Silogismos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Todos los rectángulos son paralelogramos. Todos los cuadrados son rectángulos. Por tanto, todos los cuadrados son paralelogramos. ¿Cuál es el término medio?
1. a)Cuadriláteros
2. b)Rectángulos
3. c)Paralelogramos
4. d)Cuadrados
Respuesta: Rectángulos
Rectángulos aparece en las dos premisas y no en la conclusión, así que rectángulos es el término medio $M$ . Cuadrados es el término menor $S$ y paralelogramos el término mayor $P$ .
2.
Un diagrama de Venn tiene tres círculos que se superponen, $S$ , $M$ y $P$ . ¿Cuántas regiones tiene, contando la región fuera de los tres círculos?
Respuesta: 8
Para cada círculo, una región está dentro o fuera, así que hay $2 \times 2 \times 2 = 8$ regiones: 3 dentro de exactamente un círculo, 3 dentro de exactamente dos, 1 dentro de los tres y 1 fuera de todos.
3.
Recuerda: A = todos los $S$ son $P$ , E = ningún $S$ es $P$ , I = algunos $S$ son $P$ , O = algunos $S$ no son $P$ . ¿Qué lista da, en orden, los códigos de estos cuatro enunciados? (1) Algunos rectángulos no son cuadrados. (2) Todos los cuadrados son rectángulos. (3) Algunos rectángulos son cuadrados. (4) Ningún triángulo es un cuadrado.
1. a)O, E, I, A
2. b)I, A, O, E
3. c)O, A, I, E
4. d)E, A, I, O
Respuesta: O, A, I, E
Algunos rectángulos no son cuadrados es O (algunos, con no), todos los cuadrados son rectángulos es A, algunos rectángulos son cuadrados es I, y ningún triángulo es un cuadrado es E. Así que la lista es O, A, I, E.
4.
Los $14$ miembros del club de ajedrez están todos también en el club de matemáticas. El club de matemáticas tiene $25$ miembros. ¿Cuántos miembros del club de matemáticas no están en el club de ajedrez?
Respuesta: 11
Todos los miembros del club de ajedrez están dentro del círculo de matemáticas, así que $25 - 14 = 11$ miembros de matemáticas no están en ajedrez.
5.
Ningún número primo mayor que $2$ es par. Todos los números del conjunto $T$ son números primos mayores que $2$ . ¿Qué conclusión se sigue?
1. a)Todos los números pares están en $T$
2. b)No se sigue nada
3. c)Algunos números de $T$ son pares
4. d)Ningún número de $T$ es par
Respuesta: Ningún número de $T$ es par
Con $M$ = primos mayores que $2$ , $P$ = números pares y $S$ = números de $T$ , las premisas son ningún $M$ es $P$ y todos los $S$ son $M$ . Esta forma válida da ningún $S$ es $P$ : ningún número de $T$ es par.
6.
Todos los múltiplos de $6$ son múltiplos de $3$ . Todos los múltiplos de $12$ son múltiplos de $6$ . Por tanto, todos los múltiplos de $12$ son múltiplos de $3$ . Identifica el término medio y sigue el número $60$ (un múltiplo de $12$ ) a lo largo de la cadena. ¿Cuánto es $60 \div 3$ ?
Respuesta: 20
1. ¿Qué letra, $S$ , $M$ o $P$ , representa los múltiplos de $6$ ? M
2. ¿Cuánto es $60 \div 12$ ? 5
3. ¿Cuánto es $60 \div 6$ ? 10
4. ¿Cuánto es $60 \div 3$ ? 20
7.
Todos los poetas son soñadores. Algunos soñadores son ingenieros. Por tanto, algunos poetas son ingenieros. ¿Cómo valoras este argumento?
1. a)Válido, pero una premisa es falsa
2. b)Válido y sólido
3. c)No válido, porque un silogismo no puede usar la palabra algunos
4. d)No válido: los poetas y los ingenieros pueden ser soñadores distintos
Respuesta: No válido: los poetas y los ingenieros pueden ser soñadores distintos
El término medio soñadores nunca abarca todo su grupo: los poetas son algunos de los soñadores, y los ingenieros pueden ser otros soñadores. En el diagrama, la x de algunos soñadores son ingenieros puede quedar fuera del círculo de los poetas, así que el argumento no es válido (término medio no distribuido).
8.
Una clase tiene $60$ alumnos. Ningún miembro del equipo de natación está en el equipo de fútbol. El equipo de natación tiene $16$ miembros y el de fútbol $22$ . ¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los dos equipos?
Respuesta: 22
Ningún nadador es futbolista, así que la intersección está vacía y $16 + 22 = 38$ alumnos están en un equipo. En ninguno: $60 - 38 = 22$ .
9.
Una clase tiene $32$ alumnos. Los $8$ miembros del club de ajedrez están todos en el club de matemáticas, que tiene $15$ miembros. Ningún miembro del club de matemáticas está en el club de teatro, que tiene $10$ miembros. ¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los tres clubes?
Respuesta: 7
1. ¿Cuántos miembros del club de ajedrez están en el club de teatro? 0
2. ¿Cuántos alumnos están en al menos un club? 25
3. ¿Cuántos alumnos no están en ningún club? 7
10.
Todos los múltiplos de $4$ son pares. Todos los múltiplos de $6$ son pares. Por tanto, todos los múltiplos de $6$ son múltiplos de $4$ . Demuestra con un contraejemplo que el argumento no es válido. ¿Cuál es el menor múltiplo positivo de $6$ que no es múltiplo de $4$ ?
Respuesta: 6
1. ¿Qué letra, $S$ , $M$ o $P$ , representa los números pares? M
2. ¿Qué resto queda al dividir $6$ entre $4$ ? 2
3. ¿Cuál es el menor múltiplo positivo de $6$ que no es múltiplo de $4$ ? 6
11.
Todos los múltiplos de $4$ son múltiplos de $8$ . $12$ es múltiplo de $4$ . Por tanto, $12$ es múltiplo de $8$ . ¿Qué descripción es correcta?
1. a)Válido pero no sólido: la primera premisa es falsa
2. b)No válido, porque la conclusión es falsa
3. c)No válido: término medio no distribuido
4. d)Válido y sólido
Respuesta: Válido pero no sólido: la primera premisa es falsa
La forma todos los $M$ son $P$ , $x$ es un $M$ , así que $x$ es un $P$ es válida. Pero la primera premisa es falsa: $4$ es múltiplo de $4$ y no de $8$ . Así que el argumento es válido pero no sólido, y su conclusión es falsa ( $12 \div 8 = 1{,}5$ ).
12.
Una orquesta tiene $24$ miembros. Los $9$ alumnos que tocan el violín están todos en la orquesta. $4$ de los violinistas cantan en el coro, y otros $7$ miembros de la orquesta también cantan en el coro. ¿Cuántos miembros de la orquesta no cantan en el coro?
Respuesta: 13
Todos los violinistas están en la orquesta y algunos violinistas cantan en el coro, así que algunos miembros de la orquesta cantan en el coro: $4 + 7 = 11$ . Los demás no cantan: $24 - 11 = 13$ .
13.
Comprueba el silogismo ningún $M$ es $P$ , algunos $S$ son $M$ , así que algunos $S$ no son $P$ con el diagrama de 8 regiones (región 4 = solo dentro de $S$ y $M$ , región 6 = solo dentro de $M$ y $P$ , región 7 = dentro de los tres). ¿Cuál es el código de la conclusión?
Respuesta: O
1. ¿Cuántas de las 8 regiones sombrea ningún $M$ es $P$ ? 2
2. La intersección de $S$ y $M$ son las regiones 4 y 7. ¿Cuántas siguen sin sombrear? 1
3. ¿En qué región debe ir la x de algunos $S$ son $M$ ? Da su número. 4
4. La región 4 está dentro de $S$ y fuera de $P$ . ¿Qué código (A, E, I u O) tiene la conclusión algunos $S$ no son $P$ ? O
14.
En el diagrama de Venn de tres círculos para $S$ , $M$ y $P$ sombreas las premisas todos los $S$ son $M$ y ningún $M$ es $P$ . ¿Cuántas de las 8 regiones quedan sombreadas en total?
Respuesta: 4
Todos los $S$ son $M$ sombrea las regiones 1 y 5 (dentro de $S$ , fuera de $M$ ). Ningún $M$ es $P$ sombrea las regiones 6 y 7 (dentro de $M$ y $P$ ). Ninguna región aparece en las dos listas, así que hay $2 + 2 = 4$ regiones sombreadas. Como las regiones 5 y 7 están sombreadas, el diagrama también muestra ningún $S$ es $P$ .
15.
Los enunciados $p \to q$ y $q \to r$ son verdaderos, y $r$ es falso. ¿Qué enunciado tiene que ser verdadero?
1. a) $q$
2. b) $p$
3. c) $\neg p$
4. d) $r \to p$
Respuesta: $\neg p$
El silogismo hipotético da $p \to r$ . Su contrarrecíproca es $\neg r \to \neg p$ . Como $r$ es falso, $\neg r$ es verdadero, así que $\neg p$ es verdadero. $q$ no puede ser verdadero (obligaría a que $r$ lo fuera), y $r \to p$ no se deduce.
16.
Premisas: si $n$ es divisible entre $20$ , entonces $n$ es divisible entre $10$ . Si $n$ es divisible entre $10$ , entonces la última cifra de $n$ es $0$ . Si la última cifra de $n$ es $0$ , entonces $n$ es divisible entre $5$ . El silogismo hipotético da: si $n$ es divisible entre $20$ , entonces $n$ es divisible entre $5$ . Compruébalo con $n = 140$ y demuestra después que la recíproca no se deduce. ¿Cuál es el menor número positivo divisible entre $5$ pero no entre $20$ ?
Respuesta: 5
1. ¿Cuánto es $140 \div 20$ ? 7
2. ¿Cuál es la última cifra de $140$ ? 0
3. ¿Cuánto es $140 \div 5$ ? 28
4. ¿Cuál es el menor número positivo divisible entre $5$ pero no entre $20$ ? 5
17.
Un club deportivo tiene $70$ socios, y $45$ de ellos nadan. Los $20$ jugadores de tenis son todos nadadores. $12$ jugadores de tenis también corren, $8$ nadadores que no juegan al tenis corren, y $15$ socios que no nadan corren. ¿Cuántos socios ni nadan ni corren?
Respuesta: 10
1. ¿Cuántos nadadores no juegan al tenis? 25
2. ¿Cuántos socios corren en total? 35
3. ¿Cuántos socios ni nadan ni corren? 10
18.
Demuestra que algunos $S$ son $M$ , algunos $M$ son $P$ , así que algunos $S$ son $P$ no es válido. Usa $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ y $P = \{3, 4\}$ . ¿Cuántos elementos tienen $S$ y $P$ en común?
Respuesta: 0
1. ¿Cuántos elementos tienen $S$ y $M$ en común? 1
2. ¿Cuántos elementos tienen $M$ y $P$ en común? 1
3. ¿Cuántos elementos tienen $S$ y $P$ en común? 0