Guía del profesor: Demostraciones a dos columnas

Aprende a escribir demostraciones a dos columnas: cada afirmación a la izquierda y su justificación a la derecha, con ecuaciones, segmentos y ángulos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Demostraciones matemáticas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Plantear una demostración a dos columnas con dado, demostrar, afirmaciones numeradas y justificaciones
Justificar cada paso de la resolución de una ecuación con una propiedad de la igualdad
Escribir demostraciones sencillas sobre segmentos y ángulos con los postulados de suma y las definiciones de ángulos
Completar afirmaciones y justificaciones que faltan en una demostración a medio hacer

Requisitos previos

• Introducción a las demostraciones matemáticas: qué es una demostración y por qué la necesitamos
• Demostración directa: partir de la hipótesis y razonar hacia delante
• Resolver ecuaciones lineales de uno y dos pasos
• Nociones básicas de ángulos: ángulo recto, ángulo llano, ángulos opuestos por el vértice

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué "pasé el número al otro lado" no es una buena justificación en una demostración?
2. ¿Qué es más fácil de comprobar: una demostración a dos columnas o el mismo razonamiento escrito como texto? ¿Por qué?
3. ¿Puede ser correcta una demostración si los pasos están en otro orden que en la de tu compañero?
4. ¿Por qué no se puede usar lo que hay que demostrar como justificación?

Conceptos erróneos comunes

La justificación describe la cuenta ("20 menos 5 es 15") en lugar de nombrar una propiedad

Remediación: Da al alumnado una lista fija de justificaciones permitidas. Cada justificación debe salir de esa lista, así aprenden a unir cada paso con su propiedad.

Cualquier afirmación verdadera puede ir en la demostración, aunque no se deduzca de las filas anteriores

Remediación: Pregunta en cada fila: ¿qué filas anteriores usa? Dibuja flechas desde esas filas. Una fila sin ninguna flecha que llegue a ella (salvo el dato) no pertenece a la demostración.

Deshacer una división significa usar la propiedad de la igualdad (división)

Remediación: Pide que escriban en el margen la operación hecha en ambos miembros, por ejemplo " $\cdot 4$ ". Esa operación da nombre a la propiedad.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con demostraciones en las que todas las afirmaciones están dadas y solo faltan las justificaciones
• Ofrecer un banco de 8 a 10 justificaciones para elegir
• Usar solo ecuaciones de uno y dos pasos antes de pasar a los ángulos

Para estudiantes de nivel:

• Escribir demostraciones algebraicas completas con paréntesis e incógnitas en ambos miembros
• Demostrar hechos sobre segmentos y ángulos con los postulados de suma
• Encontrar y corregir la justificación equivocada en una demostración con errores

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar sin ayuda el teorema de los ángulos opuestos por el vértice
• Escribir dos demostraciones correctas distintas para el mismo dado y la misma conclusión
• Reescribir una demostración a dos columnas como demostración en párrafo y comparar ambas

Alineación con estándares

HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Explicar cada paso de la resolución de una ecuación sencilla como consecuencia de la igualdad afirmada en el paso anterior
HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos, como que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros

Recursos de la lección

visualResolución de ecuaciones paso a paso
El alumnado resuelve ecuaciones paso a paso y nombra la propiedad que hay detrás de cada paso
activityPuzle de demostración en tiras
Se recortan afirmaciones y justificaciones en tiras; por parejas reconstruyen la demostración en el orden correcto
worksheetJustificaciones que faltan
Demostraciones a dos columnas a medio completar en las que el alumnado rellena las afirmaciones y justificaciones vacías

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una demostración a dos columnas es una demostración escrita en forma de tabla. En la columna izquierda van las afirmaciones (lo que sabemos en cada paso) y en la columna derecha las justificaciones (por qué cada afirmación es verdadera). La demostración empieza con lo dado (la información que nos dan) y termina con la afirmación que había que demostrar.

Dado:

3x + 5 = 20

Demostrar:

x = 5

N.º	Afirmación	Justificación
1	$3x + 5 = 20$	Dado
2	$3x = 15$	Propiedad de la igualdad (resta)
3	$x = 5$	Propiedad de la igualdad (división)

Cada justificación debe ser un dato, una definición, una propiedad, un postulado o un teorema ya demostrado. Las justificaciones que más vas a usar:

Justificación	Qué permite
Propiedad de la igualdad (suma y resta)	Si $a = b$ , entonces $a + c = b + c$ y $a - c = b - c$
Propiedad de la igualdad (multiplicación y división)	Si $a = b$ , entonces $ac = bc$ y $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ para $c \neq 0$
Sustitución	Si $a = b$ , puedes cambiar $a$ por $b$ en cualquier afirmación
Propiedad distributiva	$a(b + c) = ab + ac$
Propiedad reflexiva	$a = a$
Propiedad simétrica	Si $a = b$ , entonces $b = a$
Propiedad transitiva	Si $a = b$ y $b = c$ , entonces $a = c$

Con segmentos y ángulos también usarás:

Postulado de la suma de segmentos: si $B$ está entre $A$ y $C$ en una recta, entonces $AB + BC = AC$
Postulado de la suma de ángulos: si el punto $D$ está en el interior de $\angle ABC$ , entonces $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Definiciones: los ángulos complementarios suman $90^\circ$ y los suplementarios suman $180^\circ$
Teorema de los ángulos opuestos por el vértice: los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo

Ejemplos resueltos

Dado: $3x + 5 = 20$ . Demostrar: $x = 5$ . Escribe la demostración a dos columnas.

Escribe el dato como afirmación 1

Afirmación: $3x + 5 = 20$ → Justificación: dado

Resta 5 en ambos miembros

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , así que la afirmación es $3x = 15$ → Justificación: propiedad de la igualdad (resta)

Divide ambos miembros entre 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , así que la afirmación es $x = 5$ → Justificación: propiedad de la igualdad (división)

Comprueba que la última afirmación es la que había que demostrar

La afirmación 3 es $x = 5$ , justo lo que había que demostrar → La demostración está completa

Respuesta: 1. $3x + 5 = 20$ (dado); 2. $3x = 15$ (propiedad de la igualdad, resta); 3. $x = 5$ (propiedad de la igualdad, división).

Errores comunes

Escribir lo que hiciste en vez de una justificación, por ejemplo "pasé el 5 al otro lado"

Por qué está mal: Una justificación debe nombrar una regla que todos aceptan. "Pasar" un número no es una regla y esconde lo que de verdad ocurrió.

Correcto: Nombra la propiedad: pasar de $3x + 5 = 20$ a $3x = 15$ es la propiedad de la igualdad (resta), porque se restó 5 en ambos miembros.

Elegir la división en vez de la multiplicación para pasar de $\frac{x}{4} = 3$ a $x = 12$

Por qué está mal: El paso deshace una división, pero lo que haces en realidad es multiplicar ambos miembros por 4.

Correcto: Pregúntate qué hiciste en ambos miembros. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ es la propiedad de la igualdad (multiplicación).

Usar la afirmación que hay que demostrar como justificación o como afirmación 1

Por qué está mal: La afirmación que hay que demostrar es la meta. Si la usas antes de llegar a ella, el razonamiento es circular y no demuestra nada.

Correcto: La afirmación 1 siempre es un dato. Lo que hay que demostrar aparece una sola vez, como última afirmación.

Hacer dos pasos en una fila con una sola justificación

Por qué está mal: Pasar de $2(x - 4) = 10$ directamente a $2x = 18$ usa dos propiedades distintas, así que una sola justificación no basta.

Correcto: Un paso por fila: primero $2x - 8 = 10$ (propiedad distributiva), después $2x = 18$ (propiedad de la igualdad, suma).

Por qué es importante

Las demostraciones a dos columnas hacen visible cada paso de un razonamiento:

Sin saltos ocultos: cada afirmación necesita su propia justificación, así que un hueco o un error se ve enseguida
Álgebra con comprensión: al resolver una ecuación sabes exactamente qué propiedad permite cada paso
Geometría: la mayoría de las demostraciones escolares sobre segmentos, ángulos y triángulos se escriben a dos columnas
Programación: revisar un código línea por línea, con una razón para cada línea, funciona igual
Comunicación clara: cualquiera puede comprobar tu demostración fila por fila

Cuando sabes justificar cada paso, puedes confiar en tu resultado, ¡y los demás también!

Aplicaciones del mundo real

Revisar código línea por línea

Los programadores demuestran que un cálculo es correcto justificando cada línea, igual que las filas de una demostración a dos columnas.

Ejemplo:

Un programa resuelve $4x - 7 = 21$ . Una revisora comprueba cada línea: sumar 7 (propiedad de la igualdad, suma) y luego dividir entre 4 (propiedad de la igualdad, división).

1Inténtalo tú mismo

El programa recibe $4x - 7 = 21$ como dato y debe demostrar que $x = 7$ .

¿Qué valor de $x$ obtiene la demostración?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo que deshace las dos operaciones:

Montar una escuadra para una estantería

Los carpinteros usan la suma de ángulos cuando un refuerzo diagonal divide el ángulo recto entre la pared y la balda.

Ejemplo:

La pared y la balda se encuentran a $90^\circ$ . Un refuerzo divide esa esquina en dos ángulos que suman $90^\circ$ .

2Inténtalo tú mismo

El refuerzo forma un ángulo de $38^\circ$ con la pared. Los dos ángulos de la esquina forman juntos el ángulo de $90^\circ$ entre la pared y la balda.

Demuestra cuánto mide el ángulo entre el refuerzo y la balda.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo del segundo ángulo:

Distancias en una carretera recta

En una carretera recta, las distancias entre pueblos siguen el postulado de la suma de segmentos, así que se puede demostrar una distancia que falta.

Ejemplo:

Si el pueblo $B$ está entre los pueblos $A$ y $C$ , entonces $AB + BC = AC$ .

3Inténtalo tú mismo

Los pueblos $A$ , $B$ , $C$ están en este orden en una carretera recta. $AB = 35$ km y $AC = 120$ km.

Demuestra qué distancia hay de $B$ a $C$ .

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo de $BC$ :

Puntos clave

1Una demostración a dos columnas pone las afirmaciones a la izquierda y sus justificaciones a la derecha
2Empieza con lo dado y termina exactamente con la afirmación que había que demostrar
3Cada justificación es un dato, una definición, una propiedad, un postulado o un teorema anterior
4Propiedades de la igualdad: lo que sumas, restas, multiplicas o divides en un miembro, lo haces también en el otro
5La sustitución, las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva y la propiedad distributiva también son justificaciones válidas
6Con segmentos y ángulos usa la suma de segmentos y de ángulos, las definiciones de ángulos complementarios ( $90^\circ$ ) y suplementarios ( $180^\circ$ ) y los ángulos opuestos por el vértice

Preguntas frecuentes

¿Una demostración a dos columnas es distinta de resolver una ecuación?

Los pasos son los mismos. La diferencia es que en una demostración escribes la justificación de cada paso, así que no solo muestras el resultado, sino también por qué cada paso está permitido.

¿Cómo sé qué justificación escribir?

Compara la nueva afirmación con la anterior y pregúntate qué cambió. ¿Se sumó algo en ambos miembros? ¿Se quitó un paréntesis multiplicando? ¿Se puso un valor en lugar de otro? El cambio te dice la justificación.

¿Qué diferencia hay entre la sustitución y la propiedad transitiva?

La transitiva trabaja con tres cosas iguales: si

a = b

b = c

, entonces

a = c

. La sustitución es más general: cambias una cantidad por otra igual dentro de cualquier afirmación, por ejemplo

65^\circ

en lugar de

m\angle 1

. Muchos profesores aceptan las dos cuando ambas encajan.

¿Puede una demostración tener varias versiones correctas?

Sí. A veces puedes hacer los pasos en otro orden o usar otra propiedad. Una demostración es correcta mientras cada afirmación se deduzca de las anteriores y cada justificación sea válida.

Glosario

Demostración a dos columnas: Una demostración escrita en forma de tabla, con las afirmaciones a la izquierda y las justificaciones a la derecha
Afirmación: Un paso de la demostración: un hecho que sabemos en ese momento, como $3x = 15$
Justificación: La regla que respalda una afirmación: dato, definición, propiedad, postulado o teorema
Dado / demostrar: Lo dado es la información de la que partes; lo que hay que demostrar es la afirmación a la que debes llegar al final
Propiedad de la igualdad: Una regla que dice que una igualdad sigue siendo cierta si haces la misma operación en ambos miembros
Postulado: Una afirmación que se acepta sin demostración, como el postulado de la suma de segmentos

Tarjeta de fórmulas

Propiedad de la igualdad (suma)

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Sumar el mismo número en ambos miembros

Propiedad de la igualdad (resta)

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Restar el mismo número en ambos miembros

Propiedad de la igualdad (multiplicación)

a = b \Rightarrow ac = bc

Multiplicar ambos miembros por el mismo número

Propiedad de la igualdad (división)

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Dividir ambos miembros entre el mismo número distinto de cero

Propiedad distributiva

a(b + c) = ab + ac

Multiplicar un número por cada término del paréntesis

Reflexiva, simétrica, transitiva

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Propiedades básicas de la igualdad

Postulado de la suma de segmentos

AB + BC = AC

Cuando B está entre A y C en una recta

Ángulos complementarios y suplementarios

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ o } 180^\circ

Definiciones de ángulos complementarios y suplementarios

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Revisar código línea por línea

Montar una escuadra para una estantería

Distancias en una carretera recta

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Propiedad de la igualdad (suma)

Propiedad de la igualdad (resta)

Propiedad de la igualdad (multiplicación)

Propiedad de la igualdad (división)

Propiedad distributiva

Reflexiva, simétrica, transitiva

Postulado de la suma de segmentos

Ángulos complementarios y suplementarios

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