Demostraciones geométricas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas ( $A$ y $C$ a la izquierda, $B$ y $D$ a la derecha). Una transversal corta a $AB$ en $E$ y a $CD$ en $F$ . Se cumple $\angle AEF = 72^\circ$ y $\angle EFD = 72^\circ$ . ¿Qué justificación permite escribir $\angle EFD = \angle AEF$ ?
1. a)Los ángulos conjugados internos son iguales
2. b)Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
3. c)Los ángulos alternos internos son iguales
4. d)Los ángulos correspondientes son iguales
Respuesta: Los ángulos alternos internos son iguales
$\angle AEF$ (en $E$ , a la izquierda) y $\angle EFD$ (en $F$ , a la derecha) están entre las paralelas a distinto lado de la transversal: son ángulos alternos internos, que son iguales entre paralelas.
2.
Las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas ( $A$ y $C$ a la izquierda, $B$ y $D$ a la derecha). Una transversal corta a $AB$ en $E$ y a $CD$ en $F$ . Se cumple $\angle AEF = 72^\circ$ . ¿Cuántos grados mide $\angle CFE$ ?
Respuesta: 108
$\angle EFD = \angle AEF = 72^\circ$ (alternos internos). $\angle CFE$ y $\angle EFD$ forman un ángulo llano, así que $\angle CFE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Comprobación con conjugados internos: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ .
3.
En $\triangle ABC$ , $\angle A = 47^\circ$ y $\angle B = 68^\circ$ . ¿Cuántos grados mide $\angle C$ ?
Respuesta: 65
Por el teorema de la suma de los ángulos, $\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ$ .
4.
¿Qué grupo de partes iguales NO demuestra que dos triángulos son congruentes?
1. a)LAL
2. b)AAA
3. c)LLL
4. d)ALA
Respuesta: AAA
Tres ángulos iguales (AAA) solo fijan la forma, no el tamaño: un triángulo equilátero pequeño y uno grande tienen tres ángulos de $60^\circ$ pero no son congruentes. LLL, LAL y ALA son criterios válidos.
5.
En $\triangle ABC$ , $AB = AC$ y $\angle B = 52^\circ$ . Halla $\angle C$ y $\angle A$ .
Respuesta: 76
1. ¿Cuántos grados mide $\angle C$ ? 52
2. ¿Cuántos grados suman $\angle B + \angle C$ ? 104
3. ¿Cuántos grados mide $\angle A$ ? 76
6.
Las rectas paralelas $\ell$ y $m$ ( $\ell$ encima de $m$ ) están cortadas por una transversal $t$ . En $\ell$ , el ángulo por encima de $\ell$ y a la derecha de $t$ mide $110^\circ$ . Halla el ángulo por encima de $m$ a la derecha de $t$ , y después el ángulo por encima de $m$ a la izquierda de $t$ .
Respuesta: 70
1. ¿Cuántos grados mide el ángulo por encima de $m$ a la derecha de $t$ ? 110
2. ¿Cuántos grados mide el ángulo por encima de $m$ a la izquierda de $t$ ? 70
7.
Los segmentos $AD$ y $BC$ se cortan en $M$ , y $M$ es el punto medio de ambos. Sabes que $AM = DM$ , $BM = CM$ y $\angle AMB = \angle DMC$ (opuestos por el vértice). ¿Qué criterio demuestra $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ ?
1. a)AAL
2. b)ALA
3. c)LAL
4. d)LLL
Respuesta: LAL
Dos lados ( $AM$ , $BM$ ) y el ángulo comprendido (en $M$ ) coinciden con dos lados y el ángulo comprendido del otro triángulo: es LAL.
8.
En $\triangle ABC$ , la recta por $A$ paralela a $BC$ forma un ángulo de $55^\circ$ con $AB$ (del lado de $B$ ) y un ángulo de $64^\circ$ con $AC$ (del lado de $C$ ). ¿Cuántos grados mide $\angle BAC$ ?
Respuesta: 61
Los tres ángulos en $A$ están sobre la paralela, así que $55^\circ + \angle BAC + 64^\circ = 180^\circ$ y $\angle BAC = 61^\circ$ . Por alternos internos, $\angle B = 55^\circ$ y $\angle C = 64^\circ$ , y en efecto $55^\circ + 61^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ .
9.
En $\triangle ABC$ , $AB = AC$ y $\angle A = 36^\circ$ . Halla el ángulo de la base $\angle B$ y después el ángulo exterior en $B$ (entre $AB$ y la prolongación de $CB$ más allá de $B$ ).
Respuesta: 108
1. ¿Cuántos grados suman $\angle B + \angle C$ ? 144
2. ¿Cuántos grados mide $\angle B$ ? 72
3. ¿Cuántos grados mide el ángulo exterior en $B$ ? 108
10.
Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$ , $AB \parallel DE$ y $C$ es el punto medio de $AE$ . Además $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 75^\circ$ y $AB = 9$ cm. Halla los ángulos de $\triangle EDC$ y la longitud $DE$ .
Respuesta: 9
1. ¿Cuántos grados mide $\angle CED$ ? 40
2. ¿Cuántos grados mide $\angle ECD$ ? 75
3. ¿Cuántos grados mide $\angle CDE$ ? 65
4. ¿Cuántos cm mide $DE$ ? 9
11.
En $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$ . ¿Qué criterio demuestra $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
1. a)LLL
2. b)AAL
3. c)LAL
4. d)ALA
Respuesta: ALA
El lado igual $AB$ une los vértices de los dos ángulos iguales, así que está entre ellos: ángulo, lado, ángulo, es decir ALA.
12.
$AD$ es la bisectriz de $\angle BAC$ y $\angle BAD = 34^\circ$ . ¿Cuántos grados mide $\angle BAC$ ?
Respuesta: 68
Por la definición de bisectriz, $\angle CAD = \angle BAD = 34^\circ$ , así que $\angle BAC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
13.
Dos rectas paralelas están cortadas por una transversal. Un par de ángulos alternos internos mide $(3x + 10)^\circ$ y $(5x - 30)^\circ$ . Halla $x$ , el ángulo y el ángulo que forma con él un par lineal.
Respuesta: 110
1. Resuelve $3x + 10 = 5x - 30$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 20
2. ¿Cuántos grados mide cada ángulo alterno interno? 70
3. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forma con él un par lineal? 110
14.
En $\triangle ABC$ , $AB = AC$ , $\angle B = (2x + 10)^\circ$ y $\angle C = (3x - 15)^\circ$ . ¿Cuántos grados mide $\angle A$ ?
Respuesta: 60
$2x + 10 = 3x - 15$ da $x = 25$ , así que $\angle B = \angle C = 60^\circ$ . Entonces $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ : el triángulo es incluso equilátero.
15.
En el cuadrilátero $ABCD$ , $AB = AD$ y $CB = CD$ , con $\angle BAD = 80^\circ$ y $\angle BCD = 60^\circ$ . Usa $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (LLL) para hallar $\angle ABC$ y $\angle ADC$ .
Respuesta: 110
1. ¿Cuántos grados mide $\angle BAC$ ? 40
2. ¿Cuántos grados mide $\angle BCA$ ? 30
3. ¿Cuántos grados mide $\angle ABC$ ? 110
4. ¿Cuántos grados mide $\angle ADC$ ? 110
16.
Demostración de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Dado: $AB = AC$ , y $AD$ es la bisectriz de $\angle BAC$ con $D$ en $BC$ . Paso 1: $AB = AC$ (dado). Paso 2: $\angle BAD = \angle CAD$ (definición de bisectriz). Paso 3: $AD = AD$ . Paso 4: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (LAL). Paso 5: $\angle B = \angle C$ (partes correspondientes). ¿Cuál es la justificación del paso 3?
1. a)Definición de punto medio
2. b)Propiedad reflexiva
3. c)Propiedad transitiva
4. d)Ángulos opuestos por el vértice
Respuesta: Propiedad reflexiva
$AD$ es un lado común de $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ . Todo segmento es igual a sí mismo: es la propiedad reflexiva. Da el segundo par de lados que necesita LAL.
17.
En $\triangle ABC$ , $\angle A = 50^\circ$ y $\angle B = 60^\circ$ . El lado $BC$ se prolonga más allá de $C$ hasta un punto $D$ . Halla $\angle ACB$ , el ángulo exterior $\angle ACD$ , y compáralo con $\angle A + \angle B$ .
Respuesta: 110
1. ¿Cuántos grados mide $\angle ACB$ ? 70
2. ¿Cuántos grados mide $\angle ACD$ ? 110
3. ¿Cuántos grados suman $\angle A + \angle B$ ? 110
18.
En $\triangle ABC$ , $AB = AC$ y $\angle A = 44^\circ$ . Un segmento $DE$ con $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$ es paralelo a $BC$ . Halla $\angle ABC$ , $\angle ADE$ y $\angle BDE$ .
Respuesta: 112
1. ¿Cuántos grados mide $\angle ABC$ ? 68
2. ¿Cuántos grados mide $\angle ADE$ ? 68
3. ¿Cuántos grados mide $\angle BDE$ ? 112