Demostración por contrarrecíproca

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué enunciado es la contrarrecíproca de "Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par"?
1. a)Si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar
2. b)Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es par
3. c)Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar
4. d)Si $n$ es par, entonces $n^2$ es par
Respuesta: Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar
La contrarrecíproca de $p \to q$ es $\neg q \to \neg p$ : "si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar". La primera opción es la recíproca, la segunda la inversa, la última no tiene relación.
2.
Quieres demostrar "Si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son ambos impares" por contrarrecíproca. ¿Qué supones al principio?
1. a) $x$ e $y$ son ambos impares
2. b) $x$ e $y$ son ambos pares
3. c) $x$ es par o $y$ es par
4. d) $xy$ es par
Respuesta: $x$ es par o $y$ es par
La conclusión " $x$ e $y$ son impares" falla en cuanto un número es par, así que su negación es " $x$ es par o $y$ es par". " $xy$ es par" es lo que tienes que demostrar, y "ambos pares" deja casos fuera.
3.
¿Cuál es la negación de " $x \geq 5$ o $y \geq 5$ "?
1. a) $x \leq 5$ e $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ o $y < 5$
3. c) $x < 5$ e $y < 5$
4. d) $x > 5$ e $y > 5$
Respuesta: $x < 5$ e $y < 5$
"No ( $a$ o $b$ )" significa "no $a$ y no $b$ ", y la negación de $x \geq 5$ es $x < 5$ . Así que la respuesta es " $x < 5$ e $y < 5$ ". Con $\leq$ el valor 5 quedaría incluido por error.
4.
En una demostración de $p \to q$ por contrarrecíproca empiezas suponiendo $\neg q$ . ¿A qué tienes que llegar al final?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ y $\neg q$ a la vez
3. c) $q$
4. d)Cualquier contradicción
Respuesta: $\neg p$
Una demostración por contrarrecíproca demuestra $\neg q \to \neg p$ , así que desde $\neg q$ tienes que llegar exactamente a $\neg p$ . Buscar cualquier contradicción, o suponer $p$ y $\neg q$ a la vez, es la reducción al absurdo.
5.
¿Para qué enunciado es claramente mejor una demostración por contrarrecíproca que una directa?
1. a)Si $n$ es par, entonces $n^2$ es par
2. b)Si $a$ y $b$ son pares, entonces $a + b$ es par
3. c)Si $5n + 1$ es par, entonces $n$ es impar
4. d)Si $n$ es impar, entonces $n + 1$ es par
Respuesta: Si $5n + 1$ es par, entonces $n$ es impar
En los otros tres enunciados la hipótesis es concreta ( $n = 2k$ , $a = 2m$ y $b = 2j$ , $n = 2k + 1$ ), así que una demostración directa es rápida. " $5n + 1$ es par" dice poco sobre $n$ , pero la contrarrecíproca es fácil: si $n = 2k$ , entonces $5n + 1 = 10k + 1 = 2(5k) + 1$ es impar.
6.
En la tabla de verdad, mira la fila en la que $p$ es verdadera y $q$ es falsa. ¿Qué valor tiene $\neg q \to \neg p$ en esa fila? Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 0
Con $p$ verdadera y $q$ falsa: $\neg q$ es verdadera y $\neg p$ es falsa, así que $\neg q \to \neg p$ es falsa (0). Es justo la fila en la que $p \to q$ también es falsa: las dos columnas coinciden.
7.
Demostración por contrarrecíproca de "si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar": supón $n = 2k$ , así que $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Para $k = 7$ , ¿cuánto vale $2k^2$ ?
Respuesta: 98
$2k^2 = 2 \cdot 49 = 98$ . Comprobación: $n = 14$ y $n^2 = 196 = 2 \cdot 98$ , que es par, como dice la contrarrecíproca.
8.
En la demostración de que un $n$ impar da un $n^2$ impar, escribimos $n = 2k + 1$ y $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Para $n = 9$ tenemos $k = 4$ . ¿Cuánto vale $2k^2 + 2k$ ?
Respuesta: 40
$2k^2 + 2k = 32 + 8 = 40$ . Comprobación: $2 \cdot 40 + 1 = 81 = 9^2$ , un número impar.
9.
La contrarrecíproca de "si $x + y \geq 10$ , entonces $x \geq 5$ o $y \geq 5$ " dice: si $x < 5$ e $y < 5$ , entonces $x + y < 10$ . Para enteros $x$ e $y$ con $x < 5$ e $y < 5$ , ¿cuál es el mayor valor posible de $x + y$ ?
Respuesta: 8
Los mayores valores son $x = 4$ e $y = 4$ , así que $x + y = 8$ , que es menor que 10, como predice la contrarrecíproca.
10.
Para demostrar "si $n^2 - 6n + 5$ es par, entonces $n$ es impar" por contrarrecíproca, supón $n = 2k$ . Entonces $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Para $k = 3$ , ¿cuánto vale $2k^2 - 6k + 2$ ?
Respuesta: 2
$2k^2 - 6k + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$ . Comprobación: $n = 6$ da $36 - 36 + 5 = 5 = 2 \cdot 2 + 1$ , un número impar.
11.
Comprueba la contrarrecíproca de "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" con el número impar $n = 11$ .
Respuesta: $121 = 2 \cdot 60 + 1$
1. ¿Cuánto vale $n^2$ ? 121
2. Escribe $121 = 2m + 1$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 60
3. ¿Cuál es el resto al dividir $121$ entre 2? 1
12.
Demuestra "si $3n + 2$ es impar, entonces $n$ es impar" por contrarrecíproca y compruébalo con $k = 4$ .
Respuesta: 13
1. Supón que $n$ es par: $n = 2k$ . Para $k = 4$ , ¿cuánto vale $n$ ? 8
2. ¿Cuánto vale $3n + 2$ ? 26
3. En general $3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ . ¿Cuánto vale $3k + 1$ para $k = 4$ ? 13
13.
Contrarrecíproca de "si $xy$ es impar, entonces $x$ e $y$ son impares", caso " $x$ es par". Sigue la demostración con $x = 6$ e $y = 7$ .
Respuesta: 21
1. Escribe $x = 2k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $xy$ ? 42
3. La demostración escribe $xy = 2(ky)$ . ¿Cuánto vale $ky$ ? 21
14.
Compara las columnas $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ en la tabla de verdad de 4 filas.
Respuesta: 0
1. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $p \to q$ ? 3
2. ¿En cuántas filas es verdadera $\neg q \to \neg p$ ? 3
3. ¿En cuántas filas tienen las dos columnas valores distintos? 0
15.
Demuestra por contrarrecíproca: para números reales $x$ , $y$ , $z$ , si $x + y + z \geq 30$ , entonces $x \geq 10$ o $y \geq 10$ o $z \geq 10$ .
Respuesta: $x + y + z < 30$
1. La conclusión negada es " $x < 10$ e $y < 10$ y $z < 10$ ". ¿Cuántas desigualdades supones? 3
2. Suma las desigualdades: ¿ $x + y + z$ es menor que qué número? 30
3. ¿Puede cumplirse entonces $x + y + z \geq 30$ ? Escribe 1 para sí y 0 para no. 0
16.
Enunciado: si $n^2 - 6n + 5$ es par, entonces $n$ es impar. Comprueba la contrarrecíproca con $n = 2k$ y $k = 5$ .
Respuesta: 22
1. ¿Cuánto vale $n$ ? 10
2. ¿Cuánto vale $n^2 - 6n + 5$ ? 45
3. Escribe el resultado como $2m + 1$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 22
17.
Demuestra por contrarrecíproca: si 7 números tienen una suma $S$ mayor que 63, entonces al menos uno de ellos es mayor que 9.
Respuesta: $S \leq 63$
1. Conclusión negada: ¿como mucho qué valor tiene cada número? 9
2. ¿Cuál es la mayor suma posible de 7 números así? 63
3. ¿Puede entonces la suma ser mayor que 63? Escribe 1 para sí y 0 para no. 0
18.
Demuestra "si $n^2$ no es divisible entre 3, entonces $n$ no es divisible entre 3" por contrarrecíproca y compruébalo con $k = 7$ .
Respuesta: 147
1. Supón que $n$ es divisible entre 3: $n = 3k$ . Para $k = 7$ , ¿cuánto vale $n$ ? 21
2. ¿Cuánto vale $n^2$ ? 441
3. En general $n^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ . ¿Cuánto vale $3k^2$ para $k = 7$ ? 147