
$p \to q$ solo es falso en la fila $p$ verdadero, $q$ falso. $q \to p$ solo es falso en la fila $p$ falso, $q$ verdadero. En esas 2 filas los valores son distintos, en las otras 2 los dos son verdaderos.
12.
Halla el valor de la recíproca $q \to p$ en la fila en la que $p$ es falso y $q$ es verdadero. Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 0
1. ¿Qué valor tiene $q$ en esta fila (1 o 0)? 1
2. ¿Qué valor tiene $p$ en esta fila (1 o 0)? 0
3. Un enunciado condicional solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa. ¿Cuánto vale aquí $q \to p$ (1 o 0)? 0
13.
Original: Si $x > 5$ , entonces $x > 3$ . Comprueba la recíproca, Si $x > 3$ , entonces $x > 5$ , con números enteros.
Respuesta: 2
1. ¿Cuál es el menor número entero mayor que 3? 4
2. ¿Es $4 > 5$ ? Escribe 1 para sí y 0 para no. 0
3. ¿Cuántos números enteros son mayores que 3 pero no mayores que 5? 2
14.
¿Qué enunciado se puede escribir como un bicondicional verdadero (si y solo si)?
1. a)Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 16$
2. b)Si una figura es un cuadrado, entonces tiene cuatro lados
3. c)Si un triángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ , entonces es rectángulo
4. d)Si un número es múltiplo de 4, entonces es par
Respuesta: Si un triángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ , entonces es rectángulo
Solo el enunciado del triángulo rectángulo es verdadero en los dos sentidos, porque es la definición de triángulo rectángulo. Las demás tienen recíprocas falsas: $x = -4$ da $x^2 = 16$ , 6 es par pero no es múltiplo de 4, y un rectángulo de 5 cm por 3 cm tiene cuatro lados pero no es un cuadrado.
15.
Original: Si $x > 4$ , entonces $x^2 > 16$ . Su recíproca es: Si $x^2 > 16$ , entonces $x > 4$ . Encuentra el contraejemplo entero de la recíproca más cercano a cero.
Respuesta: -5
Un contraejemplo necesita $x^2 > 16$ y $x \le 4$ . Para $x = -4$ sale $(-4)^2 = 16$ , que no es mayor que 16. Para $x = -5$ sale $(-5)^2 = 25 > 16$ , pero $-5$ no es mayor que 4. Así que $-5$ es el contraejemplo más cercano a cero.
16.
Original: Si un número es múltiplo de 3, entonces es múltiplo de 6. Demuestra que el original es falso pero la recíproca es verdadera.
Respuesta: 2
1. ¿Cuál es el resto al dividir 9 entre 6? 3
2. 12 es múltiplo de 6. ¿Cuánto es $12 \div 3$ ? 4
3. Todo múltiplo de 6 se puede escribir como $6k = 3 \times 2k$ . ¿Cuánto es $6 \div 3$ ? 2
17.
Compara la recíproca $q \to p$ y la inversa $\neg p \to \neg q$ en la tabla de verdad. Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 4
1. Fila $p = 1$ , $q = 0$ : ¿cuánto vale $q \to p$ , es decir, $0 \to 1$ ? 1
2. Misma fila: $\neg p = 0$ y $\neg q = 1$ . ¿Cuánto vale $\neg p \to \neg q$ , es decir, $0 \to 1$ ? 1
3. Fila $p = 0$ , $q = 1$ : ¿cuánto vale $q \to p$ , es decir, $1 \to 0$ ? 0
4. Misma fila: $\neg p = 1$ y $\neg q = 0$ . ¿Cuánto vale $\neg p \to \neg q$ , es decir, $1 \to 0$ ? 0
5. En las filas $p = q = 1$ y $p = q = 0$ las dos valen 1. ¿En cuántas de las 4 filas tienen la recíproca y la inversa el mismo valor? 4
18.
¿Es verdadero el bicondicional $x^2 = 4x$ si y solo si $x = 4$ ? Comprueba los dos sentidos.
Respuesta: 0
1. Sentido Si $x = 4$ , entonces $x^2 = 4x$ : ¿cuánto es $4^2$ ? 16
2. ¿Cuánto es $4 \times 4$ , el valor de $4x$ para $x = 4$ ? 16
3. Sentido Si $x^2 = 4x$ , entonces $x = 4$ : ¿qué otro número cumple $x^2 = 4x$ ? 0