Demostración por reducción al absurdo

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Quieres demostrar por reducción al absurdo que $\sqrt{3}$ es irracional. ¿Cuál es la primera línea correcta?
1. a)Supongamos que $3$ es irracional
2. b)Supongamos que $\sqrt{3}$ es racional
3. c)Supongamos que $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supongamos que $\sqrt{3}$ es irracional
2.
¿Cuál es el menor número de personas que necesitas para asegurar que al menos dos nacieron el mismo mes?
3.
¿Qué enunciado es falso para cualquier valor de verdad de $p$ y, por tanto, es una contradicción?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
4.
Alguien afirma que $N = 100$ es el mayor número par. Sigue la demostración para mostrar que la afirmación es falsa.
5.
En la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, elevas $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ al cuadrado y multiplicas por $b^2$ . Obtienes $a^2 = k \cdot b^2$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
6.
Muestra con el principio del palomar que en un grupo de 13 personas algún mes de nacimiento se repite.
7.
¿Cuál es la negación correcta de "Todo número primo es impar"?
1. a)Todo número primo es par
2. b)Todo número impar es primo
3. c)Ningún número primo es impar
4. d)Al menos un número primo no es impar
8.
Quieres demostrar $x > 5$ por reducción al absurdo. ¿Qué supones?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
9.
Una caja tiene guantes sueltos de 7 colores distintos. ¿Cuántos guantes tienes que sacar sin mirar para estar seguro de tener dos del mismo color?
10.
Muestra con la calculadora que $\sqrt{2}$ está estrictamente entre $1{,}4142$ y $1{,}4143$ , así que no es igual a ninguno de los dos.
11.
Alguien afirma que $\frac{1}{1000}$ es el menor número racional positivo. Divídelo entre 2 como en la demostración. ¿Qué racional positivo menor obtienes? Escríbelo como fracción.
12.
¿Cuántas personas garantizan que dos de ellas cumplan años el mismo día (día y mes), contando el 29 de febrero como cumpleaños posible?
13.
Aplica la demostración de Euclides a la lista de primos $2, 3, 5$ : construye $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ y comprueba que ningún primo de la lista lo divide.
14.
En la demostración de Euclides, calcula $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ para los cinco primeros primos.
15.
Con los primos $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , el número de Euclides es $N = 30031 = 59 \times 509$ , que no es primo. ¿Qué significa esto para la demostración?
1. a)La demostración falla, porque $N$ no es primo
2. b)Solo hay seis números primos
3. c) $N$ tiene factores primos que no están en la lista, así que la demostración funciona
4. d) $59$ es el mayor número primo
16.
Sigue la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional. Supón $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ como fracción irreducible y completa los números.
17.
Demuestra del mismo modo que $\sqrt{3}$ es irracional. Supón $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ como fracción irreducible y completa los números. Usa que si un primo divide a $a^2$ , divide a $a$ .
18.
Aplica la demostración de Euclides con los primos $2, 3, 5, 7, 11, 13$ y encuentra los factores primos de $N$ .