Reglas de divisibilidad combinadas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué pareja de pruebas demuestra a la vez que un número es divisible por $12$ ?
1. a)2 y 6
2. b)3 y 4
3. c)3 y 6
4. d)2 y 3
Respuesta: 3 y 4
$12 = 3 \times 4$ y 3 y 4 son primos entre sí, así que cumplir las dos pruebas demuestra la divisibilidad por 12. 2 y 6 comparten el factor 2 (18 cumple las dos pero no es divisible por 12), 2 y 3 solo demuestran la divisibilidad por 6, y 3 y 6 también solo el 6.
2.
Un número es divisible por $2$ y por $9$ . ¿Qué número entre $10$ y $20$ también tiene que dividirlo?
Respuesta: 18
2 y 9 no tienen más divisor común que el 1, así que el número es divisible por $2 \times 9 = 18$ .
3.
¿Es $2412$ divisible por $12$ ? Usa las pruebas del 3 y del 4 y después calcula el cociente.
Respuesta: 201
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de 2412? 9
2. ¿Qué número forman las dos últimas cifras? 12
3. Las dos pruebas se cumplen. ¿Cuánto es $2412 \div 12$ ? 201
4.
¿Qué número es divisible por $11$ ?
1. a)3542
2. b)9091
3. c)4825
4. d)6170
Respuesta: 3542
Para $3542$ : $2 - 4 + 5 - 3 = 0$ , un múltiplo de 11, así que $3542 = 11 \times 322$ . Los demás dan $7$ , $-12$ y $-17$ .
5.
Calcula la suma alternada de $2816$ , empezando con $+$ en la cifra de las unidades: $6 - 1 + 8 - 2$ .
Respuesta: 11
$6 - 1 + 8 - 2 = 11$ . Como 11 es múltiplo de 11, $2816$ es divisible por 11: $2816 = 11 \times 256$ .
6.
¿Es $735$ divisible por $15$ ? Usa las pruebas del 5 y del 3 y después calcula el cociente.
Respuesta: 49
1. ¿Cuál es la última cifra de 735? 5
2. ¿Cuál es la suma de las cifras de 735? 15
3. Las dos pruebas se cumplen. ¿Cuánto es $735 \div 15$ ? 49
7.
$18$ es divisible por $2$ y por $6$ , pero no por $12$ . ¿Por qué?
1. a)2 y 6 comparten el factor 2
2. b)18 es menor que 2 × 12
3. c)6 no es divisor de 12
4. d)12 no tiene regla de divisibilidad
Respuesta: 2 y 6 comparten el factor 2
2 y 6 comparten el factor 2, así que no son primos entre sí. Cumplir las dos pruebas solo demuestra la divisibilidad por $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$ , no por 12.
8.
Halla la cifra $d$ que hace que $7d4$ sea divisible por $18$ .
Respuesta: 7
$18 = 2 \times 9$ . El número termina en 4, así que es par. La suma de las cifras $7 + d + 4 = 11 + d$ debe ser múltiplo de 9, así que $11 + d = 18$ y $d = 7$ . Comprobación: $774 \div 18 = 43$ .
9.
¿Es $61.809$ divisible por $11$ ? Usa la suma alternada y después calcula el cociente.
Respuesta: 5619
1. Suma las cifras de los lugares 1.º, 3.º y 5.º desde la derecha. 23
2. Suma las cifras de los lugares 2.º y 4.º desde la derecha. 1
3. ¿Cuál es la diferencia de las dos sumas? 22
4. Así que 11 divide a 61.809. ¿Cuánto es $61.809 \div 11$ ? 5619
10.
¿Es $4374$ divisible por $18$ ? Usa las pruebas del 2 y del 9 y después calcula el cociente.
Respuesta: 243
1. ¿Cuál es la última cifra de 4374? 4
2. ¿Cuál es la suma de las cifras de 4374? 18
3. Las dos pruebas se cumplen. ¿Cuánto es $4374 \div 18$ ? 243
11.
¿Qué número es divisible por $36$ ?
1. a)2466
2. b)2556
3. c)4518
4. d)1236
Respuesta: 2556
$2556$ : $56 \div 4 = 14$ y $2 + 5 + 5 + 6 = 18$ , así que es divisible por 36 ( $2556 = 36 \times 71$ ). $2466$ y $4518$ fallan la prueba del 4 (66 y 18), $1236$ falla la prueba del 9 (suma de las cifras 12).
12.
¿Cuántos de los números $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ dividen a $4620$ ?
Respuesta: 8
Termina en 0: 2, 5, 10. Suma de las cifras 12: el 3 sí, el 9 no. $20 \div 4 = 5$ : el 4 sí. $620 \div 8 = 77{,}5$ : el 8 no. Suma alternada $0 - 2 + 6 - 4 = 0$ : el 11 sí. Parejas: 6 y 12 sí. Así que 8 números: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12.
13.
$4530$ es divisible por $2$ y por $6$ . ¿Es divisible por $12$ ? Compruébalo con la pareja de primos entre sí 3 y 4.
Respuesta: 6
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de 4530? 12
2. ¿Qué número forman las dos últimas cifras? 30
3. ¿Cuál es el resto de $30 \div 4$ ? 2
4. La prueba del 4 falla. ¿Cuál es el resto de $4530 \div 12$ ? 6
14.
¿Qué cifra $d$ hace que $4d52$ sea divisible por $36$ ?
1. a)9
2. b)3
3. c)7
4. d)4
Respuesta: 7
$52 \div 4 = 13$ , así que la prueba del 4 se cumple para cualquier $d$ . La suma de las cifras $4 + d + 5 + 2 = 11 + d$ debe ser múltiplo de 9, así que $d = 7$ . Comprobación: $4752 \div 36 = 132$ .
15.
Búsqueda rápida de divisores: ¿cuántos de los números $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ dividen a $2520$ ?
Respuesta: 9
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de 2520? 9
2. Comprueba el 8 con las tres últimas cifras. ¿Cuánto es $520 \div 8$ ? 65
3. ¿Cuál es la suma alternada de 2520, empezando con + en la cifra de las unidades? 1
4. Cuenta los números de la lista que dividen a 2520. 9
16.
$33 = 3 \times 11$ . Halla la cifra $d$ que hace que $8d14$ sea divisible por $33$ .
Respuesta: 5
Para el 11: $4 - 1 + d - 8 = d - 5$ debe ser múltiplo de 11, y con una cifra solo sirve $d = 5$ . Para el 3: $8 + 5 + 1 + 4 = 18$ , divisible por 3. Así que $d = 5$ : $8514 \div 33 = 258$ .
17.
Halla la cifra $d$ que hace que $52d6$ sea divisible por $12$ .
Respuesta: 5
1. ¿Para cuántas cifras $d$ es $d6$ múltiplo de 4? 5
2. ¿Cuál es la suma de las cifras de 52d6 sin $d$ ? 13
3. ¿Qué cifra impar $d$ hace que $13 + d$ sea múltiplo de 3? 5
4. Comprueba: ¿cuánto es $5256 \div 12$ ? 438
18.
$132 = 11 \times 12$ . ¿Es $7128$ divisible por $132$ ? Comprueba el 11 y el 12 y después calcula el cociente.
Respuesta: 54
1. ¿Cuál es el máximo común divisor de 11 y 12? 1
2. ¿Cuál es la suma de las cifras de 7128? 18
3. Las dos últimas cifras forman 28. ¿Cuánto es $28 \div 4$ ? 7
4. ¿Cuál es la suma alternada de 7128, empezando con + en la cifra de las unidades? 0
5. Todas las pruebas se cumplen. ¿Cuánto es $7128 \div 132$ ? 54