Guía del profesor: Silogismos

Aprende los cuatro enunciados categóricos y las partes de un silogismo, y comprueba la validez con diagramas de Venn y el silogismo hipotético.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar el término menor, el mayor y el medio, y la premisa mayor y la menor de un silogismo
Clasificar los enunciados categóricos como A, E, I u O y describir cada uno con regiones del diagrama de Venn
Comprobar la validez de un silogismo categórico con un diagrama de Venn de tres círculos
Reconocer formas no válidas como el término medio no distribuido y dos premisas particulares
Distinguir un argumento válido de uno sólido y aplicar el silogismo hipotético a cadenas de enunciados si-entonces

Requisitos previos

• Razonamiento deductivo: premisas, conclusiones y la idea de argumento válido
• Enunciados si-entonces y la contrarrecíproca
• Diagramas de Venn con dos conjuntos: intersección, unión y la región exterior
• Criterios de divisibilidad básicos (2, 3, 4, 6, 12)

Iniciadores de discusión

1. ¿Puede ser válido un argumento con una conclusión falsa? ¿Puede no ser válido un argumento con una conclusión verdadera? Da un ejemplo de cada caso.
2. ¿Por qué sombreamos las premisas con todos y ningún antes de poner la x de una premisa con algunos?
3. "Todos los perros son animales, todos los gatos son animales, así que todos los gatos son perros" suena absurdo. ¿Por qué la misma forma puede sonar convincente con otras palabras?
4. ¿En qué demostración de geometría has usado ya una cadena de enunciados si-entonces?

Conceptos erróneos comunes

Si estoy de acuerdo con la conclusión, el argumento es válido

Remediación: Da parejas de argumentos con la misma forma pero distintas palabras, uno con una conclusión creíble y otro con una absurda. Los alumnos ven que la validez la decide la forma, no el tema.

Algunos significa unos pocos, pero no todos

Remediación: Acordad en clase que algunos significa al menos uno. Muestra que "algunos cuadrados son rectángulos" es verdadero, aunque todos los cuadrados sean rectángulos.

La x de una premisa con algunos puede ir en cualquier parte de la intersección

Remediación: Insiste en sombrear primero las premisas universales. Si la intersección sigue dividida en dos regiones sin sombrear, la x va sobre la línea entre ellas: su posición es desconocida y no se puede deducir nada de ella.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con diagramas de dos círculos y enunciados sueltos antes de pasar a tres círculos
• Usar grupos concretos (figuras, animales, clubes del instituto) y objetos reales o tarjetas con nombres dentro de aros
• Dar la tabla de regiones numeradas para que los alumnos solo tengan que decidir qué números sombrear

Para estudiantes de nivel:

• Comprobar de 8 a 10 silogismos escritos solo con letras y anotar qué regiones se sombrean
• Encontrar un contraejemplo para cada silogismo no válido
• Resolver problemas de conteo con diagramas de Venn en los que los enunciados con todos y ningún vacían regiones

Para estudiantes avanzados:

• Explicar por qué al menos una premisa debe ser universal y por qué dos premisas negativas no dan ninguna conclusión
• Investigar el alcance existencial: ¿cuándo da todos los $M$ son $P$ , todos los $S$ son $M$ la conclusión algunos $S$ son $P$ ?
• Escribir una demostración corta de geometría como una cadena de silogismos hipotéticos

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de los demás
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión
HSS.CP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.A.1)
Describir sucesos como subconjuntos de un espacio muestral mediante uniones, intersecciones y complementos

Recursos de la lección

visualPlantilla de tres círculos
Un diagrama imprimible con las regiones numeradas del 1 al 8 para sombrear premisas y poner las x
activityClasificar silogismos
Los grupos clasifican 16 tarjetas de argumentos en válidos y no válidos y nombran el fallo de cada uno no válido
worksheet¿Válido, sólido o ninguno?
Los alumnos comprueban la forma con un diagrama de Venn y después juzgan si las premisas son verdaderas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un silogismo es un argumento deductivo con exactamente dos premisas y una conclusión. Un silogismo categórico habla de grupos y usa exactamente tres términos:

el término menor $S$ : el sujeto de la conclusión
el término mayor $P$ : el predicado de la conclusión
el término medio $M$ : aparece en las dos premisas, pero nunca en la conclusión

La premisa que contiene

P

es la premisa mayor, la premisa que contiene

S

es la premisa menor.

Cada enunciado de un silogismo categórico tiene una de estas cuatro formas (las letras A, E, I, O son los códigos tradicionales, tomados de las palabras latinas *affirmo*, afirmo, y *nego*, niego: A e I afirman, E y O niegan):

Código	Enunciado	Qué dice sobre los grupos
A	Todos los $S$ son $P$	ningún elemento de $S$ está fuera de $P$
E	Ningún $S$ es $P$	$S$ y $P$ no tienen ningún elemento en común
I	Algunos $S$ son $P$	al menos un elemento está en $S$ y en $P$
O	Algunos $S$ no son $P$	al menos un elemento de $S$ está fuera de $P$

Comprobar la validez con un diagrama de Venn. Dibuja tres círculos que se superponen,

S

M

P

. Forman 8 regiones:

Región	Dentro de	Fuera de
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	ninguno
8	ninguno	$S$ , $M$ , $P$

Primero sombrea (marca como vacía) cada región que una premisa con todos o ningún descarta. Después pon una x por cada premisa con algunos, pero solo donde la x quede obligada a estar en una única región. El silogismo es válido si el diagrama terminado ya muestra la conclusión, sin dibujar nada más.

Forma válida clásica:

\text{Todos los } M \text{ son } P,\quad \text{todos los } S \text{ son } M \quad\Rightarrow\quad \text{todos los } S \text{ son } P

La misma cadena funciona con los enunciados si-entonces. Es el silogismo hipotético (transitividad):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Ejemplos resueltos

Todas las aves pueden volar. Todos los pingüinos son aves. Por tanto, todos los pingüinos pueden volar. Nombra los tres términos y las dos premisas. ¿Es válido el argumento? ¿Es verdadera la conclusión?

Busca el término menor y el mayor en la conclusión

Conclusión: todos los pingüinos (sujeto) son animales que pueden volar (predicado) → $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar

Busca el término medio

El término que está en las dos premisas, pero no en la conclusión, es aves → $M$ = aves

Nombra las premisas

Todas las aves pueden volar contiene $P$ ; todos los pingüinos son aves contiene $S$ → Premisa mayor: todas las aves pueden volar. Premisa menor: todos los pingüinos son aves.

Escribe la forma con letras

Todos los $M$ son $P$ , todos los $S$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ → La forma válida clásica: el argumento es válido

Comprueba si las premisas son verdaderas

La premisa mayor es falsa: los pingüinos y los avestruces son aves que no pueden volar → Válido pero no sólido, y la conclusión es falsa

Respuesta: $S$ = pingüinos, $P$ = animales que pueden volar, $M$ = aves. El argumento es válido (forma correcta), pero la premisa mayor es falsa, así que no es sólido y su conclusión es falsa.

Errores comunes

Decir que un argumento es válido porque su conclusión es verdadera

Por qué está mal: La validez depende de la forma, no de los hechos. "Todas las rosas son flores. Algunas flores se marchitan rápido. Por tanto, algunas rosas se marchitan rápido." tiene una conclusión creíble, pero la forma no es válida: las flores que se marchitan rápido podrían ser todas tulipanes.

Correcto: Sustituye las palabras por $S$ , $M$ , $P$ y comprueba la forma con el diagrama de Venn. Solo después te preguntas si las premisas son verdaderas.

Relacionar dos grupos mediante un término medio que solo aparece como "son $M$ " (término medio no distribuido)

Por qué está mal: Todos los $S$ son $M$ y todos los $P$ son $M$ solo colocan $S$ y $P$ en algún lugar dentro de $M$ . Pueden estar en partes de $M$ totalmente distintas, como los gatos y los perros dentro de los mamíferos.

Correcto: El término medio tiene que abarcar todo su grupo al menos una vez: debe ser el sujeto de un enunciado con todos o ningún, o el predicado de un enunciado con ningún o algunos no.

Sacar una conclusión de dos premisas con algunos

Por qué está mal: Algunos $S$ son $M$ y algunos $M$ son $P$ pueden hablar de elementos distintos de $M$ . Con $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ las dos premisas son verdaderas, pero ningún elemento de $S$ está en $P$ .

Correcto: Al menos una premisa tiene que ser universal (todos o ningún). Dos premisas particulares, o dos premisas negativas, nunca dan una conclusión.

Dar la vuelta a un enunciado con todos

Por qué está mal: Todos los cuadrados son rectángulos no significa que todos los rectángulos sean cuadrados. En el diagrama, todos los $S$ son $P$ solo vacía la parte de $S$ fuera de $P$ ; la parte de $P$ fuera de $S$ todavía puede tener elementos.

Correcto: Los enunciados con ningún y algunos se pueden invertir (ningún $S$ es $P$ significa ningún $P$ es $S$ ; algunos $S$ son $P$ significa algunos $P$ son $S$ ), pero los de todos y algunos no, no.

Por qué es importante

Los silogismos son las piezas más pequeñas de toda demostración lógica, y se esconden en muchos argumentos cotidianos:

Demostraciones de geometría: todo cuadrado es un rectángulo y todo rectángulo es un paralelogramo, así que todo cuadrado es un paralelogramo. Las demostraciones largas son cadenas de pasos como este.
Filtros de búsqueda y bases de datos: si cada artículo con la etiqueta impermeable también tiene la etiqueta exterior, una búsqueda de artículos de exterior ya contiene todos los artículos impermeables.
Normas y leyes: una norma (todos los visitantes menores de 12 años necesitan un adulto) y un hecho (Mía es una visitante menor de 12 años) dan una conclusión sobre Mía.
Programación: si cada objeto Square es un Shape, todo lo que puedes hacer con un Shape también lo puedes hacer con un Square.
Detectar malos argumentos: los anuncios y los debates usan a menudo formas no válidas como "todos los tentempiés sanos tienen poca grasa, nuestra galleta tiene poca grasa, así que nuestra galleta es sana". Si conoces las formas, ves el fallo enseguida.

Un diagrama de Venn convierte una pregunta sobre palabras en una pregunta sobre regiones sombreadas, así que puedes comprobar un argumento en lugar de fiarte de cómo suena.

Aplicaciones del mundo real

Clubes escolares y encuestas

Cuando un instituto cuenta los miembros de sus clubes, enunciados como "todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas" indican qué regiones del diagrama de Venn están vacías, así que puedes contar sin contar a nadie dos veces.

Ejemplo:

Ningún miembro del club de teatro está en el club de matemáticas, y todos los miembros del club de robótica están en el club de matemáticas. Por el silogismo (ningún $M$ es $P$ , todos los $S$ son $M$ ), ningún miembro del club de robótica está en el club de teatro.

1Inténtalo tú mismo

Una clase tiene $50$ alumnos. Los $12$ miembros del club de robótica están todos en el club de matemáticas, que tiene $30$ miembros. Ningún miembro del club de teatro ( $9$ alumnos) está en el club de matemáticas.

¿Cuántos alumnos no están en ninguno de los tres clubes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de alumnos sin club como una sola expresión:

Filtros de búsqueda en tiendas en línea

Las categorías de una tienda forman grupos dentro de grupos. Si cada artículo impermeable es también un artículo de exterior, el filtro exterior ya contiene todos los artículos impermeables: es el silogismo todos los $S$ son $M$, todos los $M$ son $P$ en acción.

Ejemplo:

Todas las chaquetas de lluvia de la tienda son artículos impermeables, y todos los artículos impermeables son artículos de exterior. Así que todas las chaquetas de lluvia aparecen en el filtro exterior.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda tiene $120$ artículos de exterior. Los $45$ artículos impermeables son todos artículos de exterior. $18$ artículos impermeables están en oferta, y $10$ artículos de exterior que no son impermeables están en oferta.

¿Cuántos artículos de exterior están en oferta, y cuántos artículos de exterior no son impermeables ni están en oferta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de artículos de exterior en oferta como una suma:

Filtros de correo y cadenas de reglas

Los programas de correo siguen cadenas de reglas si-entonces. El silogismo hipotético ($p \to q$, $q \to r$, así que $p \to r$) te dice dónde acaba un mensaje sin seguir cada regla una por una.

Ejemplo:

Si un correo tiene un enlace de un remitente desconocido, se marca. Si un correo está marcado, va a cuarentena. Así que todo correo con un enlace de un remitente desconocido va a cuarentena.

3Inténtalo tú mismo

Un instituto recibe $200$ correos en un día. $35$ de ellos tienen un enlace de un remitente desconocido, y todos esos correos se marcan. Otros $15$ correos se marcan por un archivo adjunto sospechoso. Cada correo marcado va a cuarentena, y solo los correos marcados van allí.

¿Cuántos correos llegan a la bandeja de entrada?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de correos que llegan a la bandeja de entrada como una sola expresión:

Puntos clave

1Un silogismo tiene dos premisas y una conclusión; un silogismo categórico usa tres términos: término menor $S$ , término mayor $P$ y término medio $M$
2Los cuatro tipos de enunciado son A (todos los $S$ son $P$ ), E (ningún $S$ es $P$ ), I (algunos $S$ son $P$ ) y O (algunos $S$ no son $P$ )
3Para comprobar la validez, sombrea las regiones que vacían las premisas con todos y ningún, pon una x para las premisas con algunos y mira si el diagrama ya muestra la conclusión
4Todos los $M$ son $P$ , todos los $S$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ es válido; todos los $S$ son $M$ , todos los $P$ son $M$ , así que todos los $S$ son $P$ no es válido (término medio no distribuido)
5Válido significa que la conclusión tiene que ser verdadera si las premisas lo son; sólido significa válido y con premisas verdaderas
6El silogismo hipotético (transitividad) enlaza enunciados si-entonces: de $p \to q$ y $q \to r$ se deduce $p \to r$

Preguntas frecuentes

¿Puede un silogismo válido tener una conclusión falsa?

Sí, si al menos una premisa es falsa. "Todas las aves pueden volar, todos los pingüinos son aves, así que todos los pingüinos pueden volar" es válido, pero tiene una conclusión falsa. Lo imposible es un argumento válido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

¿"Algunos" significa "no todos"?

No. En lógica, algunos

S

son

P

significa que al menos un

S

P

, y sigue siendo verdadero si todos los

S

son

P

. De algunos

S

son

P

no se deduce algunos

S

no son

P

De todos los $M$ son $P$ y todos los $S$ son $M$ , ¿puedo concluir que algunos $S$ son $P$ ?

Solo si sabes que

S

tiene al menos un elemento. En la lógica moderna, todos los

S

son

P

no afirma que exista algún

S

(todos los unicornios son animales es verdadero aunque no haya unicornios). El diagrama de Venn lo muestra: las premisas sombrean regiones, pero no ponen ninguna x.

¿Cuántos silogismos categóricos válidos hay?

Cada uno de los tres enunciados es de uno de los cuatro tipos (

4 \times 4 \times 4 = 64

combinaciones), y el término medio puede ocupar cuatro posiciones distintas, lo que da

64 \times 4 = 256

formas. Solo

15

de ellas son válidas en la lógica moderna (

24

si se supone que cada grupo tiene al menos un elemento). Por eso comprobar con el diagrama es más seguro que fiarse de cómo suena un argumento.

Glosario

Silogismo: Un argumento deductivo con exactamente dos premisas y una conclusión
Enunciado categórico: Un enunciado de la forma todos los $S$ son $P$ , ningún $S$ es $P$ , algunos $S$ son $P$ o algunos $S$ no son $P$
Término medio: El término que aparece en las dos premisas, pero no en la conclusión; relaciona los otros dos términos
Premisa mayor y menor: La premisa mayor contiene el predicado $P$ de la conclusión, la premisa menor contiene su sujeto $S$
Término medio no distribuido: Una forma no válida en la que el término medio nunca abarca todo su grupo, por ejemplo todos los $S$ son $M$ , todos los $P$ son $M$
Silogismo hipotético: La regla de transitividad para enunciados si-entonces: de $p \to q$ y $q \to r$ se deduce $p \to r$

Tarjeta de fórmulas

Forma válida clásica

Todos los

M

son

P

, todos los

S

son

M

\Rightarrow

todos los

S

son

P

El término medio une los dos grupos como una cadena

Forma válida con ningún

Ningún

M

P

, todos los

S

son

M

\Rightarrow

ningún

S

P

Si $S$ está dentro de $M$ y $M$ no comparte nada con $P$, entonces $S$ no comparte nada con $P$

Forma válida con algunos

Todos los

M

son

P

, algunos

S

son

M

\Rightarrow

algunos

S

son

P

La x de algunos queda empujada a la región que está en $S$, $M$ y $P$

Término medio no distribuido (no válido)

Todos los

S

son

M

, todos los

P

son

M

\not\Rightarrow

todos los

S

son

P

Estar en el mismo grupo grande no relaciona dos grupos más pequeños

Silogismo hipotético

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Cadenas de enunciados si-entonces; con la contrarrecíproca, también $\neg r \to \neg p$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Clubes escolares y encuestas

Filtros de búsqueda en tiendas en línea

Filtros de correo y cadenas de reglas

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Forma válida clásica

Forma válida con ningún

Forma válida con algunos

Término medio no distribuido (no válido)

Silogismo hipotético

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