Guía del profesor: Demostración por contrarrecíproca

Demuestra una implicación suponiendo que su conclusión es falsa y mostrando que entonces su hipótesis también es falsa.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Demostraciones matemáticas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar por qué una implicación y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes
Decidir cuándo una demostración por contrarrecíproca es más sencilla que una directa
Negar correctamente conclusiones que contienen "y", "o" y desigualdades
Escribir demostraciones completas por contrarrecíproca sobre enteros pares e impares y sobre desigualdades
Distinguir la demostración por contrarrecíproca de la reducción al absurdo

Requisitos previos

• Demostración directa: suponer la hipótesis y deducir la conclusión
• Contrarrecíproca: formar $\neg q \to \neg p$ a partir de una implicación
• Introducción a las demostraciones matemáticas: hipótesis, conclusión y c. q. d.
• Definiciones de entero par ( $2k$ ) e impar ( $2k + 1$ )

Iniciadores de discusión

1. "Si llueve, la calle está mojada." ¿Qué puedes concluir si la calle está seca? ¿Y si está mojada?
2. ¿Por qué la hipótesis " $n^2$ es par" es más difícil de usar que " $n$ es impar"?
3. ¿Cuál es lo contrario de "al menos uno de los números es 5 o más"?
4. ¿Cómo le explicarías a un amigo la diferencia entre una demostración por contrarrecíproca y una reducción al absurdo?

Conceptos erróneos comunes

La contrarrecíproca y la recíproca son lo mismo

Remediación: Usa un enunciado verdadero con recíproca falsa: "si un número es divisible entre 4, es par". La recíproca falla ( $6$ es par pero no es divisible entre 4), mientras que la contrarrecíproca ("si un número es impar, no es divisible entre 4") es verdadera.

Negar es simplemente poner "no" delante de cada palabra

Remediación: Practica con " $x$ e $y$ son impares": los alumnos prueban parejas como $(2, 3)$ y ven que el enunciado ya falla cuando solo un número es par, lo que lleva a " $x$ es par o $y$ es par".

Una demostración por contrarrecíproca tiene que terminar en una contradicción

Remediación: Escribe una al lado de la otra las dos demostraciones de "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par" y destaca que la versión por contrarrecíproca simplemente termina en " $n^2$ es impar".

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una plantilla: Contrarrecíproca: ... / Supongamos: ... / Entonces: ... / Por tanto: ... / Así que el enunciado original es verdadero
• Empezar con frases de la vida diaria antes de pasar a los números
• Comprobar cada paso con números concretos como $n = 7$ o $n = 10$

Para estudiantes de nivel:

• Demostrar sin plantilla los enunciados clásicos sobre pares e impares
• Negar enunciados con y, o y desigualdades, y luego demostrarlos
• Decidir para cada enunciado si es más corta la demostración directa o la contrarrecíproca

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar: si $n^2$ es divisible entre 3, entonces $n$ es divisible entre 3 (casos $n = 3k + 1$ y $n = 3k + 2$ )
• Usar "si $n^2$ es par, $n$ es par" para seguir la prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional
• Reescribir una demostración por contrarrecíproca como reducción al absurdo y comparar las longitudes

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión, también en el uso de conectores lógicos y negaciones
HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Explicar cada paso al resolver una ecuación como consecuencia de la igualdad afirmada en el paso anterior

Recursos de la lección

visualTabla de verdad: dos columnas iguales
Los alumnos construyen las columnas $p \to q$ y $\neg q \to \neg p$ y ven que coinciden
activity¿Directa o contrarrecíproca?
Clasificar 8 enunciados según el método que da la demostración más corta y después demostrar dos de ellos
worksheetPráctica de negación
Negar enunciados con y, o, al menos uno y desigualdades antes de escribir demostraciones

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una demostración por contrarrecíproca demuestra una implicación

p \to q

demostrando en su lugar su contrarrecíproca

\neg q \to \neg p

. Supones que la conclusión es falsa y muestras que entonces la hipótesis tiene que ser falsa.

Por qué está permitido (repaso de la lección Contrarrecíproca): una implicación y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes. Sus columnas en la tabla de verdad coinciden en cada fila (T significa verdadero y F falso; la tabla interactiva escribe V y F):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & \neg q & \neg p & \neg q \to \neg p \\ \hline F & F & T & T & T & T \\ F & T & T & F & T & T \\ T & F & F & T & F & F \\ T & T & T & F & F & T \end{array}

Así que, en cuanto

\neg q \to \neg p

está demostrada,

p \to q

también lo está.

El plan de la demostración:

1.Escribe la contrarrecíproca: niega la hipótesis y la conclusión, y luego intercámbialas.
2.Supón $\neg q$ (la conclusión es falsa).
3.Avanza con definiciones y álgebra, igual que en una demostración directa.
4.Llega a $\neg p$ (la hipótesis es falsa).
5.Concluye: la contrarrecíproca es verdadera, así que el enunciado original es verdadero.

Cuándo elegirla: cuando la hipótesis

p

da poco con qué trabajar ("

n^2

es par" no dice nada sencillo sobre

n

), pero la conclusión negada

\neg q

es concreta ("

n

es impar" significa

n = 2k + 1

No es lo mismo que la reducción al absurdo: allí supones

p

\neg q

a la vez y buscas *cualquier* contradicción. Aquí supones solo

\neg q

y apuntas a un objetivo fijo:

\neg p

Ejemplos resueltos

Demuestra: para todo entero $n$ , si $n^2$ es par, entonces $n$ es par.

Escribe la contrarrecíproca

Niega las dos partes e intercámbialas: "si $n$ no es par, entonces $n^2$ no es par" → Si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar

Supón la conclusión negada

Supón que $n$ es impar, así que $n = 2k + 1$ para algún entero $k$ → $n = 2k + 1$

Eleva al cuadrado y desarrolla

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ → $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Escríbelo en la forma 2m + 1

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , y $m = 2k^2 + 2k$ es un entero → $n^2$ es impar

Concluye

Hemos demostrado " $n$ impar $\Rightarrow$ $n^2$ impar", la contrarrecíproca del enunciado → Si $n^2$ es par, entonces $n$ es par

Respuesta: La contrarrecíproca (si $n$ es impar, entonces $n^2$ es impar) es verdadera, así que el enunciado original es verdadero. c. q. d.

Errores comunes

Demostrar la recíproca en lugar de la contrarrecíproca: para "si $n^2$ es par, entonces $n$ es par", suponer $n$ par y mostrar que $n^2$ es par

Por qué está mal: Eso demuestra $q \to p$ , la recíproca, que es otro enunciado. Una implicación y su recíproca no son equivalentes.

Correcto: Niega las dos partes e intercámbialas: supón $n$ impar ( $\neg q$ ) y muestra que $n^2$ es impar ( $\neg p$ ).

Negar " $x$ e $y$ son impares" como " $x$ e $y$ son pares"

Por qué está mal: La conclusión ya falla en cuanto uno solo de los números es par. "Ambos pares" cubre solo una parte de los casos, así que la demostración quedaría incompleta.

Correcto: "No ( $a$ y $b$ )" es "no $a$ o no $b$ ": $x$ es par o $y$ es par. Luego demuestra cada caso.

Negar $x \geq 5$ como $x \leq 5$

Por qué está mal: El valor $x = 5$ cumple a la vez $x \geq 5$ y $x \leq 5$ , así que $x \leq 5$ no es lo contrario de $x \geq 5$ .

Correcto: La negación de $x \geq 5$ es $x < 5$ , y la negación de $x > 5$ es $x \leq 5$ .

Suponer $\neg q$ y luego buscar "alguna contradicción"

Por qué está mal: Eso mezcla dos métodos. En una demostración por contrarrecíproca no hay contradicción: tienes un objetivo claro.

Correcto: Supón $\neg q$ y trabaja hasta llegar exactamente a $\neg p$ . Buscar cualquier contradicción es propio de la reducción al absurdo.

Por qué es importante

La demostración por contrarrecíproca es una de las herramientas más útiles de las matemáticas:

Convierte hipótesis vagas en concretas: con " $n^2$ es par" cuesta trabajar, con " $n$ es impar, así que $n = 2k + 1$ " es fácil
Simplifica las conclusiones con "o": la negación de " $x \geq 5$ o $y \geq 5$ " es el cómodo " $x < 5$ e $y < 5$ "
Está detrás de resultados clásicos: la prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional usa que si $n^2$ es par entonces $n$ es par, y eso se demuestra por contrarrecíproca
Es razonamiento cotidiano: "si el detector de humo funciona, pita en la prueba" significa "no pita, así que el detector está estropeado"
Te prepara para la reducción al absurdo, la siguiente lección de este tema, porque te entrena a negar enunciados correctamente

Cuando sabes negar enunciados y cambiar el punto de vista, muchas demostraciones que parecen imposibles por la vía directa se quedan en unas pocas líneas.

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad

Los inspectores usan la contrarrecíproca para descartar casos sin pesar cada artículo dos veces.

Ejemplo:

Regla: si un paquete de 4 cajas pesa al menos 2000 g, entonces al menos una caja pesa al menos 500 g. Contrarrecíproca: si cada caja pesa menos de 500 g, el paquete pesa menos de 2000 g.

1Inténtalo tú mismo

Una máquina llena 4 cajas y ninguna puede contener más de 495 g.

Muestra con la contrarrecíproca que el paquete no puede llegar a 2000 g.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Mayor total posible de las 4 cajas:

Probar software

Los programadores prueban el código con la contrarrecíproca: si el código es correcto, una prueba da el resultado correcto, así que un resultado erróneo demuestra un fallo.

Ejemplo:

Una función debe calcular $f(n) = 3n + 2$ . Hemos demostrado: si $f(n)$ es impar, entonces $n$ es impar. Contrarrecíproca: un $n$ par tiene que dar un resultado par.

2Inténtalo tú mismo

Una prueba llama a la función con $n = 8$ y el programa devuelve 27.

¿Cuál debería ser el resultado correcto y qué te dice el 27?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula el valor correcto $f(8)$ :

Dígitos de control en códigos

Muchos códigos usan una regla sencilla para detectar errores de tecleo. La contrarrecíproca te dice cuándo un código es seguro que está mal.

Ejemplo:

Regla: si un código es válido, entonces la suma de sus cifras es divisible entre 9. Contrarrecíproca: si la suma de las cifras no es divisible entre 9, el código no es válido.

3Inténtalo tú mismo

Alguien teclea el código 4726.

Usa la contrarrecíproca para decidir si el código puede ser válido.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma de las cifras:

Puntos clave

1Una demostración por contrarrecíproca demuestra $p \to q$ demostrando $\neg q \to \neg p$
2Funciona porque una implicación y su contrarrecíproca son lógicamente equivalentes (columnas iguales en la tabla de verdad)
3Plan: supón que la conclusión es falsa, avanza y llega a que la hipótesis es falsa
4Elígela cuando la conclusión negada sea concreta, por ejemplo " $n$ es impar" da $n = 2k + 1$
5Niega con cuidado: "y" se convierte en "o", "o" se convierte en "y", $\geq$ se convierte en $<$
6A diferencia de la reducción al absurdo, supones solo $\neg q$ y apuntas a un único objetivo, $\neg p$

Preguntas frecuentes

¿Por qué demostrar la contrarrecíproca demuestra el enunciado original?

Porque son lógicamente equivalentes: en la tabla de verdad,

p \to q

\neg q \to \neg p

son falsas exactamente en la misma fila (

p

verdadera,

q

falsa) y verdaderas en todas las demás. Demostrar una es demostrar la otra.

¿Cómo sé cuándo usar la contrarrecíproca en lugar de una demostración directa?

Mira la hipótesis. Si es difícil de usar (un enunciado sobre

n^2

, un producto, una suma) y la conclusión negada te da una fórmula (

n = 2k

n = 2k + 1

x < 5

y < 5

), la contrarrecíproca suele ser más corta.

¿Qué diferencia hay con la reducción al absurdo?

En la reducción al absurdo supones

p

\neg q

y buscas cualquier situación imposible. En la demostración por contrarrecíproca supones solo

\neg q

y tienes que llegar al enunciado concreto

\neg p

. Toda demostración por contrarrecíproca se puede reescribir como reducción al absurdo, pero no al revés.

Si demuestro la contrarrecíproca, ¿también es verdadera la recíproca?

No automáticamente. La recíproca

q \to p

es un enunciado distinto. Por ejemplo, "si

n^2

es par, entonces

n

es par" y su recíproca "si

n

es par, entonces

n^2

es par" son ambas verdaderas, pero cada una necesita su propia demostración.

Glosario

Contrarrecíproca: La implicación $\neg q \to \neg p$ que se obtiene de $p \to q$ negando las dos partes e intercambiándolas
Demostración por contrarrecíproca: Una demostración de $p \to q$ que supone $\neg q$ y deduce $\neg p$
Lógicamente equivalentes: Dos enunciados que tienen el mismo valor de verdad en cada fila de la tabla de verdad
Negación: El enunciado "no $p$ " ( $\neg p$ ), verdadero exactamente cuando $p$ es falso
Recíproca: La implicación $q \to p$ ; no es equivalente a $p \to q$
Entero par / impar: Un entero de la forma $2k$ (par) o $2k + 1$ (impar), donde $k$ es un entero

Tarjeta de fórmulas

Equivalencia con la contrarrecíproca

p \to q \;\equiv\; \neg q \to \neg p

Demostrar el lado derecho demuestra el izquierdo

Negar "y"

\neg(a \land b) \equiv \neg a \lor \neg b

No ambos: al menos uno falla

Negar "o"

\neg(a \lor b) \equiv \neg a \land \neg b

Ninguno: fallan los dos

Par e impar

n = 2k

(par),

\; n = 2k + 1

(impar)

Las formas concretas que obtienes al negar "par" o "impar"

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Para estudiantes de nivel:

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Por qué es importante

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Puntos clave

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Negar "y"

Negar "o"

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