Volumen de pirámides

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué fórmula da el volumen de cualquier pirámide? ( $B$ = área de la base, $h$ = altura)
1. a) $V = \frac{1}{3}Bh$
2. b) $V = \frac{1}{2}Bh$
3. c) $V = 3Bh$
4. d) $V = Bh$
Respuesta: $V = \frac{1}{3}Bh$
$V = \frac{1}{3}Bh$ . Una pirámide es exactamente un tercio del prisma con la misma base y altura, cuyo volumen es $Bh$ .
2.
Una pirámide tiene una base cuadrada de $3$ m de lado y una altura de $5$ m. ¿Cuál es su volumen en m³?
Respuesta: 15
$B = 3^2 = 9$ m², así que $V = \frac{1}{3} \times 9 \times 5 = \frac{45}{3} = 15$ m³.
3.
Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de $5$ cm de lado y $12$ cm de altura.
Respuesta: 100
1. ¿Cuál es el área de la base en cm²? 25
2. Multiplica el área de la base por la altura. ¿Qué obtienes? 300
3. Divide entre 3. ¿Cuál es el volumen en cm³? 100
4.
Un prisma y una pirámide tienen la misma base y la misma altura. El prisma tiene un volumen de $90$ cm³. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
1. a)45 cm³
2. b)90 cm³
3. c)30 cm³
4. d)270 cm³
Respuesta: 30 cm³
La pirámide es un tercio del prisma: $90 \div 3 = 30$ cm³.
5.
Una pirámide tiene un área de la base de $24$ cm² y una altura de $7$ cm. ¿Cuál es su volumen en cm³?
Respuesta: 56
$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.
6.
Una pirámide tiene una base rectangular de $9$ m por $4$ m y una altura de $5$ m. Calcula su volumen.
Respuesta: 60
1. ¿Cuál es el área de la base en m²? 36
2. Multiplica por la altura. ¿Qué obtienes? 180
3. Divide entre 3. ¿Cuál es el volumen en m³? 60
7.
En $V = \frac{1}{3}Bh$ , ¿qué longitud es $h$ ?
1. a)La distancia perpendicular del vértice a la base
2. b)La longitud de una arista de la base
3. c)La apotema de una cara triangular
4. d)La longitud de una arista del vértice a una esquina
Respuesta: La distancia perpendicular del vértice a la base
$h$ es la altura perpendicular: la distancia desde el vértice hasta la base en ángulo recto. La apotema va por una cara y es más larga.
8.
Una pirámide tiene una base rectangular de $7$ cm por $6$ cm y una altura de $10$ cm. ¿Cuál es su volumen en cm³?
Respuesta: 140
$B = 7 \times 6 = 42$ cm², así que $V = \frac{1}{3} \times 42 \times 10 = 14 \times 10 = 140$ cm³.
9.
La base de una pirámide es un triángulo rectángulo con catetos de $6$ cm y $8$ cm. La pirámide mide $15$ cm de alto. Calcula su volumen.
Respuesta: 120
1. ¿Cuál es el área del triángulo de la base en cm²? 24
2. Multiplica por la altura de la pirámide. ¿Qué obtienes? 360
3. Divide entre 3. ¿Cuál es el volumen en cm³? 120
10.
Una pirámide tiene una base cuadrada de $4$ cm de lado y una altura de $6$ cm. ¿Qué cálculo da su volumen?
1. a) $\frac{1}{2} \times 4^2 \times 6$
2. b) $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
3. c) $\frac{1}{3} \times 4 \times 6$
4. d) $4^2 \times 6$
Respuesta: $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
$B = 4^2 = 16$ , así que $V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{96}{3} = 32$ cm³. Las otras opciones olvidan el cuadrado, el $\frac{1}{3}$ o usan $\frac{1}{2}$ .
11.
La base de una pirámide es un triángulo de base $10$ cm y altura $6$ cm. La pirámide mide $8$ cm de alto. ¿Cuál es su volumen en cm³?
Respuesta: 80
$B = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ cm², así que $V = \frac{1}{3} \times 30 \times 8 = 10 \times 8 = 80$ cm³.
12.
Una pirámide de base rectangular de $8$ cm por $5$ cm tiene un volumen de $120$ cm³. ¿Cuánto mide de alto?
Respuesta: 9
1. ¿Cuál es el área de la base en cm²? 40
2. ¿Cuánto es $3V$ , el triple del volumen? 360
3. Divide entre el área de la base. ¿Cuál es la altura en cm? 9
13.
Una caja (prisma rectangular) tiene una base cuadrada de $6$ cm por $6$ cm y mide $10$ cm de alto. Una pirámide hueca tiene la misma base y altura. ¿Cuántas pirámides llenas de arena llenan la caja?
Respuesta: 3
1. ¿Cuál es el volumen de la caja en cm³? 360
2. ¿Cuál es el volumen de la pirámide en cm³? 120
3. ¿Cuántas pirámides llenan la caja? 3
14.
Duplicas el lado de la base cuadrada de una pirámide y mantienes la misma altura. ¿Por cuánto se multiplica el volumen?
1. a)×8
2. b)×3
3. c)×4
4. d)×2
Respuesta: ×4
El área de la base es $s^2$ , así que duplicar $s$ da $(2s)^2 = 4s^2$ : cuatro veces el área de la base. La altura no cambia, así que el volumen se multiplica por $4$ .
15.
Una pirámide de base cuadrada tiene un volumen de $200$ cm³ y una altura de $6$ cm. ¿Cuánto mide un lado de su base, en cm?
Respuesta: 10
$B = \frac{3V}{h} = \frac{600}{6} = 100$ cm², y $s = \sqrt{100} = 10$ cm.
16.
Una pirámide de base cuadrada de $16$ cm de lado tiene una apotema de $17$ cm. Calcula su volumen.
Respuesta: 1280
1. ¿Cuánto es la mitad del lado de la base, en cm? 8
2. Usa Pitágoras. ¿Cuál es la altura $h$ en cm? 15
3. ¿Cuál es el área de la base en cm²? 256
4. ¿Cuál es el volumen en cm³? 1280
17.
Una tienda de campaña grande para grupos es una pirámide de base cuadrada. Su suelo tiene lados de $6$ m y la apotema de cada cara mide $5$ m. ¿Cuánto aire hay dentro?
Respuesta: 48
1. ¿Cuánto es la mitad del lado del suelo, en m? 3
2. Usa Pitágoras. ¿Cuál es la altura de la tienda en m? 4
3. ¿Cuál es el área del suelo en m²? 36
4. ¿Cuál es el volumen en m³? 48
18.
Un pisapapeles de cristal es una pirámide de base cuadrada con un volumen de $384$ cm³ y una altura de $8$ cm. ¿Cuánto mide un lado de su base, en cm?
Respuesta: 12
1. ¿Cuánto es $3V$ ? 1152
2. Divide entre la altura. ¿Cuál es el área de la base en cm²? 144
3. ¿Cuánto mide el lado de la base cuadrada en cm? 12