Demostración por reducción al absurdo

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Quieres demostrar por reducción al absurdo que $\sqrt{3}$ es irracional. ¿Cuál es la primera línea correcta?
1. a)Supongamos que $3$ es irracional
2. b)Supongamos que $\sqrt{3}$ es racional
3. c)Supongamos que $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supongamos que $\sqrt{3}$ es irracional
Respuesta: Supongamos que $\sqrt{3}$ es racional
El enunciado es " $\sqrt{3}$ es irracional", así que su negación es " $\sqrt{3}$ es racional". Suponer el propio enunciado sería un razonamiento circular.
2.
¿Cuál es el menor número de personas que necesitas para asegurar que al menos dos nacieron el mismo mes?
Respuesta: 13
Con 12 personas, todos los meses pueden ser distintos. Con 13, suponer que todos los meses son distintos exigiría 13 meses, pero solo hay 12. Así que la respuesta es $13$ .
3.
¿Qué enunciado es falso para cualquier valor de verdad de $p$ y, por tanto, es una contradicción?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
Respuesta: $p \land \neg p$
$p \land \neg p$ exige que $p$ y su contrario sean verdaderos a la vez, lo que nunca ocurre, así que vale F en todas las filas. $p \lor \neg p$ y $p \Rightarrow p$ son siempre verdaderos, y $\neg\neg p$ tiene el mismo valor que $p$ .
4.
Alguien afirma que $N = 100$ es el mayor número par. Sigue la demostración para mostrar que la afirmación es falsa.
Respuesta: 102
1. Escribe $100 = 2k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 50
2. ¿Cuánto es $N + 2$ ? 102
3. Escribe $N + 2 = 2(k + 1)$ . ¿Cuánto vale $k + 1$ ? 51
5.
En la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, elevas $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ al cuadrado y multiplicas por $b^2$ . Obtienes $a^2 = k \cdot b^2$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Respuesta: 2
Al elevar al cuadrado se obtiene $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , y al multiplicar por $b^2$ se obtiene $a^2 = 2b^2$ , así que $k = 2$ . Esto muestra que $a^2$ es par.
6.
Muestra con el principio del palomar que en un grupo de 13 personas algún mes de nacimiento se repite.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos meses (cajas) hay? 12
2. ¿Cuántas personas como máximo pueden tener todas meses de nacimiento distintos? 12
3. Después de poner una persona en cada mes, ¿cuántas de las 13 personas sobran? 1
4. Entonces, ¿cuántas personas tiene como mínimo el mes más lleno? 2
7.
¿Cuál es la negación correcta de "Todo número primo es impar"?
1. a)Todo número primo es par
2. b)Todo número impar es primo
3. c)Ningún número primo es impar
4. d)Al menos un número primo no es impar
Respuesta: Al menos un número primo no es impar
La negación de "todo ... es impar" es "al menos uno ... no es impar". Aquí la negación incluso es verdadera: $2$ es un número primo que no es impar.
8.
Quieres demostrar $x > 5$ por reducción al absurdo. ¿Qué supones?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
Respuesta: $x \le 5$
$x > 5$ es falso exactamente cuando $x < 5$ o $x = 5$ , es decir, $x \le 5$ . Suponer solo $x < 5$ dejaría abierto el caso $x = 5$ .
9.
Una caja tiene guantes sueltos de 7 colores distintos. ¿Cuántos guantes tienes que sacar sin mirar para estar seguro de tener dos del mismo color?
Respuesta: 8
7 guantes pueden tener todos colores distintos. Con 8, suponer que todos los colores son distintos exigiría 8 colores, pero solo hay 7. Así que $8$ guantes garantizan una pareja.
10.
Muestra con la calculadora que $\sqrt{2}$ está estrictamente entre $1{,}4142$ y $1{,}4143$ , así que no es igual a ninguno de los dos.
Respuesta: 0
1. ¿Cuánto es $1{,}4142^2$ ? 1.99996164
2. ¿Cuánto es $1{,}4143^2$ ? 2.00024449
3. ¿Cuántos de estos dos cuadrados valen exactamente 2? 0
11.
Alguien afirma que $\frac{1}{1000}$ es el menor número racional positivo. Divídelo entre 2 como en la demostración. ¿Qué racional positivo menor obtienes? Escríbelo como fracción.
Respuesta: 1/2000
$\frac{1}{1000} : 2 = \frac{1}{2000}$ , que es positivo, racional y menor que $\frac{1}{1000}$ . Así que la afirmación es falsa, y el mismo truco funciona con cualquier candidato.
12.
¿Cuántas personas garantizan que dos de ellas cumplan años el mismo día (día y mes), contando el 29 de febrero como cumpleaños posible?
Respuesta: 367
1. ¿Cuántos cumpleaños posibles hay, incluido el 29 de febrero? 366
2. ¿Cuántas personas como máximo pueden tener todas cumpleaños distintos? 366
3. ¿Cuántas personas garantizan un cumpleaños compartido? 367
13.
Aplica la demostración de Euclides a la lista de primos $2, 3, 5$ : construye $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ y comprueba que ningún primo de la lista lo divide.
Respuesta: 31
1. ¿Cuánto es $2 \cdot 3 \cdot 5$ ? 30
2. ¿Cuánto es $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ ? 31
3. ¿Cuál es el resto al dividir $31$ entre $3$ ? 1
4. ¿Cuál es el resto al dividir $31$ entre $5$ ? 1
14.
En la demostración de Euclides, calcula $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ para los cinco primeros primos.
Respuesta: 2311
$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ , así que $N = 2311$ . Al dividir $2311$ entre 2, 3, 5, 7 u 11 siempre queda resto 1, así que sus factores primos no están en la lista (aquí $2311$ resulta ser primo).
15.
Con los primos $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , el número de Euclides es $N = 30031 = 59 \times 509$ , que no es primo. ¿Qué significa esto para la demostración?
1. a)La demostración falla, porque $N$ no es primo
2. b)Solo hay seis números primos
3. c) $N$ tiene factores primos que no están en la lista, así que la demostración funciona
4. d) $59$ es el mayor número primo
Respuesta: $N$ tiene factores primos que no están en la lista, así que la demostración funciona
La demostración nunca afirma que $N$ sea primo. Solo necesita un factor primo de $N$ que falte en la lista, y $59$ y $509$ son justamente primos así. La demostración sigue funcionando.
16.
Sigue la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional. Supón $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ como fracción irreducible y completa los números.
Respuesta: 2
1. Al elevar al cuadrado se obtiene $a^2 = m \cdot b^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 2
2. $a$ es par, así que $a = 2k$ . Entonces $a^2 = m \cdot k^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 4
3. De $4k^2 = 2b^2$ se obtiene $b^2 = m \cdot k^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 2
4. Entonces, ¿entre qué número son divisibles tanto $a$ como $b$ ? 2
17.
Demuestra del mismo modo que $\sqrt{3}$ es irracional. Supón $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ como fracción irreducible y completa los números. Usa que si un primo divide a $a^2$ , divide a $a$ .
Respuesta: 3
1. Al elevar al cuadrado se obtiene $a^2 = m \cdot b^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 3
2. $3$ divide a $a$ , así que $a = 3k$ . Entonces $a^2 = m \cdot k^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 9
3. De $9k^2 = 3b^2$ se obtiene $b^2 = m \cdot k^2$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 3
4. Entonces, ¿entre qué primo son divisibles tanto $a$ como $b$ ? 3
18.
Aplica la demostración de Euclides con los primos $2, 3, 5, 7, 11, 13$ y encuentra los factores primos de $N$ .
Respuesta: 509
1. ¿Cuánto es $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ? 30030
2. ¿Cuánto es $N$ , el producto más 1? 30031
3. ¿Cuál es el resto al dividir $N$ entre $13$ ? 1
4. $N = 59 \times q$ . ¿Cuánto vale $q$ ? 509