Guía del profesor: Enunciados condicionales (si... entonces)

Aprende a escribir enunciados en la forma si... entonces, a reconocer la hipótesis y la conclusión, y a decidir cuándo un condicional es falso.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar la hipótesis y la conclusión de un enunciado condicional
Reescribir frases cotidianas y matemáticas en la forma si... entonces y con la notación p → q
Determinar el valor de verdad de un condicional a partir de los valores de verdad de sus partes
Encontrar un contraejemplo para demostrar que un condicional es falso
Explicar por qué los ejemplos por sí solos no pueden demostrar un condicional

Requisitos previos

• Introducción al razonamiento lógico: las proposiciones y sus valores de verdad
• Razonamiento deductivo: usar una regla (premisa) para llegar a una conclusión
• Comparar números con <, > y ≥ y operaciones básicas

Iniciadores de discusión

1. Tu madre dice: "Si ordenas tu habitación, entonces puedes salir." No la ordenaste, pero te dejó salir de todos modos. ¿Mintió?
2. Busca una norma del colegio o de un juego. ¿Puedes escribirla como un condicional si... entonces?
3. ¿Por qué basta un contraejemplo para refutar una afirmación, pero cien buenos ejemplos no bastan para demostrarla?
4. "Todos los gatos son animales" y "Si algo es un gato, entonces es un animal": ¿son el mismo enunciado?
5. ¿Se te ocurre un enunciado verdadero que se vuelva falso al intercambiar la parte del "si" y la del "entonces"?

Conceptos erróneos comunes

Un condicional con hipótesis falsa es falso (o "no se puede decidir")

Remediación: Usa el modelo de la promesa: "Si sacas al menos 80, te llevas una pegatina." Pregunta si la profesora rompe su promesa cuando un alumno con 70 puntos recibe una pegatina igualmente. Después deja que comprueben las filas F en la tabla de verdad interactiva.

"Si $p$ , entonces $q$ " también significa "si $q$ , entonces $p$ "

Remediación: Da el par "si una figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo" y la versión intercambiada, y pide que dibujen un contraejemplo para la intercambiada. Diles que esta idea se estudia a fondo en la próxima lección, Recíproca e inversa.

Unos cuantos ejemplos que funcionan demuestran un enunciado

Remediación: Comprobad juntos $2^n + 1$ para $n = 1, 2, 3$ , o $n^2 + n + 1$ para $n = 2, 3, 4$ . El patrón se rompe en $n = 3$ y en $n = 4$ , lo que muestra por qué los matemáticos piden una demostración.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Ofrecer frases modelo: "Si ___, entonces ___." y pedir que subrayen la hipótesis de un color y la conclusión de otro
• Empezar con normas cotidianas (juegos, colegio) antes de los enunciados matemáticos
• Usar la tabla de los cuatro alumnos y las pegatinas para que el caso V → F sea concreto

Para estudiantes de nivel:

• Reescribir frases con "todo", "todos" y "cuando" en la forma si... entonces y con la notación p → q
• Decidir si afirmaciones sobre números son verdaderas y dar contraejemplos para las falsas
• Completar la tabla de verdad de p → q en modo cuestionario sin ayuda

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar el contraejemplo más pequeño de afirmaciones como " $n^2 + n + 1$ siempre es primo"
• Explorar el acertijo de las cartas: ¿qué cartas hay que dar la vuelta para comprobar una regla si... entonces?
• Escribir un condicional verdadero cuya versión intercambiada sea falsa, como anticipo de la recíproca

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos eligen el operador →, ven cómo se ilumina la única fila falsa y después completan la tabla ellos mismos en modo cuestionario
activityPromesas rotas
Por parejas, los alumnos escriben normas de clase como condicionales y representan los cuatro casos para descubrir cuál rompe la norma
worksheetA la caza del contraejemplo
Una lista de afirmaciones sobre números; los alumnos marcan si cada una es verdadera o dan el contraejemplo más pequeño

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un enunciado condicional, también llamado condicional o implicación, une dos proposiciones con las palabras si y entonces:

\text{Si } p\text{, entonces } q.

La parte que va después de "si" es la hipótesis ( $p$ ), la condición.
La parte que va después de "entonces" es la conclusión ( $q$ ), lo que debe cumplirse.

En símbolos escribimos

p \to q

y leemos "si

p

, entonces

q

" o "

p

implica

q

Ejemplo: Si un número termina en 0, entonces es divisible entre 10.

Hipótesis $p$ : un número termina en 0
Conclusión $q$ : el número es divisible entre 10

Piensa en un condicional como en una promesa. La promesa solo se rompe cuando la hipótesis ocurre y la conclusión no. Por eso

p \to q

es falso en un único caso:

p

es verdadera y

q

es falsa. En todos los demás casos es verdadero.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La tabla de verdad interactiva de esta lección muestra las mismas cuatro filas en orden inverso, empezando por F, F. Los dos órdenes son correctos.

Un caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa se llama contraejemplo. Basta un solo contraejemplo para demostrar que un condicional es falso.

Ejemplos resueltos

Identifica la hipótesis y la conclusión: "Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces es un triángulo rectángulo."

Busca la parte que va después de "si"

"un triángulo tiene un ángulo recto" → Hipótesis $p$ : un triángulo tiene un ángulo recto

Busca la parte que va después de "entonces"

"es un triángulo rectángulo" → Conclusión $q$ : el triángulo es rectángulo

Escríbelo en símbolos

Primero va la condición y después el resultado → $p \to q$

Respuesta: Hipótesis: un triángulo tiene un ángulo recto. Conclusión: es un triángulo rectángulo. En símbolos: $p \to q$ .

Errores comunes

Tomar la primera parte de la frase como hipótesis, como en "Cojo el paraguas si llueve" → hipótesis "cojo el paraguas"

Por qué está mal: La hipótesis es la parte que va después de la palabra "si" (o "cuando", "siempre que"), esté donde esté en la frase.

Correcto: Busca primero la condición: "llueve". Después escribe: Si llueve, entonces cojo el paraguas.

Pensar que $p \to q$ es falso siempre que la hipótesis es falsa

Por qué está mal: Un condicional solo promete algo para el caso en que $p$ ocurre. Si $p$ no ocurre, la promesa no se puede romper.

Correcto: $p \to q$ solo es falso en el caso V → F. Cuando $p$ es falsa, el condicional es verdadero, sea cual sea $q$ .

Usar como contraejemplo un número que no cumple la hipótesis, por ejemplo $x = 0$ contra "si $x > 3$ , entonces $x > 1$ "

Por qué está mal: Para $x = 0$ la conclusión $x > 1$ es falsa, pero la hipótesis $x > 3$ también es falsa, así que este caso no puede refutar el enunciado.

Correcto: Un contraejemplo tiene que hacer verdadera la hipótesis y falsa la conclusión. Para "si $x > 3$ , entonces $x > 1$ " no existe ese número, así que el enunciado es verdadero.

Creer que un ejemplo que funciona demuestra el enunciado

Por qué está mal: "Si $n$ es un número natural, entonces $2^n + 1$ es primo" funciona para $n = 1$ ( $3$ ) y $n = 2$ ( $5$ ), pero $n = 3$ da $9$ , que no es primo.

Correcto: Los ejemplos solo pueden apoyar un enunciado. Para demostrarlo necesitas un argumento general, pero un solo contraejemplo basta para refutarlo.

Por qué es importante

Los condicionales están por todas partes, a menudo escondidos en frases normales:

Compras: "Si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis."
Reglas y juegos: "Si sacas un 6, entonces vuelves a tirar."
Ciencias: "Si se calienta agua a 100 °C al nivel del mar, entonces hierve."
Programación: toda aplicación está llena de órdenes como "si la contraseña es correcta, entonces abre la cuenta".
Matemáticas: casi todas las reglas y teoremas son condicionales, por ejemplo "si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces $a^2 + b^2 = c^2$ " (donde $c$ es el lado mayor).

En la lección Razonamiento deductivo usaste reglas si... entonces como premisas. Ahora vas a aprender cómo se construyen, cómo escribirlas tú mismo y cómo comprobarlas. Es el punto de partida para la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca, que vienen a continuación en las lecciones Recíproca e inversa y Contrarrecíproco.

Aplicaciones del mundo real

Compras por internet

Las tiendas usan reglas si... entonces para el envío gratis, los descuentos y los regalos. Para aprovechar la oferta, tienes que hacer verdadera la hipótesis.

Ejemplo:

"Si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis." Un pedido de 52 dólares hace verdadera la hipótesis, así que el envío tiene que ser gratis.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda promete: si tu pedido es de al menos 40 dólares, entonces el envío es gratis. En tu cesta tienes una camiseta de 18 dólares y una gorra de 15 dólares.

¿Cuántos dólares más tienes que gastar para que la hipótesis sea verdadera?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta tu total de 40:

Comprobar afirmaciones en matemáticas

Los matemáticos ponen a prueba un condicional buscando un contraejemplo. Si encuentran uno, la afirmación es falsa.

Ejemplo:

"Si un número es primo, entonces es impar" es falso, porque 2 es primo y par.

2Inténtalo tú mismo

Un compañero afirma: si un número natural es múltiplo de 3, entonces es impar.

¿Cuál es el contraejemplo positivo más pequeño?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los múltiplos de 3 son 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Escribe el segundo:

Casas inteligentes y programación

Un termostato funciona con un condicional: si la habitación está más fría que un valor fijado, entonces se enciende la calefacción.

Ejemplo:

"Si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción." A 17 °C la hipótesis es verdadera, así que la calefacción tiene que encenderse. A 20 °C no se promete nada.

3Inténtalo tú mismo

La regla es: si la temperatura está por debajo de 18 °C, entonces se enciende la calefacción. A las 7:00 la habitación está a 22 °C y se enfría 3 °C cada hora.

¿Qué temperatura hay después de 2 horas, y está encendida la calefacción?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en 22 y resta 3 dos veces:

Puntos clave

1Un condicional tiene la forma "si $p$ , entonces $q$ ", que se escribe $p \to q$
2La hipótesis $p$ es la condición después de "si"; la conclusión $q$ es el resultado después de "entonces"
3Muchas frases esconden un condicional: "todo A es B" significa "si algo es un A, entonces es un B"
4 $p \to q$ solo es falso cuando $p$ es verdadera y $q$ es falsa (V → F); en los otros tres casos es verdadero
5Un contraejemplo hace verdadera la hipótesis y falsa la conclusión, y basta uno para refutar un enunciado
6Los ejemplos que funcionan apoyan un enunciado, pero no lo demuestran

Preguntas frecuentes

¿Por qué "si $p$ , entonces $q$ " es verdadero cuando $p$ es falsa?

Porque el enunciado solo hace una promesa para el caso en que

p

ocurre. Si dices "si llueve, cojo el paraguas" y no llueve, no has faltado a tu palabra, hagas lo que hagas.

¿Tiene que aparecer siempre la palabra "entonces"?

No. "Si llueve, me quedo en casa", "Me quedo en casa cuando llueve" y "La lluvia significa que me quedo en casa" son el mismo condicional. Escribirlo con "si" y "entonces" solo hace que se vean bien la hipótesis y la conclusión.

¿Cuántos contraejemplos necesito para demostrar que un enunciado es falso?

Solo uno. Un condicional afirma que la conclusión se cumple cada vez que la hipótesis es verdadera, así que un solo caso V → F basta para refutarlo.

¿Qué pasa si intercambio la hipótesis y la conclusión?

Obtienes un enunciado nuevo que puede tener otro valor de verdad. "Si una figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo" es verdadero, pero "si una figura es un rectángulo, entonces es un cuadrado" es falso. Intercambiar y negar las partes es el tema de las próximas lecciones, Recíproca e inversa y Contrarrecíproco.

Glosario

Enunciado condicional: Un enunciado de la forma "si $p$ , entonces $q$ ", también llamado condicional
Hipótesis: La condición de un condicional, la parte después de "si" ( $p$ )
Conclusión: El resultado de un condicional, la parte después de "entonces" ( $q$ )
Implicación: Otro nombre del condicional; $p \to q$ se lee " $p$ implica $q$ "
Contraejemplo: Un caso en el que la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa; demuestra que un condicional es falso
Valor de verdad: Si un enunciado es verdadero (V) o falso (F)

Tarjeta de fórmulas

Condicional

p \to q

Se lee "si $p$, entonces $q$": $p$ es la hipótesis, $q$ la conclusión

Único caso falso

V \to F = F

Un condicional solo es falso cuando la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa

Contraejemplo

p \text{ verdadera y } q \text{ falsa}

Basta un caso así para refutar $p \to q$

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Compras por internet

Comprobar afirmaciones en matemáticas

Casas inteligentes y programación

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Condicional

Único caso falso

Contraejemplo

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