Guía del profesor: Algoritmo de Euclides

Calcula el máximo común divisor de dos números con divisiones sucesivas con resto y úsalo para simplificar fracciones y hallar el mcm.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Factores y Múltiplos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir una división con resto en la forma $a = q \times b + r$ con $0 \le r < b$
Calcular el MCD de dos números con el algoritmo de Euclides y con su versión con restas
Explicar por qué $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$ y relacionar el algoritmo con cortar un rectángulo en cuadrados
Usar el MCD para simplificar fracciones y calcular $\text{mcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$
Decidir si dos números son primos entre sí y comparar el algoritmo con la descomposición en factores primos

Requisitos previos

• Máximo común divisor (MCD): hallarlo con listas de divisores y con la descomposición en factores primos
• Mínimo común múltiplo (mcm) y su significado
• Descomposición en factores primos, números primos y compuestos
• División de números naturales con resto

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué el algoritmo siempre termina? ¿Qué les pasa a los números en cada paso?
2. Si $d$ divide a $48$ y a $18$ , ¿por qué tiene que dividir también a $48 - 2 \times 18 = 12$ ?
3. ¿Cuándo preferirías la descomposición en factores primos y cuándo el algoritmo de Euclides?
4. ¿Por qué los números de Fibonacci vecinos como $144$ y $89$ necesitan tantos pasos?
5. ¿Cómo muestra el corte de un rectángulo en cuadrados los mismos pasos que las divisiones?

Conceptos erróneos comunes

El MCD es el último número escrito, que a menudo es el resto $0$ o un cociente

Remediación: Marca q y r de cada fila con colores distintos. Rodea el divisor de la fila cuyo resto es $0$ y comprueba que divide a los dos números iniciales.

Después de la primera división se sigue con el número mayor original

Remediación: Usa la imagen del rectángulo: una vez cortados los cuadrados, el lado largo ha desaparecido y solo queda el rectángulo b por r.

El algoritmo es un truco que funciona por casualidad

Remediación: Muestra con $48$ , $18$ y $12$ que todo divisor común de $48$ y $18$ divide a $12$ , y que todo divisor común de $18$ y $12$ divide a $48$ . Haz la lista de los dos conjuntos de divisores comunes: son iguales.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con la versión con restas en parejas pequeñas como (35, 14) antes de dividir
• Usar rectángulos de papel cuadriculado y recortar los cuadrados de verdad
• Dar una tabla con las columnas a, b, q, r para rellenar fila a fila

Para estudiantes de nivel:

• Aplicar el algoritmo a parejas de tres y cuatro cifras como (1071, 462)
• Simplificar fracciones como $\frac{391}{667}$ con el MCD
• Calcular mcm con $\frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$ y comprobarlos

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar en general que $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$
• Investigar por qué los números de Fibonacci vecinos necesitan el mayor número de pasos
• Explorar el algoritmo de Euclides extendido: escribir $\text{MCD}(a, b)$ como $x \times a + y \times b$

Alineación con estándares

6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales
6.NS.B.2 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2)
Dividir con soltura números de varias cifras con el algoritmo estándar
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Buscar y aprovechar la estructura

Recursos de la lección

visualDel rectángulo a los cuadrados
Vista interactiva que corta un rectángulo a por b en los cuadrados más grandes mientras escribe cada fila a = q × b + r
activityCuadrados en papel cuadriculado
El alumnado dibuja un rectángulo de 48 por 18 en papel cuadriculado y recorta con tijeras los cuadrados más grandes hasta que solo quedan cuadrados iguales
gameCarrera del MCD
Un equipo usa la descomposición en factores primos y el otro el algoritmo de Euclides, con parejas como (1071, 462) y (391, 667)
worksheetPráctica de las filas de Euclides
Completar cocientes y restos, luego simplificar fracciones y calcular mcm a partir del MCD

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El algoritmo de Euclides es una forma rápida de hallar el máximo común divisor (MCD) de dos números naturales sin hacer listas de divisores ni árboles de factores.

Divide el número mayor

a

entre el número menor

b

y escribe el resultado como una división con resto (división entera):

a = q \times b + r, \quad 0 \le r < b

Aquí

q

es el cociente y

r

es el resto. Después **sustituye la pareja

(a, b)

por

(b, r)

** y vuelve a dividir. Repite hasta que el resto sea

0

. El último resto distinto de cero (el divisor de la última fila) es el MCD.

Ejemplo:

\text{MCD}(48, 18)

$48 = 2 \times 18 + 12$
$18 = 1 \times 12 + 6$
$12 = 2 \times 6 + 0$

El resto es

0

, así que

\text{MCD}(48, 18) = 6

Por qué funciona: si un número

d

divide a la vez a

a

y a

b

, también divide a

r = a - q \times b

. Y si

d

divide a la vez a

b

y a

r

, también divide a

a = q \times b + r

. Por tanto, las parejas

(a, b)

(b, r)

tienen exactamente los mismos divisores comunes y, por eso, el mismo MCD:

\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)

Los números se hacen más pequeños en cada paso, así que el algoritmo siempre termina.

Ejemplos resueltos

Un rectángulo mide

48

por

18

. Corta una y otra vez los cuadrados más grandes posibles. ¿Cuál es el lado de los cuadrados que encajan exactamente al final?

Corta cuadrados de lado 18 del lado largo

Caben dos cuadrados

18 \times 18

y sobran

12

48 = 2 \times 18 + 12

→ Queda un rectángulo

18 \times 12

Corta cuadrados de lado 12 del resto

Cabe un cuadrado

12 \times 12

y sobran

6

18 = 1 \times 12 + 6

→ Queda un rectángulo

12 \times 6

Corta cuadrados de lado 6

Caben exactamente dos cuadrados

6 \times 6

12 = 2 \times 6 + 0

→ No sobra nada

Cubre todo el rectángulo con el último cuadrado

6

divide a

48

y a

18

\frac{48}{6} \times \frac{18}{6} = 8 \times 3

→

24

cuadrados de lado

6

lo cubren

Respuesta: Los cuadrados de lado $6$ encajan exactamente, así que $\text{MCD}(48, 18) = 6$ . Cada corte es una fila del algoritmo.

Errores comunes

Quedarse con el número grande antiguo: tras $48 = 2 \times 18 + 12$ , seguir con $48$ y $12$

Por qué está mal: El algoritmo funciona porque $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$ . El número $a$ ya no hace falta después de la primera división.

Correcto: La siguiente pareja es $(18, 12)$ : el divisor anterior y el resto. Así que $18 = 1 \times 12 + 6$ .

Dar $0$ o el último cociente como MCD

Por qué está mal: La última fila tiene resto $0$ , lo que solo indica que hay que parar. El cociente cuenta cuántos cuadrados caben, no es un divisor común.

Correcto: El MCD es el último resto distinto de cero, el divisor de la última fila. En $12 = 2 \times 6 + 0$ es $6$ .

Escribir un resto demasiado grande, como $1071 = 1 \times 462 + 609$

Por qué está mal: La igualdad es cierta, pero $609 > 462$ , así que $462$ todavía cabe otra vez. El resto tiene que ser menor que el divisor.

Correcto: Toma el mayor cociente posible: $1071 = 2 \times 462 + 147$ con $147 < 462$ .

Tomar $a \times b$ como mcm

Por qué está mal: $a \times b$ siempre es un múltiplo común, pero normalmente no el mínimo: $84 \times 120 = 10080$ cuenta dos veces el divisor común $12$ .

Correcto: Divide entre el MCD: $\text{mcm}(84, 120) = \frac{84 \times 120}{12} = 840$ .

Por qué es importante

El algoritmo de Euclides tiene más de 2300 años (Euclides lo escribió hacia el 300 a. C.) y sigue siendo uno de los algoritmos más usados del mundo:

Números grandes: descomponer $1071$ o $391$ en factores primos es lento, pero tres o cuatro divisiones dan el MCD enseguida. Con números de cientos de cifras la factorización es prácticamente imposible, mientras que el algoritmo de Euclides termina en, como mucho, unos pocos miles de pasos rápidos.
Fracciones: para simplificar $\frac{391}{667}$ necesitas $\text{MCD}(391, 667) = 23$ , que cuesta ver factorizando pero sale rápido con el algoritmo.
mcm: en cuanto conoces el MCD, $\text{mcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$ , así que un solo algoritmo te da los dos.
Baldosas, engranajes y pantallas: la baldosa cuadrada más grande para un suelo, cuándo dos engranajes vuelven a coincidir y por qué una pantalla de $1920 \times 1080$ es $16:9$ se reducen todos al MCD.
Seguridad en internet: sistemas de cifrado como RSA usan una versión ampliada de este algoritmo cada vez que abres una web segura.

Aplicaciones del mundo real

Embaldosar un suelo con las baldosas cuadradas más grandes

Un alicatador quiere cubrir un suelo rectangular con baldosas cuadradas iguales sin cortar ninguna. El lado más grande posible es el MCD de las dos medidas.

Ejemplo:

Un panel de $48$ cm por $18$ cm se cubre exactamente con cuadrados de $6$ cm: $\text{MCD}(48, 18) = 6$ , es decir, $8 \times 3 = 24$ baldosas.

1Inténtalo tú mismo

El suelo de un pasillo mide $168$ cm por $120$ cm. Hay que cubrirlo con baldosas cuadradas iguales, sin cortes y sin huecos.

¿Cuál es el lado, en cm, de la baldosa cuadrada más grande que sirve?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\text{MCD}(168, 120)$ con el algoritmo de Euclides:

Engranajes y ciclos que se repiten

Cuando dos ruedas dentadas giran juntas, los mismos dos dientes vuelven a encontrarse después de un número de dientes igual al mcm de sus dientes. El algoritmo de Euclides da el MCD y de ahí sale el mcm.

Ejemplo:

Ruedas de $18$ y $48$ dientes: $\text{MCD} = 6$ , así que los mismos dientes vuelven a encontrarse tras $\frac{18 \times 48}{6} = 144$ dientes.

2Inténtalo tú mismo

El plato de una bicicleta tiene $84$ dientes y un piñón pequeño tiene $36$ dientes. Ahora se tocan dos dientes marcados.

¿Después de cuántos dientes vuelven a tocarse los dos dientes marcados?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\text{mcm}(84, 36) = \frac{84 \times 36}{\text{MCD}(84, 36)}$ :

Proporción de las pantallas

Una resolución como $1920 \times 1080$ se convierte en una proporción dividiendo los dos números entre su MCD.

Ejemplo:

$1280 \times 1024$ : $\text{MCD}(1280, 1024) = 256$ , así que la proporción es $5:4$ .

3Inténtalo tú mismo

Un monitor tiene $1920$ por $1080$ píxeles. Para escribir su proporción, divides los dos números entre su MCD.

¿Cuánto vale $\text{MCD}(1920, 1080)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Aplica el algoritmo de Euclides a $1920$ y $1080$ :

Puntos clave

1Algoritmo de Euclides: divide $a$ entre $b$ como $a = q \times b + r$ con $0 \le r < b$ y sustituye $(a, b)$ por $(b, r)$ hasta que el resto sea $0$
2El MCD es el último resto distinto de cero, el divisor de la última fila
3Funciona porque $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$ : las dos parejas tienen los mismos divisores comunes
4Geométricamente, corta un rectángulo $a \times b$ en los cuadrados más grandes posibles; el lado del último cuadrado es el MCD
5La versión con restas resta una y otra vez el número menor; la división es su atajo
6Sirve para simplificar fracciones, para calcular $\text{mcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$ y para saber si dos números son primos entre sí (MCD $= 1$ )

Preguntas frecuentes

¿Importa con qué número empiezo?

No. Si empiezas con el número menor delante, la primera fila es del tipo

18 = 0 \times 48 + 18

, que solo intercambia los dos números. Empezar con el mayor te ahorra ese paso.

¿Es el algoritmo de Euclides más rápido que la descomposición en factores primos?

Con números pequeños como

12

18

los dos métodos son rápidos. Con números grandes, sí, muchísimo: no necesitas encontrar ningún número primo.

\text{MCD}(1071, 462)

necesita tres divisiones, mientras que la factorización exige

1071 = 3^2 \times 7 \times 17

462 = 2 \times 3 \times 7 \times 11

¿Qué significa que el algoritmo termine con MCD 1?

Entonces los dos números son primos entre sí (coprimos): no tienen ningún divisor común salvo el

1

. Los números de Fibonacci vecinos, como

144

89

, siempre son primos entre sí, y con ellos el algoritmo necesita el mayor número de pasos para su tamaño.

¿Puedo usarlo con tres números?

Sí, de dos en dos:

\text{MCD}(a, b, c) = \text{MCD}(\text{MCD}(a, b), c)

. Por ejemplo,

\text{MCD}(840, 1176) = 168

\text{MCD}(168, 1260) = 84

, así que el MCD de los tres es

84

Glosario

Algoritmo de Euclides: Método para el MCD de dos números: dividir con resto, sustituir la pareja por (divisor, resto) y repetir hasta que el resto sea $0$
División con resto: Escribir $a = q \times b + r$ con $0 \le r < b$ , por ejemplo $1071 = 2 \times 462 + 147$
Cociente: El número $q$ de veces enteras que $b$ cabe en $a$
Resto: El número $r$ que sobra tras la división, siempre menor que el divisor
Primos entre sí (coprimos): Dos números cuyo MCD es $1$ , como $144$ y $89$
Mínimo común múltiplo (mcm): El menor número positivo que es múltiplo de los dos números; $\text{mcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}$

Tarjeta de fórmulas

División con resto

a = q \times b + r, \quad 0 \le r < b

Una fila del algoritmo: $q$ es el cociente y $r$ el resto

Paso clave

\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)

Sustituye la pareja por (divisor, resto) y repite hasta que $r = 0$

mcm a partir del MCD

\text{mcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MCD}(a, b)}

Multiplica los números y divide entre su MCD

Números primos entre sí

\text{MCD}(a, b) = 1

Los números no tienen ningún divisor común salvo el $1$

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