Demostraciones a dos columnas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
En una demostración a dos columnas, ¿qué justificación se escribe junto a la afirmación 1?
1. a)Propiedad reflexiva
2. b)Definición de ángulos suplementarios
3. c)Sustitución
4. d)Dado
Respuesta: Dado
Una demostración parte de la información que nos dan, así que la afirmación 1 se justifica con "Dado".
2.
Dado: $3x + 5 = 20$ . La afirmación 2 usa la propiedad de la igualdad (restar 5 en ambos miembros): $3x = \square$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 15
$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ da $3x = 15$ , justificado por la propiedad de la igualdad (resta).
3.
Dado: $x + 9 = 14$ . Demostrar: $x = 5$ . Completa la demostración a dos columnas.
Respuesta: 5
1. La afirmación 1 es $x + 9 = 14$ (dado). ¿Qué número restas en ambos miembros? 9
2. Afirmación 2 (propiedad de la igualdad, resta): $x = ?$ 5
3. ¿Cuántas afirmaciones tiene la demostración terminada? 2
4.
¿Qué justificación respalda la afirmación $AB = AB$ ?
1. a)Propiedad transitiva
2. b)Sustitución
3. c)Propiedad reflexiva
4. d)Propiedad simétrica
Respuesta: Propiedad reflexiva
$a = a$ es la propiedad reflexiva. La simétrica convierte $a = b$ en $b = a$ y la transitiva necesita dos igualdades.
5.
Dado: $\angle A$ y $\angle B$ son complementarios, $m\angle A = 34^\circ$ . Por la definición de ángulos complementarios y la propiedad de la igualdad (resta), ¿cuánto mide $\angle B$ ? Escribe solo el número de grados.
Respuesta: 56
$m\angle A + m\angle B = 90^\circ$ , así que $34^\circ + m\angle B = 90^\circ$ y $m\angle B = 56^\circ$ .
6.
Dado: $\angle 1$ y $\angle 2$ son suplementarios, $m\angle 1 = 120^\circ$ . Demostrar: $m\angle 2 = 60^\circ$ .
Respuesta: 60
1. Por la definición de ángulos suplementarios, ¿cuántos grados es $m\angle 1 + m\angle 2$ ? 180
2. Por sustitución, $120 + m\angle 2 = 180$ . Tras la propiedad de la igualdad (resta), $m\angle 2 = ?$ 60
7.
Afirmación 1: $\frac{x}{4} = 3$ (dado). Afirmación 2: $x = 12$ . ¿Qué justificación respalda la afirmación 2?
1. a)Propiedad distributiva
2. b)Sustitución
3. c)Propiedad de la igualdad (multiplicación)
4. d)Propiedad de la igualdad (división)
Respuesta: Propiedad de la igualdad (multiplicación)
Se multiplicaron ambos miembros por 4: $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ . Es la propiedad de la igualdad (multiplicación), aunque deshaga una división.
8.
Dado: $4(x + 3) = 36$ . Demostrar: $x = 6$ .
Respuesta: 6
1. Propiedad distributiva: la afirmación 2 es $4x + \square = 36$ . ¿Qué número? 12
2. Propiedad de la igualdad (resta): $4x = ?$ 24
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 6
9.
Los puntos $A$ , $B$ , $C$ están en una recta en este orden. $AB = 2x + 1$ , $BC = 7$ y $AC = 20$ . Usa el postulado de la suma de segmentos y demuestra el valor de $x$ . ¿Cuánto vale $x$ ?
Respuesta: 6
$AB + BC = AC$ (suma de segmentos), así que $2x + 1 + 7 = 20$ (sustitución), $2x + 8 = 20$ , $2x = 12$ (resta), $x = 6$ (división).
10.
$\angle 1$ y $\angle 3$ son opuestos por el vértice, con $m\angle 1 = (4x + 5)^\circ$ y $m\angle 3 = 65^\circ$ . Demostrar: $x = 15$ .
Respuesta: 15
1. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice: $4x + 5 = \square$ . ¿Qué número? 65
2. Propiedad de la igualdad (resta): $4x = ?$ 60
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 15
11.
Demostración: 1. $5x - 2 = 3x + 8$ (dado); 2. $2x - 2 = 8$ (propiedad de la igualdad, resta); 3. $2x = 10$ (?); 4. $x = 5$ (propiedad de la igualdad, división). ¿Qué justificación corresponde al paso 3?
1. a)Propiedad de la igualdad (división)
2. b)Propiedad de la igualdad (suma)
3. c)Propiedad de la igualdad (resta)
4. d)Propiedad transitiva
Respuesta: Propiedad de la igualdad (suma)
De $2x - 2 = 8$ a $2x = 10$ se sumó 2 en ambos miembros: propiedad de la igualdad (suma).
12.
Dado: $\frac{x}{2} - 3 = 4$ . Demuestra el valor de $x$ con la propiedad de la igualdad (suma) y después (multiplicación). ¿Cuánto vale $x$ ?
Respuesta: 14
Suma: $\frac{x}{2} = 7$ . Multiplicación (por 2): $x = 14$ . Comprobación: $\frac{14}{2} - 3 = 4$ .
13.
Dado: $7x - 4 = 3x + 16$ . Demostrar: $x = 5$ .
Respuesta: 5
1. Propiedad de la igualdad (restar $3x$ ): la afirmación 2 es $\square x - 4 = 16$ . ¿Qué número? 4
2. Propiedad de la igualdad (suma): $4x = ?$ 20
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 5
14.
Encuentra el error. 1. $\frac{x}{3} + 2 = 6$ (dado); 2. $\frac{x}{3} = 4$ (propiedad de la igualdad, resta); 3. $x = 12$ (propiedad de la igualdad, división). ¿Qué parte de la demostración está mal?
1. a)Justificación 2
2. b)Afirmación 2
3. c)Justificación 3
4. d)Afirmación 3
Respuesta: Justificación 3
Todas las afirmaciones son ciertas: $\frac{x}{3} = 4$ y $x = 12$ . Pero el paso 3 multiplica ambos miembros por 3 ( $\frac{x}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$ ), así que la justificación 3 debe ser la propiedad de la igualdad (multiplicación).
15.
$\angle 1$ y $\angle 3$ son opuestos por el vértice, con $m\angle 1 = (5x - 10)^\circ$ y $m\angle 3 = (3x + 20)^\circ$ . Demuestra el valor de $x$ y luego calcula $m\angle 1$ . Escribe solo el número de grados.
Respuesta: 65
Ángulos opuestos por el vértice: $5x - 10 = 3x + 20$ . Resta: $2x - 10 = 20$ . Suma: $2x = 30$ . División: $x = 15$ . Sustitución: $m\angle 1 = 5 \cdot 15 - 10 = 65^\circ$ (y $m\angle 3 = 3 \cdot 15 + 20 = 65^\circ$ ).
16.
$\angle 1$ y $\angle 2$ forman un par lineal, $m\angle 1 = (3x + 10)^\circ$ y $m\angle 2 = (2x + 20)^\circ$ . Demostrar: $m\angle 1 = 100^\circ$ .
Respuesta: 100
1. Un par lineal es suplementario: $(3x + 10) + (2x + 20) = ?$ 180
2. Simplificando: $5x + 30 = 180$ . Propiedad de la igualdad (resta): $5x = ?$ 150
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 30
4. Sustitución: $m\angle 1 = 3 \cdot 30 + 10 = ?$ 100
17.
Los puntos $A$ , $B$ , $C$ están en una recta en este orden. $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 5$ y $AC = 30$ . Demostrar: $AB = 11$ .
Respuesta: 11
1. Suma de segmentos y sustitución: $(x + 4) + (2x + 5) = 30$ . Simplificado: $3x + \square = 30$ . ¿Qué número? 9
2. Propiedad de la igualdad (resta): $3x = ?$ 21
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 7
4. Sustitución: $AB = x + 4 = ?$ 11
18.
El punto $C$ está en el interior del ángulo recto $\angle ABD$ . $m\angle ABC = (2x)^\circ$ y $m\angle CBD = (3x + 15)^\circ$ . Demostrar: $m\angle CBD = 60^\circ$ .
Respuesta: 60
1. Suma de ángulos y definición de ángulo recto: $2x + (3x + 15) = ?$ 90
2. Simplificando: $5x + 15 = 90$ . Propiedad de la igualdad (resta): $5x = ?$ 75
3. Propiedad de la igualdad (división): $x = ?$ 15
4. Sustitución: $m\angle CBD = 3 \cdot 15 + 15 = ?$ 60