Guía del profesor: Reglas de divisibilidad combinadas

Combina reglas sencillas para comprobar 12, 15, 18 y 36, aprende la suma alternada para el 11 y encuentra todos los divisores del 2 al 12 en segundos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Divisibilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Combinar reglas de divisibilidad de factores primos entre sí para comprobar 12, 15, 18 y 36
Explicar con un contraejemplo por qué no se pueden combinar reglas de factores que no son primos entre sí, como 2 y 6, para comprobar su producto
Aplicar la suma alternada para comprobar la divisibilidad por 11
Encontrar rápido todos los divisores del 2 al 12 de un número y resolver problemas de cifras que faltan con dos reglas

Requisitos previos

• Reglas de divisibilidad del 2, 5 y 10 (lección Divisibilidad por 2, 5 y 10)
• Reglas de la suma de las cifras para 3 y 9 (lección Divisibilidad por 3 y 9)
• Reglas del 4, 8 y 6 = 2 × 3 (lección Divisibilidad por 4, 6 y 8)
• Divisores, múltiplos y restos

Iniciadores de discusión

1. 18 es divisible por 2 y por 6. ¿Por qué no es divisible por 12?
2. ¿Qué parejas de números podrías usar para comprobar el 24? ¿Qué parejas darían respuestas falsas?
3. ¿Por qué el 11 necesita una suma alternada y al 9 le basta con la suma de las cifras?
4. Un número cumple las pruebas del 4 y del 9. ¿Qué otros números tienen que dividirlo?
5. ¿En qué situaciones de la vida diaria querrías saber si un número es divisible por 12 o 15?

Conceptos erróneos comunes

Dos factores cualesquiera cuyo producto es el divisor dan una prueba válida (12 = 2 × 6)

Remediación: Pide que comprueben 18, 30 y 42 con 2 y 6 y después dividan entre 12. Relaciona el fallo con el factor común 2 y con m.c.m.(2, 6) = 6.

Una suma alternada de 0 significa que el número no es divisible por 11

Remediación: Pregunta cuánto es 0 ÷ 11. Muestra 1386: 6 - 8 + 3 - 1 = 0 y 1386 = 11 × 126.

Si un número es divisible por 12, también tiene que serlo por 24

Remediación: Compara 36 (divisible por 12, no por 24) con 48. La divisibilidad va del producto a sus factores, no al revés.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Da una tabla de dos columnas: prueba 1, prueba 2, ¿se cumplen las dos?
• Empieza con 15 = 3 × 5 y 18 = 2 × 9, donde las dos pruebas son fáciles
• Usa solo números de tres y cuatro cifras

Para estudiantes de nivel:

• Hacer búsquedas completas de divisores del 2 al 12 con números de cuatro cifras
• Resolver problemas de cifras que faltan para 12, 18 y 36
• Encontrar y explicar contraejemplos para parejas que no son primos entre sí

Para estudiantes avanzados:

• Construir pruebas para 24, 45, 72 y 99 con parejas de primos entre sí
• Demostrar la regla del 11 con los restos de las potencias de 10
• Comprobar números de 12 cifras para 11 y 12 y verificarlo con aritmética modular

Alineación con estándares

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Encontrar todos los pares de factores de un número entero y decidir si es múltiplo de un número dado de una cifra
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números enteros

Recursos de la lección

visualTablero de práctica de divisibilidad
Los alumnos adivinan sí o no para cada divisor del 2 al 12 y luego descubren cada regla y su resultado
activityEncuentra el contraejemplo
Por parejas buscan números que cumplen dos pruebas pero no son divisibles por el producto (2 y 6, 4 y 6, 3 y 12) y explican por qué
gameCarrera de la cifra que falta
Los equipos compiten por encontrar la cifra que hace un número divisible por 12, 18 o 36
worksheetCuadrícula de búsqueda de divisores
Una cuadrícula de números para comprobar del 2 al 12, incluido el 11 con la suma alternada

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Algunos divisores no tienen una regla propia, pero puedes combinar dos reglas sencillas.

Regla combinada: si

a

b

son primos entre sí (coprimos: su único divisor común es

1

), entonces un número divisible por

a

y por

b

es divisible por

a \times b

Divisor	Prueba	Por qué funciona
$12 = 3 \times 4$	suma de las cifras divisible por 3 y dos últimas cifras divisibles por 4	3 y 4 son primos entre sí
$15 = 3 \times 5$	suma de las cifras divisible por 3 y última cifra 0 o 5	3 y 5 son primos entre sí
$18 = 2 \times 9$	última cifra par y suma de las cifras divisible por 9	2 y 9 son primos entre sí
$36 = 4 \times 9$	dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9	4 y 9 son primos entre sí

Cuidado:

12 = 2 \times 6

NO es una prueba válida, porque 2 y 6 comparten el factor 2. El número

18

es divisible por 2 y por 6, pero

18 \div 12 = 1{,}5

. En general, cumplir las pruebas de

a

y de

b

demuestra la divisibilidad por

\text{m.c.m.}(a, b)

, que solo es igual a

a \times b

cuando

a

b

son primos entre sí.

Divisibilidad por 11 (suma alternada): empieza por la cifra de las unidades y suma y resta las cifras por turnos:

+ - + - \dots

Si el resultado es divisible por 11 (esto incluye

0

11

-11

22

), el número es divisible por 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ es divisible por } 11

Ejemplos resueltos

¿Es

7128

divisible por

12

Descompón 12 en factores primos entre sí

12 = 3 \times 4

, y 3 y 4 no tienen más divisor común que el 1 → Comprueba 3 y 4

Comprueba el 3 con la suma de las cifras

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, y

18

es divisible por 3

Comprueba el 4 con las dos últimas cifras

Las dos últimas cifras forman

28

, y

28 \div 4 = 7

→ Divisible por 4

Combina y comprueba

Las dos pruebas se cumplen, así que 12 lo divide:

7128 \div 12 = 594

→ Divisible por 12

Respuesta: Sí, $7128$ es divisible por $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Errores comunes

Comprobar el 12 con las reglas del 2 y del 6

Por qué está mal: 2 y 6 comparten el factor 2, así que cumplir las dos pruebas solo demuestra la divisibilidad por 6. Contraejemplo: $18$ (y también $30$ ) es divisible por 2 y 6, pero no por 12.

Correcto: Usa factores primos entre sí: $12 = 3 \times 4$ . Comprueba la suma de las cifras para el 3 y las dos últimas cifras para el 4.

Comprobar el 36 con 3 y 12

Por qué está mal: 3 y 12 comparten el factor 3. $24$ es divisible por 3 y por 12, pero $24 \div 36$ no es un número entero.

Correcto: Usa $36 = 4 \times 9$ : dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9.

Creer que basta con una prueba

Por qué está mal: Una regla combinada necesita LAS DOS pruebas. $25$ termina en 5, pero la suma de sus cifras es 7, así que no es divisible por 15.

Correcto: Comprueba cada factor de la pareja. Si una prueba falla, el número no es divisible por el producto.

Interpretar una suma alternada de $0$ o $-11$ como no divisible por 11

Por qué está mal: $0$ , $-11$ y $-22$ también son múltiplos de 11. Para $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , y en efecto $9174 = 11 \times 834$ .

Correcto: El número es divisible por 11 siempre que la suma alternada sea $0$ o cualquier múltiplo de 11, positivo o negativo.

Por qué es importante

Las reglas combinadas convierten una pregunta grande en dos comprobaciones rápidas:

Repartir a partes iguales: ¿se pueden dar 1350 pegatinas a 15 clases sin que sobre ninguna? Dos comprobaciones dicen que sí.
Horarios: un día tiene 1440 minutos, así que un tranvía cada 36 minutos encaja exactamente en el día si 1440 es divisible por 36.
Fracciones: ver que 12 o 18 divide al numerador y al denominador simplifica una fracción en un solo paso.
Números enormes: un número de 12 cifras se comprueba para 11 o 12 en segundos, incluso cuando la calculadora muestra muy pocas cifras.

La idea detrás de cada regla combinada, los factores primos entre sí, también es la clave del mínimo común múltiplo y de muchos acertijos con cifras que faltan.

Aplicaciones del mundo real

Repartir a partes iguales

Profesores, entrenadores y organizadores necesitan saber a menudo si algo se puede repartir sin que sobre nada.

Ejemplo:

Un colegio tiene 1350 pegatinas para 15 clases. $15 = 3 \times 5$ : la última cifra es 0 (divisible por 5) y $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisible por 3). Así que las pegatinas se pueden repartir a partes iguales.

1Inténtalo tú mismo

Un colegio quiere dar 1350 pegatinas a 15 clases, el mismo número a cada clase.

¿Cuántas pegatinas recibe cada clase?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da las pegatinas por clase:

Horarios

Los planificadores de transporte quieren salidas que se repitan igual cada día. Un día tiene $24 \times 60 = 1440$ minutos.

Ejemplo:

Un autobús cada 12 minutos encaja exactamente en un día: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisible por 3) y $40 \div 4 = 10$ , así que 1440 es divisible por 12, lo que da 120 salidas.

2Inténtalo tú mismo

Un tranvía sale cada 36 minutos, de día y de noche, empezando a medianoche.

¿Cuántos tranvías salen en un día de 1440 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da el número de salidas:

La prueba de las 12 cifras

Muchas calculadoras solo muestran de 8 a 10 cifras, así que no pueden dividir exactamente un número de 12 cifras. Las reglas de divisibilidad funcionan con números de cualquier longitud.

Ejemplo:

Para $123.456.789.012$ la suma de las cifras es $48$ (divisible por 3) y las dos últimas cifras forman $12$ (divisible por 4), así que el número es divisible por 12.

3Inténtalo tú mismo

Un código de 12 cifras es $123.456.789.012$ . Quieres saber si es divisible por 12 y por 11, sin calculadora.

¿Cuál es el resto al dividir $123.456.789.012$ entre 12?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el resto:

Puntos clave

1Si $a$ y $b$ son primos entre sí, un número divisible por $a$ y por $b$ es divisible por $a \times b$
2Comprueba el 12 con 3 y 4, el 15 con 3 y 5, el 18 con 2 y 9, el 36 con 4 y 9
3Nunca compruebes un producto con dos factores que comparten un factor: 18 es divisible por 2 y 6, pero no por 12
4Divisible por 11: la suma alternada de las cifras ( $+ - + - \dots$ desde las unidades) es múltiplo de 11, incluidos el $0$ y los múltiplos negativos
5Para buscar divisores rápido, usa las pruebas de la última cifra, la suma de las cifras y la suma alternada, y luego combina parejas de primos entre sí
6Para una cifra que falta con dos reglas, haz la lista de cifras que cumplen cada regla y quédate con las que están en las dos listas

Preguntas frecuentes

¿Por qué los dos factores tienen que ser primos entre sí?

Un número divisible por

a

y por

b

es un múltiplo común de

a

b

, así que es divisible por

\text{m.c.m.}(a, b)

. Cuando

a

b

son primos entre sí,

\text{m.c.m.}(a, b) = a \times b

. Cuando comparten un factor, el m.c.m. es menor:

\text{m.c.m.}(2, 6) = 6

, no 12.

¿Por qué funciona la suma alternada para el 11?

10 = 11 - 1

, así que 10 deja resto

-1

al dividir entre 11,

100 = 99 + 1

deja

+1

1000 = 1001 - 1

deja

-1

, y así sucesivamente. Por eso cada cifra cuenta con el signo

+, -, +, -, \dots

desde las unidades, y el número tiene el mismo resto que su suma alternada.

¿Importa si empiezo la suma alternada por la izquierda o por la derecha?

Para la respuesta sí o no, no importa: los dos resultados son iguales u opuestos, y

-22

es múltiplo de 11 exactamente cuando lo es

22

. Empezar por la cifra de las unidades con

+

además conserva el resto del número (suma o resta 11 hasta quedar entre 0 y 10), por eso es la costumbre más segura.

¿Puedo comprobar el 24 con 4 y 6?

No, 4 y 6 comparten el factor 2.

12

es divisible por 4 y 6, pero no por 24. Usa la pareja de primos entre sí

24 = 3 \times 8

: suma de las cifras divisible por 3 y tres últimas cifras divisibles por 8.

Glosario

Primos entre sí (coprimos): Dos números son primos entre sí si su único divisor común es 1. Ejemplo: 4 y 9 son primos entre sí, 2 y 6 no.
Regla de divisibilidad combinada: Una prueba para un producto $a \times b$ de números primos entre sí: el número debe cumplir la prueba de $a$ y la prueba de $b$ .
Suma alternada: Las cifras sumadas y restadas por turnos desde las unidades: para 2816 es $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Suma de las cifras: La suma de todas las cifras de un número (también llamada suma de dígitos). La suma de las cifras de 1980 es $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Resto: Lo que sobra después de dividir. $18 \div 12 = 1$ y resto $6$ .
Mínimo común múltiplo (m.c.m.): El menor número que es múltiplo de los dos números. $\text{m.c.m.}(3, 4) = 12$ , $\text{m.c.m.}(2, 6) = 6$ .

Tarjeta de fórmulas

Regla combinada

a, b

primos entre sí:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Solo funciona si los dos factores no tienen más divisor común que el 1

Divisible por 12

12 = 3 \times 4

Suma de las cifras divisible por 3 y dos últimas cifras divisibles por 4

Divisible por 15

15 = 3 \times 5

Suma de las cifras divisible por 3 y última cifra 0 o 5

Divisible por 18

18 = 2 \times 9

Última cifra par y suma de las cifras divisible por 9

Divisible por 36

36 = 4 \times 9

Dos últimas cifras divisibles por 4 y suma de las cifras divisible por 9

Divisible por 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

La suma alternada desde las unidades es múltiplo de 11 (incluido el 0)

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Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Repartir a partes iguales

Horarios

La prueba de las 12 cifras

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

Regla combinada

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