Volumen de esferas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué fórmula da el volumen de una esfera de radio $r$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = 4\pi r^2$
Respuesta: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $4\pi r^2$ solo tiene $r^2$ (no es un volumen), $\pi r^2 h$ es el cilindro y $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ el cono.
2.
Una esfera tiene un radio de $3$ cm. Su volumen es $V = \square\,\pi$ cm³. ¿Qué número va en el recuadro?
Respuesta: 36
$r^3 = 27$ y $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ , así que $V = 36\pi$ cm³.
3.
Un balón tiene un diámetro de $10$ cm. ¿Qué valor de $r$ pones en $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ?
1. a) $2{,}5$ cm
2. b) $5$ cm
3. c) $20$ cm
4. d) $10$ cm
Respuesta: $5$ cm
$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. Con $10$ el volumen saldría $8$ veces más grande.
4.
Calcula el volumen de una esfera de radio $6$ m. Deja el resultado en función de $\pi$ .
Respuesta: $288\pi$ m³
1. ¿Cuánto es $r^3 = 6^3$ ? 216
2. ¿Cuánto es $\frac{4}{3} \times 216$ ? 288
5.
Una esfera tiene un volumen de $500$ cm³. Se corta exactamente por la mitad pasando por el centro. ¿Cuál es el volumen de una semiesfera, en cm³?
Respuesta: 250
La semiesfera tiene el mismo radio, pero la mitad del volumen: $500 \div 2 = 250$ cm³.
6.
Una pelota tiene un diámetro de $6$ cm. Calcula su volumen con $\pi \approx 3{,}14$ . Redondea a las centésimas.
Respuesta: 113.04
1. ¿Cuál es el radio en cm? 3
2. $V = \square\,\pi$ : ¿cuánto es $\frac{4}{3} \times r^3$ ? 36
3. ¿Cuál es el volumen en cm³ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 113.04
7.
Se duplica el radio de una esfera. ¿Qué le pasa a su volumen?
1. a)Se duplica
2. b)Se hace 8 veces mayor
3. c)Se hace 4 veces mayor
4. d)Se hace 6 veces mayor
Respuesta: Se hace 8 veces mayor
$(2r)^3 = 8r^3$ , así que el volumen se multiplica por $2^3 = 8$ . Ejemplo: $r = 1$ da $\frac{4}{3}\pi$ , $r = 2$ da $\frac{32}{3}\pi$ .
8.
Una canica tiene un radio de $1{,}5$ cm. Su volumen es $V = \square\,\pi$ cm³. ¿Qué número va en el recuadro? (Escríbelo como decimal.)
Respuesta: 4.5
$r^3 = 3{,}375$ y $\frac{4}{3} \times 3{,}375 = 4{,}5$ , así que $V = 4{,}5\pi$ cm³ (unos $14{,}13$ cm³ con $3{,}14$ ).
9.
Una ensaladera es una semiesfera con un radio interior de $9$ cm. ¿Cuánto cabe? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las centésimas.
Respuesta: 1526.04
1. ¿Cuánto es $r^3 = 9^3$ ? 729
2. Semiesfera: $V = \square\,\pi$ . ¿Cuánto es $\frac{2}{3} \times 729$ ? 486
3. ¿Cuál es el volumen en cm³ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 1526.04
10.
Una esfera tiene un volumen de $288\pi$ cm³. ¿Cuál es su radio en cm?
Respuesta: 6
$\frac{4}{3} r^3 = 288$ , así que $r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$ y $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.
11.
Una esfera cabe justo dentro de un cilindro (mismo radio, y la altura del cilindro es igual al diámetro de la esfera). ¿Qué fracción del volumen del cilindro ocupa la esfera?
1. a) $\frac{1}{3}$
2. b) $\frac{2}{3}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{1}{2}$
Respuesta: $\frac{2}{3}$
Cilindro: $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Razón: $\frac{4}{3} \div 2 = \frac{2}{3}$ . Es el famoso resultado de Arquímedes.
12.
Un balón de baloncesto tiene un diámetro de $24$ cm. Calcula su volumen con $\pi \approx 3{,}14$ . Redondea al cm³ entero más cercano.
Respuesta: 7235
1. ¿Cuál es el radio en cm? 12
2. ¿Cuánto es $12^3$ ? 1728
3. $V = \square\,\pi$ : ¿cuánto es $\frac{4}{3} \times 1728$ ? 2304
4. ¿Cuál es el volumen en cm³, redondeado a un número entero? 7235
13.
Un depósito de agua redondo es una esfera de $2$ m de diámetro. Calcula su volumen con $\pi \approx 3{,}14$ . Redondea a las centésimas de m³.
Respuesta: 4.19
1. ¿Cuál es el radio en m? 1
2. ¿Cuánto es $r^3$ ? 1
3. ¿Cuánto es $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1$ , redondeado a las centésimas? 4.19
14.
Una esfera tiene un volumen de $972\pi$ cm³. Halla su radio.
Respuesta: $r = 9$ cm
1. Divide los dos lados de $\frac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi$ entre $\pi$ : $\frac{4}{3} r^3 = \square$ 972
2. Multiplica por $\frac{3}{4}$ : ¿cuánto es $r^3$ ? 729
3. Calcula la raíz cúbica: ¿cuánto vale $r$ en cm? 9
15.
Una pelota de radio $6$ cm está guardada en una caja cilíndrica de radio $6$ cm y altura $12$ cm. ¿Cuánto espacio queda vacío en la caja? Deja el resultado en función de $\pi$ .
Respuesta: $144\pi$ cm³
1. Cilindro: $V = \pi r^2 h = \square\,\pi$ . ¿Cuánto es $6^2 \times 12$ ? 432
2. Pelota: $V = \square\,\pi$ . ¿Cuánto es $\frac{4}{3} \times 6^3$ ? 288
3. Espacio vacío $= \square\,\pi$ cm³. ¿Cuánto es $432 - 288$ ? 144
16.
¿Qué tiene más volumen: una esfera de radio $3$ cm o un cubo de $5$ cm de arista? (Usa $\pi \approx 3{,}14$ .)
1. a)La esfera
2. b)No se puede saber
3. c)Los dos tienen el mismo volumen
4. d)El cubo
Respuesta: El cubo
Esfera: $36\pi \approx 113{,}04$ cm³. Cubo: $5^3 = 125$ cm³. El cubo tiene más volumen, aunque la esfera mide $6$ cm de ancho.
17.
Ocho bolitas de chocolate, cada una de radio $1$ cm, se derriten y se forma con ellas una bola grande. ¿Cuál es el radio de la bola grande?
Respuesta: $R = 2$ cm
1. Una bolita: $V = \frac{4}{3}\pi \times \square$ . ¿Cuánto es $1^3$ ? 1
2. Para la bola grande, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi$ . ¿Cuánto es $R^3$ ? 8
3. ¿Cuánto vale $R$ en cm? 2
18.
Una cúpula con forma de semiesfera tiene un volumen de $144\pi$ m³. ¿Cuál es su radio en m?
Respuesta: 6
$\frac{2}{3} r^3 = 144$ , así que $r^3 = 144 \times \frac{3}{2} = 216$ y $r = \sqrt[3]{216} = 6$ m.