Demostración por contrarrecíproca

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué enunciado es la contrarrecíproca de "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par"?
1. a)Si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar
2. b)Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es par
3. c)Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar
4. d)Si $n$ es par, entonces $n^2$ es par
2.
Quieres demostrar "Si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son ambos impares" por contrarrecíproca. ¿Qué supones al principio?
1. a) $x$ e $y$ son ambos impares
2. b) $x$ e $y$ son ambos pares
3. c) $x$ es par o $y$ es par
4. d) $xy$ es par
3.
¿Cuál es la negación de " $x \geq 5$ o $y \geq 5$ "?
1. a) $x \leq 5$ e $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ o $y < 5$
3. c) $x < 5$ e $y < 5$
4. d) $x > 5$ e $y > 5$
4.
En una demostración de $p \to q$ por contrarrecíproca empiezas suponiendo $\neg q$ . ¿A qué tienes que llegar al final?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ y $\neg q$ a la vez
3. c) $q$
4. d)Cualquier contradicción
5.
¿Para qué enunciado es claramente mejor una demostración por contrarrecíproca que una directa?
1. a)Si $n$ es par, entonces $n^2$ es par
2. b)Si $a$ y $b$ son pares, entonces $a + b$ es par
3. c)Si $5n + 1$ es par, entonces $n$ es impar
4. d)Si $n$ es impar, entonces $n + 1$ es par
6.
En la tabla de verdad, mira la fila en la que $p$ es verdadera y $q$ es falsa. ¿Qué valor tiene $\neg q \to \neg p$ en esa fila? Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
7.
Demostración por contrarrecíproca de "si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar": supón $n = 2k$ , así que $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Para $k = 7$ , ¿cuánto vale $2k^2$ ?
8.
En la demostración de que un $n$ impar da un $n^2$ impar, escribimos $n = 2k + 1$ y $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Para $n = 9$ tenemos $k = 4$ . ¿Cuánto vale $2k^2 + 2k$ ?
9.
La contrarrecíproca de "si $x + y \geq 10$ , entonces $x \geq 5$ o $y \geq 5$ " dice: si $x < 5$ e $y < 5$ , entonces $x + y < 10$ . Para enteros $x$ e $y$ con $x < 5$ e $y < 5$ , ¿cuál es el mayor valor posible de $x + y$ ?
10.
Para demostrar "si $n^2 - 6n + 5$ es par, entonces $n$ es impar" por contrarrecíproca, supón $n = 2k$ . Entonces $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Para $k = 3$ , ¿cuánto vale $2k^2 - 6k + 2$ ?
11.
Comprueba la contrarrecíproca de "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" con el número impar $n = 11$ .
12.
Demuestra "si $3n + 2$ es impar, entonces $n$ es impar" por contrarrecíproca y compruébalo con $k = 4$ .
13.
Contrarrecíproca de "si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son impares", caso " $x$ es par". Sigue la demostración con $x = 6$ e $y = 7$ .
14.
Compara las columnas $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ en la tabla de verdad de 4 filas.
15.
Demuestra por contrarrecíproca: para números reales $x$ , $y$ , $z$ , si $x + y + z \geq 30$ , entonces $x \geq 10$ o $y \geq 10$ o $z \geq 10$ .
16.
Enunciado: si $n^2 - 6n + 5$ es par, entonces $n$ es impar. Comprueba la contrarrecíproca con $n = 2k$ y $k = 5$ .
17.
Demuestra por contrarrecíproca: si 7 números tienen una suma $S$ mayor que 63, entonces al menos uno de ellos es mayor que 9.
18.
Demuestra "si $n^2$ no es divisible entre 3, entonces $n$ no es divisible entre 3" por contrarrecíproca y compruébalo con $k = 7$ .