Guía del profesor: Recíproca e inversa

Aprende a formar la recíproca y la inversa de un enunciado condicional y descubre por qué un enunciado verdadero puede tener una recíproca falsa.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Formar la recíproca y la inversa de un enunciado condicional
Determinar el valor de verdad de una recíproca o una inversa y justificarlo
Usar un solo contraejemplo para demostrar que un enunciado es falso
Explicar con una tabla de verdad por qué la recíproca y la inversa siempre tienen el mismo valor de verdad
Escribir un bicondicional cuando un enunciado y su recíproca son verdaderos

Requisitos previos

• Enunciados condicionales (si... entonces): hipótesis, conclusión y tabla de verdad de $p \to q$
• Razonamiento deductivo: sacar conclusiones a partir de premisas
• Negación de un enunciado simple (no $p$ )
• Divisibilidad, cuadrados de números negativos y propiedades básicas de los ángulos

Iniciadores de discusión

1. Si todos los perros son animales, ¿son todos los animales perros? ¿Qué diferencia hay entre las dos frases?
2. ¿Se te ocurre algún anuncio que haga creer a la gente la recíproca?
3. ¿Por qué basta un contraejemplo para demostrar que un enunciado es falso, mientras que cien ejemplos no pueden demostrar que es verdadero?
4. ¿Por qué una buena definición tiene que funcionar en los dos sentidos?

Conceptos erróneos comunes

La recíproca de un enunciado verdadero siempre es verdadera

Remediación: Empieza con enunciados cotidianos como si un animal es un perro, entonces es un mamífero. Los alumnos encuentran enseguida mamíferos que no son perros, como los gatos. Después pasa a las matemáticas: si $x = 3$ , entonces $x^2 = 9$ .

La inversa significa lo mismo que el original

Remediación: Muestra la tabla de verdad: el original y la inversa son distintos en las filas 2 y 3. Comprueba el ejemplo de la divisibilidad entre 4 con el número 6.

La recíproca y la inversa son lo mismo

Remediación: Usa colores: escribe $p$ en azul y $q$ en rojo. La recíproca cambia el orden de los colores, la inversa mantiene el orden y pone no delante de los dos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar frases para completar: Si ___, entonces ___. Recíproca: Si ___, entonces ___.
• Empezar con enunciados cotidianos antes de pasar a los números
• Dar el contraejemplo y pedir que expliquen por qué funciona

Para estudiantes de nivel:

• Escribir la recíproca y la inversa de cinco enunciados matemáticos y encontrar contraejemplos
• Completar la tabla de verdad de $q \to p$ y $\neg p \to \neg q$
• Decidir qué enunciados se pueden escribir como bicondicionales

Para estudiantes avanzados:

• Investigar el recíproco del teorema de Pitágoras y por qué necesita su propia demostración
• Encontrar enunciados falsos cuya recíproca sea verdadera
• Adelantar la contrarrecíproca y comparar su tabla de verdad con la del original

Alineación con estándares

8.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.6)
Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y de su recíproco
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos comparan fila por fila las columnas de $p \to q$ , $q \to p$ y $\neg p \to \neg q$
activityA la caza de la recíproca
Por parejas intercambian tarjetas con enunciados, escriben la recíproca y compiten por encontrar un contraejemplo
worksheet¿Verdadero en los dos sentidos?
Clasificar enunciados matemáticos en bicondicionales y enunciados con recíproca falsa

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Todo enunciado condicional tiene la forma

p \to q

: si

p

(la hipótesis), entonces

q

(la conclusión). A partir de él podemos construir dos enunciados nuevos:

La recíproca intercambia las dos partes: $q \to p$ (si $q$ , entonces $p$ ).
La inversa niega las dos partes: $\neg p \to \neg q$ (si no $p$ , entonces no $q$ ).

Ejemplo: Original: Si un número es divisible entre 4, entonces es par.

Recíproca: Si un número es par, entonces es divisible entre 4. (Falsa: 6 es par, pero $6 \div 4 = 1{,}5$ .)
Inversa: Si un número no es divisible entre 4, entonces no es par. (Falsa: otra vez el 6.)

La tabla de verdad muestra que la recíproca y la inversa no siempre coinciden con el original, pero siempre coinciden entre sí:

\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \end{array}

Para demostrar que un enunciado es falso, basta con un solo contraejemplo. Cuando un enunciado y su recíproca son los dos verdaderos, los unimos en un bicondicional:

p \leftrightarrow q

, que se lee

p

si y solo si

q

Ejemplos resueltos

Original: Si una figura es un cuadrado, entonces tiene cuatro lados. Escribe la recíproca y decide si es verdadera.

Identificar la hipótesis y la conclusión

$p$ : una figura es un cuadrado. $q$ : tiene cuatro lados. → Original: $p \to q$ (verdadero)

Intercambiar las dos partes

$q \to p$ : Si una figura tiene cuatro lados, entonces es un cuadrado. → Esta es la recíproca

Buscar un contraejemplo

Un rectángulo de 5 cm por 3 cm tiene cuatro lados, pero no es un cuadrado. → La recíproca es falsa

Respuesta: Recíproca: Si una figura tiene cuatro lados, entonces es un cuadrado. Es falsa, porque un rectángulo de 5 cm por 3 cm es un contraejemplo.

Errores comunes

Suponer que la recíproca es verdadera porque el original lo es

Por qué está mal: Al intercambiar hipótesis y conclusión se crea un enunciado nuevo con su propio valor de verdad. Si $x = 3$ , entonces $x^2 = 9$ es verdadero, pero si $x^2 = 9$ , entonces $x = 3$ es falso.

Correcto: Comprueba siempre la recíproca por separado y busca un contraejemplo, aquí $x = -3$ .

Confundir la recíproca con la inversa

Por qué está mal: Las dos se construyen con las mismas dos partes, así que se parecen. La recíproca cambia el orden, la inversa añade dos negaciones.

Correcto: Recíproca = intercambiar: $q \to p$ . Inversa = negar las dos: $\neg p \to \neg q$ .

Negar solo una parte al formar la inversa

Por qué está mal: Escribir $\neg p \to q$ (si no es un cuadrado, entonces tiene cuatro lados) no es la inversa. Es un enunciado totalmente distinto.

Correcto: Pon no delante de la hipótesis y de la conclusión: si no es un cuadrado, entonces no tiene cuatro lados.

Usar un ejemplo que funciona como prueba de que la recíproca es verdadera

Por qué está mal: En si $x^2 = 9$ , entonces $x = 3$ , el ejemplo $x = 3$ funciona, pero $x = -3$ no. Los ejemplos que funcionan nunca demuestran un enunciado general.

Correcto: Un contraejemplo demuestra que un enunciado es falso. Para demostrar que es verdadero necesitas un razonamiento que cubra todos los casos.

Por qué es importante

Confundir un enunciado con su recíproca es uno de los errores de razonamiento más comunes:

Matemáticas: que un teorema sea verdadero no hace verdadera su recíproca. El teorema de Pitágoras y su recíproco se demuestran por separado.
Definiciones: una buena definición es un bicondicional. Tiene que funcionar en los dos sentidos.
Publicidad: si contratas el plan premium, tienes un servicio más rápido. Eso no significa que todos los que tienen un servicio rápido hayan contratado el plan premium.
Programación: un programa que comprueba si x es divisible entre 6 y por tanto par no debe suponer el sentido contrario.
Vida diaria: si llueve, la calle está mojada. Una calle mojada no demuestra que haya llovido, quizá pasó un camión de limpieza.

Detectar una recíproca falsa con un contraejemplo es una habilidad que usarás en cada demostración.

Aplicaciones del mundo real

Promociones en tiendas

Las tiendas expresan sus reglas como enunciados condicionales. Los clientes a menudo las leen al revés, y eso es justo la recíproca.

Ejemplo:

Regla: Si tu pedido supera los 50 dólares, entonces el envío es gratis. Recíproca: Si el envío es gratis, entonces tu pedido superaba los 50 dólares. Un código de socio también puede dar envío gratis, así que la recíproca puede ser falsa.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda tiene esta regla: Si un pedido supera los 50 dólares, entonces el envío es gratis. Lena compra 3 libros a 12 dólares cada uno y usa un código de socio que también da envío gratis.

¿Muestra el pedido de Lena que la recíproca de la regla es falsa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la expresión del total de Lena:

Comprobar reglas en programas

Los programadores escriben condiciones como si n es divisible entre 6, entonces n es par. Darle la vuelta a una condición así es un error clásico.

Ejemplo:

Un programa solo acepta números divisibles entre 6 y los marca como pares. Un programador invierte la comprobación y acepta todo número par como divisible entre 6. El número 8 se cuela por error.

2Inténtalo tú mismo

La regla es: Si un número es divisible entre 6, entonces es par. Un programador usa la recíproca: Si un número es par, entonces es divisible entre 6. Compruébala con el número 8.

¿Hace fallar el 8 a la recíproca?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que compara 8 con 6:

Buenas definiciones

Los diccionarios y los libros de matemáticas escriben definiciones que funcionan en los dos sentidos. Una definición es un bicondicional, un enunciado si y solo si.

Ejemplo:

Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo de $90^\circ$ . Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ , y todo triángulo con un ángulo de $90^\circ$ es rectángulo.

3Inténtalo tú mismo

Dos ángulos de un triángulo miden $35^\circ$ y $55^\circ$ . Los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ .

¿Es un triángulo rectángulo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la expresión del tercer ángulo:

Puntos clave

1Un enunciado condicional tiene la forma $p \to q$ : si $p$ , entonces $q$
2La recíproca intercambia las partes: $q \to p$
3La inversa niega las dos partes: $\neg p \to \neg q$
4Un enunciado verdadero puede tener una recíproca y una inversa falsas, por ejemplo si $x = 3$ , entonces $x^2 = 9$
5La recíproca y la inversa siempre tienen el mismo valor de verdad, y basta un contraejemplo para demostrar que un enunciado es falso
6Cuando un enunciado y su recíproca son verdaderos, forman un bicondicional $p \leftrightarrow q$ (si y solo si)

Preguntas frecuentes

Si el original es verdadero, ¿puede ser verdadera también la recíproca?

A veces. Si un ángulo mide

90^\circ

, entonces es recto, y la recíproca también es verdadera. Pero siempre tienes que comprobarla por separado, nunca se deduce automáticamente.

¿Por qué la recíproca y la inversa tienen siempre el mismo valor de verdad?

Mira la tabla de verdad: las columnas de

q \to p

\neg p \to \neg q

son iguales en las cuatro filas. En la próxima lección verás por qué: cada una es la contrarrecíproca de la otra.

¿Qué significa si y solo si?

Significa que los dos sentidos son verdaderos:

p \to q

q \to p

. Se escribe

p \leftrightarrow q

. Por ejemplo,

x + 4 = 10

si y solo si

x = 6

¿Cuántos contraejemplos necesito?

Solo uno. Un único caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa demuestra que todo el enunciado es falso.

Glosario

Enunciado condicional: Un enunciado de la forma si $p$ , entonces $q$ , que se escribe $p \to q$
Recíproca: El enunciado que se obtiene al intercambiar la hipótesis y la conclusión: $q \to p$
Inversa: El enunciado que se obtiene al negar la hipótesis y la conclusión: $\neg p \to \neg q$
Negación: Lo contrario de un enunciado, se escribe $\neg p$ y se lee no $p$
Contraejemplo: Un solo caso en el que la hipótesis es verdadera pero la conclusión es falsa
Bicondicional: Un enunciado verdadero en los dos sentidos, se escribe $p \leftrightarrow q$ y se lee $p$ si y solo si $q$

Tarjeta de fórmulas

Original (enunciado condicional)

p \to q

Si $p$, entonces $q$

Recíproca

q \to p

Intercambiar la hipótesis y la conclusión

Inversa

\neg p \to \neg q

Negar las dos partes y mantener el orden

Bicondicional

p \leftrightarrow q

Verdadero cuando $p \to q$ y $q \to p$ son verdaderas

Más sobre este tema

Guía del profesor: Recíproca e inversa

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Promociones en tiendas

Comprobar reglas en programas

Buenas definiciones

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Original (enunciado condicional)

Recíproca

Inversa

Bicondicional

Más sobre este tema

Introducción al razonamiento lógico

Razonamiento deductivo

Enunciados condicionales (si... entonces)

Contrarrecíproca