Guía del profesor: Demostración por reducción al absurdo

Aprende a demostrar un enunciado suponiendo que es falso y mostrando que eso lleva a algo imposible, con demostraciones clásicas como la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Demostraciones matemáticas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir la negación correcta de un enunciado como primera línea de una demostración
Explicar por qué llegar a una contradicción demuestra el enunciado original
Reproducir las demostraciones clásicas de que la raíz cuadrada de 2 es irracional y de que hay infinitos primos
Aplicar el principio del palomar a problemas de recuento
Distinguir la reducción al absurdo de la demostración directa y de la demostración por contrarrecíproca

Requisitos previos

• Introducción a las demostraciones matemáticas: hipótesis, conclusión, c. q. d.
• Demostración directa, incluidos los hechos de que los pares son de la forma $2k$ y de que el cuadrado de un impar es impar
• Negación y contrarrecíproca de un enunciado "si ... entonces"
• Números racionales como fracciones y simplificación hasta la fracción irreducible
• Números primos y factores primos

Iniciadores de discusión

1. ¿En qué se parece la reducción al absurdo a un detective que descarta a un sospechoso?
2. ¿Por qué la demostración de que raíz de 2 es irracional necesita la palabra "irreducible"?
3. El número de Euclides $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1$ no es primo. ¿Rompe eso la demostración?
4. ¿Se te ocurre un enunciado que sería muy difícil de demostrar directamente pero fácil por reducción al absurdo?

Conceptos erróneos comunes

La negación de "todos" es "ninguno"

Remediación: Usa un ejemplo de la clase: "Todos los alumnos de esta aula llevan gafas" es falso en cuanto UN alumno no las lleva. Así que su negación es "al menos un alumno no lleva gafas".

En la demostración de Euclides, el número $p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ siempre es primo

Remediación: Calcula $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ . La demostración solo necesita un factor primo fuera de la lista, no un primo nuevo igual a $N$ .

La reducción al absurdo es solo una demostración directa con más palabras

Remediación: Muestra una demostración en la que la suposición sea imprescindible, como la de raíz de 2: sin suponer que existe $\frac{a}{b}$ , no hay nada con lo que calcular.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar por las demostraciones del número par mayor que todos y de los meses de nacimiento, que solo usan recuento
• Practicar la escritura de negaciones antes de escribir ninguna demostración
• Dar la demostración de raíz de 2 como andamiaje con un hueco en cada paso

Para estudiantes de nivel:

• Demostrar por su cuenta que no existe un racional positivo menor que todos
• Reescribir la demostración de Euclides con los primos 2, 3 y 5 y comprobar los números
• Resolver problemas del palomar con calcetines, cumpleaños y códigos

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar que la raíz cuadrada de 3 es irracional y explicar por qué el mismo método falla con la raíz de 4
• Demostrar que la suma de un racional y un irracional es irracional
• Comparar una demostración por contrarrecíproca y otra por reducción al absurdo del mismo enunciado

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
HSN-RN.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.B.3)
Explicar por qué la suma o el producto de dos racionales es racional y por qué la suma de un racional y un irracional es irracional
8.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.1)
Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales

Recursos de la lección

visualTabla de verdad: P Y NO P
Los alumnos comprueban que P Y NO P es falso en todas las filas, el núcleo lógico de toda contradicción
activityRelevo de negaciones
Los equipos escriben por turnos la negación de enunciados con todo, algunos, ninguno, mayor que e infinitos
worksheetAndamiaje de demostraciones clásicas
Versiones con huecos de las demostraciones de raíz de 2, los infinitos primos y el principio del palomar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una demostración por reducción al absurdo (también llamada demostración indirecta) demuestra un enunciado

P

dando un rodeo: supones que

P

es falso y muestras que esa suposición lleva a algo imposible. Como un razonamiento correcto nunca puede obtener una imposibilidad a partir de una suposición verdadera, la suposición debe ser falsa, así que

P

es verdadero.

El método tiene cuatro pasos:

1.Suponer la negación: la primera línea es "Supongamos, por reducción al absurdo, que $\neg P$ ."
2.Razonar con definiciones y hechos conocidos, igual que en una demostración directa.
3.Llegar a una contradicción: un enunciado $Q$ y su contrario $\neg Q$ se cumplen a la vez (por ejemplo " $a/b$ es irreducible" y " $a$ y $b$ son ambos pares"), o se rompe un hecho conocido (como $1 = 0$ ).
4.Concluir: la suposición $\neg P$ era falsa, así que $P$ es verdadero.

En símbolos: si

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q)

, entonces

P

. Funciona porque

Q \land \neg Q

es siempre falso. En la tabla de verdad interactiva, más abajo en esta página, elige NO para ver que

\neg P

es siempre lo contrario de

P

, y después elige Y: en las dos filas en las que

Q

es lo contrario de

P

(F, V y V, F),

P \land Q

vale F. Por tanto,

P \land \neg P

vale F en todas las filas (V = verdadero, F = falso).

Escribir bien la negación es la línea más importante de la demostración:

" $\sqrt{2}$ es irracional" pasa a ser " $\sqrt{2}$ es racional"
"Hay infinitos números primos" pasa a ser "Solo hay una cantidad finita de números primos"
"No existe un número par mayor que todos" pasa a ser "Existe un número par mayor que todos"
" $x > 5$ " pasa a ser " $x \le 5$ "
"Todo ... tiene la propiedad" pasa a ser "Al menos un ... no tiene la propiedad"

¿Absurdo o contrarrecíproca? Una demostración por contrarrecíproca (lección anterior) prueba "si

p

, entonces

q

" suponiendo solo

\neg q

y buscando un único objetivo fijo:

\neg p

. Una reducción al absurdo supone que todo el enunciado es falso (en un enunciado "si ... entonces":

p

\neg q

a la vez) y puede terminar en cualquier imposibilidad.

Ejemplos resueltos

Demuestra que no existe un número par mayor que todos los demás.

Escribe la negación como primera línea

Supongamos, por reducción al absurdo, que existe un número par mayor que todos, $N$ → Suposición: $N$ es par y $N \ge$ cualquier número par

Usa la definición de par

$N = 2k$ para algún entero $k$ , así que $N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$ → $N + 2$ es par

Compara los dos números

$N + 2 > N$ → Existe un número par mayor que $N$

Localiza la contradicción y concluye

$N$ es el mayor número par, pero $N + 2$ es un número par mayor → La suposición es falsa

Respuesta: La suposición lleva a una contradicción, así que no existe un número par mayor que todos. c. q. d.

Errores comunes

Negar "Hay infinitos números primos" como "No hay números primos"

Por qué está mal: Lo contrario de "infinitos" no es "ninguno". La negación debe cubrir todos los casos en los que el enunciado falla, y eso es "solo una cantidad finita".

Correcto: Supón "Solo hay una cantidad finita de números primos". Del mismo modo, la negación de "todo primo es impar" es "al menos un primo no es impar", no "todo primo es par".

Negar $x > 5$ como $x < 5$

Por qué está mal: Se olvida el caso $x = 5$ . Si la demostración solo descarta $x < 5$ , el número $5$ sigue siendo posible.

Correcto: La negación de $x > 5$ es $x \le 5$ , y la negación de $x \ge 5$ es $x < 5$ .

Olvidar "irreducible" en la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional

Por qué está mal: Sin esa condición, descubrir que $a$ y $b$ son ambos pares no es ninguna contradicción: $\frac{4}{2}$ tiene numerador y denominador pares.

Correcto: Escribe $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ como fracción irreducible. Toda fracción se puede simplificar, así que no cuesta nada, y es justo el hecho que la demostración rompe después.

Llamar contradicción a un resultado sorprendente

Por qué está mal: Un resultado que parece raro (un número muy grande, una fracción inesperada) no es imposible. Una contradicción tiene que chocar con la suposición o con un hecho conocido.

Correcto: Nombra los dos enunciados que chocan, por ejemplo " $r$ es el menor" y " $\frac{r}{2} < r$ ", y después escribe la conclusión.

Por qué es importante

Algunos de los resultados más famosos de las matemáticas se demuestran con más comodidad por reducción al absurdo:

Números irracionales: los griegos demostraron hace unos 2500 años que $\sqrt{2}$ no es una fracción, y eso cambió la forma de pensar sobre los números
Números primos: la demostración de Euclides de que los primos nunca se acaban se sigue usando en todos los cursos de teoría de números
Informática: el principio del palomar explica por qué dos archivos pueden recibir la misma huella corta (una colisión de hash) y por qué ninguna compresión puede reducir todos los archivos
Pasatiempos: resolver un sudoku a menudo significa decir "si esta casilla fuera un 5, habría dos 5 en la misma fila, así que no es un 5"
Razonamiento cotidiano: los detectives y los médicos descartan posibilidades mostrando que llevan a algo imposible

Siempre que un enunciado dice que algo NO existe (ningún número mayor que todos, ninguna fracción igual a

\sqrt{2}

), la reducción al absurdo suele ser la herramienta natural.

Aplicaciones del mundo real

Calcetines iguales a oscuras

El principio del palomar, demostrado por reducción al absurdo, te dice el menor número de objetos que garantiza una repetición.

Ejemplo:

Un cajón tiene calcetines negros, blancos y grises. Si pudieras sacar 4 calcetines todos de colores distintos, necesitarías 4 colores, pero solo hay 3. Así que 4 calcetines siempre contienen una pareja del mismo color.

1Inténtalo tú mismo

Un cajón tiene calcetines sueltos de 5 colores distintos y está demasiado oscuro para verlos.

¿Cuántos calcetines tienes que sacar para estar seguro de tener dos del mismo color?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Número de colores más uno:

Colisiones de hash en informática

Los ordenadores asignan a los archivos códigos cortos llamados hashes. Como hay más archivos posibles que códigos, a veces dos archivos distintos tienen que compartir código.

Ejemplo:

Un sistema asigna a cada archivo un código del 00 al 99. Con 101 archivos, suponer que todos los códigos son distintos exigiría 101 códigos, pero solo hay 100, así que dos archivos comparten código.

2Inténtalo tú mismo

Un sistema asigna a cada archivo un código de 3 cifras del 000 al 999.

¿Cuántos archivos garantizan que dos de ellos tengan el mismo código?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Número de códigos más uno:

Por qué la calculadora nunca muestra la raíz de 2 exacta

Como $\sqrt{2}$ es irracional, su expresión decimal nunca termina ni se repite. Cualquier decimal en la pantalla es solo una aproximación, algo que los ingenieros deben tener en cuenta al calcular diagonales.

Ejemplo:

Una baldosa cuadrada de 1 m de lado tiene una diagonal de $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ m. El valor 1,4142 se acerca, pero no es exacto.

3Inténtalo tú mismo

Una calculadora muestra $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ .

Comprueba que 1,4142 no es exactamente la raíz cuadrada de 2.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Eleva el decimal al cuadrado:

Puntos clave

1Una demostración por reducción al absurdo supone que el enunciado es falso y muestra que eso lleva a algo imposible
2La primera línea es la negación correcta: "infinitos" pasa a "solo una cantidad finita", $x > 5$ pasa a $x \le 5$ , "todo" pasa a "al menos uno ... no"
3Una contradicción son dos enunciados que no pueden ser verdaderos a la vez, como $Q \land \neg Q$ , que es falso en todas las filas de una tabla de verdad
4Resultados clásicos demostrados así: $\sqrt{2}$ es irracional, hay infinitos primos, no existe un número par mayor que todos ni un racional positivo menor que todos
5El principio del palomar: si se reparten más de $n$ objetos en $n$ cajas, alguna caja contiene al menos dos objetos
6La demostración por contrarrecíproca prueba directamente "si no q, entonces no p", mientras que la reducción al absurdo supone falso todo el enunciado y busca cualquier imposibilidad

Preguntas frecuentes

¿Por qué basta con llegar a una contradicción?

Un razonamiento correcto a partir de enunciados verdaderos solo produce enunciados verdaderos. Si llegamos a algo imposible, al menos un punto de partida era falso, y el único punto de partida que añadimos nosotros fue la suposición

\neg P

. Así que

\neg P

es falso y

P

es verdadero.

¿Cuándo debo usar la reducción al absurdo?

Es una buena elección cuando el enunciado dice que algo no existe (ningún número mayor que todos, ninguna fracción igual a

\sqrt{2}

) o que hay infinitos de algo. En esos casos, suponer lo contrario te da un objeto concreto con el que trabajar.

¿Es la reducción al absurdo lo mismo que la demostración por contrarrecíproca?

No. La demostración por contrarrecíproca prueba directamente "si no q, entonces no p" y termina en "no p". La reducción al absurdo supone que el enunciado es falso y puede terminar en cualquier imposibilidad. Toda demostración por contrarrecíproca se puede reescribir como reducción al absurdo, pero no toda reducción al absurdo es una demostración por contrarrecíproca.

¿Qué significa c. q. d. y qué es "reductio ad absurdum"?

c. q. d. ("como queríamos demostrar", en latín quod erat demonstrandum) marca el final de una demostración. Reductio ad absurdum, "reducción al absurdo", es el nombre latino de este método.

Glosario

Reducción al absurdo: Una demostración que supone falso el enunciado y deduce una imposibilidad, de modo que el enunciado debe ser verdadero (también llamada demostración indirecta)
Contradicción: Dos enunciados que no pueden ser verdaderos a la vez, como $Q$ y $\neg Q$ ; el enunciado $Q \land \neg Q$ es siempre falso
Negación: Lo contrario de un enunciado, escrito $\neg P$ ; es verdadera exactamente cuando $P$ es falso
Número irracional: Un número real que no se puede escribir como fracción $\frac{a}{b}$ de enteros, por ejemplo $\sqrt{2}$
Principio del palomar: Si se colocan más de $n$ objetos en $n$ cajas, al menos una caja contiene dos o más objetos

Tarjeta de fórmulas

Reducción al absurdo

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \;\text{ luego }\; P

Si suponer no P lleva a una contradicción, entonces P es verdadero

Una contradicción siempre es falsa

Q \land \neg Q = F

Un enunciado y su negación nunca pueden ser verdaderos a la vez

Principio del palomar

n + 1 \text{ objetos en } n \text{ cajas}

Al menos una caja recibe dos o más objetos

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Calcetines iguales a oscuras

Colisiones de hash en informática

Por qué la calculadora nunca muestra la raíz de 2 exacta

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Reducción al absurdo

Una contradicción siempre es falsa

Principio del palomar

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