Volver a la lección

Guía del profesor: Divisores y múltiplos

Aprende qué son los divisores y múltiplos, cómo encontrarlos y por qué son importantes en matemáticas.

Presentar lecciónCompartir en ClassroomVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Factores y Múltiplos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir divisores como números que dividen exactamente a otro número
  • Definir los múltiplos como productos de un número por números naturales
  • Encontrar todos los divisores de un número dado
  • Escribir los múltiplos de un número dado
  • Distinguir entre divisores y múltiplos
  • Aplicar divisores y múltiplos a situaciones de la vida real
Requisitos previos
  • • Tablas de multiplicar hasta el 12
  • • División básica con números naturales
  • • Comprensión de los restos
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué todo número mayor que 1 tiene al menos dos divisores (1 y él mismo)? ¿Y el número 1?
  • 2. ¿Puede un número pequeño ser múltiplo de un número mayor? ¿Por qué o por qué no?
  • 3. ¿Cómo se relacionan los divisores y múltiplos con la multiplicación y la división?
  • 4. ¿Cuándo podrías necesitar encontrar divisores o múltiplos en la vida real?
Conceptos erróneos comunes

Los divisores siempre son menores que el número

Remediación: ¡El número mismo siempre es un divisor! 12 es un divisor de 12 porque 12÷12=112 \div 12 = 1.

Los múltiplos deben ser mayores que el número

Remediación: El primer múltiplo de cualquier número es el número mismo: el primer múltiplo de 5 es 5.

Las parejas de divisores siempre son números diferentes

Remediación: Los cuadrados perfectos tienen un divisor repetido: las parejas de divisores de 36 incluyen (6,6)(6, 6).

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Usa tablas de multiplicar para encontrar divisores
  • • Empieza con números pequeños (menos de 20)
  • • Usa material manipulativo para mostrar agrupaciones
  • • Crea un mural de referencia divisores y múltiplos

Para estudiantes de nivel:

  • • Encuentra todos los divisores de números de dos dígitos
  • • Identifica divisores comunes de dos números
  • • Resuelve problemas con grupos iguales

Para estudiantes avanzados:

  • • Explora la relación con la factorización prima
  • • Investiga los números perfectos (los divisores distintos del propio número suman ese número: 6=1+2+36 = 1 + 2 + 3)
  • • Encuentra el MCD y el mcm usando divisores y múltiplos
Alineación con estándares
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Encontrar todos las parejas de divisores de un número entero en el rango 1-100. Reconocer que un número entero es múltiplo de cada uno de sus divisores.

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Encontrar el máximo común divisor de dos números enteros hasta 100 y el mínimo común múltiplo de dos números enteros hasta 12.

Recursos de la lección
  • visualConstructor de árboles de factores

    Los alumnos construyen árboles de factores para descomponer un número

  • activityJuego de clasificación: ¿divisor o múltiplo?

    Clasifica números como divisor o múltiplo

  • worksheetDivisores en la vida real

    Resuelve problemas sobre compartir, organizar y programar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Los divisores de un número son los números que lo dividen exactamente, sin dejar resto.
Los múltiplos de un número son los resultados de multiplicarlo por los números naturales 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots
Ejemplo con el número 12:
Divisores de 12: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • 12÷1=1212 \div 1 = 12 (sin resto)
  • 12÷2=612 \div 2 = 6 (sin resto)
  • 12÷3=412 \div 3 = 4 (sin resto)
  • 12÷4=312 \div 4 = 3 (sin resto)
  • 12÷6=212 \div 6 = 2 (sin resto)
  • 12÷12=112 \div 12 = 1 (sin resto)
Múltiplos de 12: 12,24,36,48,60,…12, 24, 36, 48, 60, \ldots
  • 12×1=1212 \times 1 = 12
  • 12×2=2412 \times 2 = 24
  • 12×3=3612 \times 3 = 36
  • 12×4=4812 \times 4 = 48
  • 12×5=6012 \times 5 = 60

Ejemplos resueltos

Encuentra todos los divisores de 18.
1

Empieza con 1

18÷1=1818 \div 1 = 18, así que 1 y 18 son divisores → Divisores: 1,181, 18
2

Prueba con 2

18÷2=918 \div 2 = 9, así que 2 y 9 son divisores → Divisores: 1,2,9,181, 2, 9, 18
3

Prueba con 3

18÷3=618 \div 3 = 6, así que 3 y 6 son divisores → Divisores: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
4

Prueba con 4

18÷4=4,518 \div 4 = 4{,}5 (no es un número entero) → 4 NO es divisor
5

Detente en la raíz cuadrada

18≈4,24\sqrt{18} \approx 4{,}24 y el siguiente número, 5, ya es mayor, así que hemos encontrado todos los divisores → Todos los divisores: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18

Errores comunes

Confundir divisores y múltiplos

Por qué está mal: Las palabras se parecen, pero significan lo contrario. Un divisor cabe un número exacto de veces EN otro número; los múltiplos se obtienen MULTIPLICANDO.

Correcto: Recuerda: los divisores son pocos (un número finito), los múltiplos no se acaban nunca (infinitos). 12 tiene 6 divisores, pero infinitos múltiplos.

Olvidar que 1 siempre es un divisor

Por qué está mal: Cualquier número dividido entre 1 da el mismo número, así que 1 siempre es un divisor.

Correcto: Siempre empieza tu lista de divisores con 1, y no olvides que el número mismo también es un divisor.

Empezar la lista de múltiplos por 0

Por qué está mal: n×0=0n \times 0 = 0, así que 0 es múltiplo de cualquier número. Pero cuando escribimos la lista de múltiplos, empezamos por n×1n \times 1.

Correcto: Empieza la lista por el propio número: los múltiplos de 5 son 5,10,15,…5, 10, 15, \ldots

Olvidar parejas de divisores

Por qué está mal: Al buscar divisores, a veces se olvida que los divisores van por parejas.

Correcto: Cuando encuentres un divisor, busca su pareja: si 18÷2=918 \div 2 = 9, entonces tanto 2 COMO 9 son divisores.

Por qué es importante

Los divisores y múltiplos te ayudan de muchas maneras:
  • Simplificar fracciones: Encuentra divisores comunes para simplificar 812\frac{8}{12} a 23\frac{2}{3}
  • Sumar fracciones: Encuentra múltiplos comunes para obtener el mismo denominador
  • Repartir a partes iguales: Reparte 24 galletas entre 6 amigos (24 es divisible por 6)
  • Patrones: Comprende por qué todo número par tiene a 2 como divisor
  • Resolución de problemas: Planifica horarios, disposiciones y agrupaciones
¡Estas habilidades son esenciales para álgebra, fracciones y matemáticas de la vida real!

Aplicaciones del mundo real

Planificación de fiestas

Al organizar una fiesta, a menudo hay que repartir cosas a partes iguales entre los invitados.

Ejemplo:

Tienes 30 magdalenas. ¿En grupos de cuántas personas se pueden repartir a partes iguales? Los divisores de 30: 1,2,3,5,6,10,15,301, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Así que puedes tener grupos de 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 personas.

1Inténtalo tú mismo

Estás preparando una fiesta con 24 regalos para repartir a partes iguales.

¿Cuántos invitados puedes tener para que cada uno reciba el mismo número de regalos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra los divisores de 24:

Horarios y patrones

Los múltiplos nos ayudan a encontrar cuándo los eventos ocurren juntos.

Ejemplo:

El autobús A pasa cada 15 minutos. El autobús B pasa cada 20 minutos. ¿Cuándo llegan juntos? Encuentra múltiplos comunes de 15 y 20: 60,120,180,…60, 120, 180, \ldots Llegan juntos cada 60 minutos.

2Inténtalo tú mismo

Practicas piano cada 3 días y fútbol cada 4 días.

Si hoy tienes ambos, ¿en cuántos días tendrás ambos de nuevo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra el primer múltiplo común de 3 y 4:

Colocar objetos

Los divisores ayudan a decidir cómo colocar objetos en filas y columnas.

Ejemplo:

Tienes 48 sillas para colocar. Disposiciones posibles: 1 fila de 48, 2 filas de 24, 3 filas de 16, 4 filas de 12, 6 filas de 8, 8 filas de 6, etc.

3Inténtalo tú mismo

Un aula tiene 28 pupitres para colocar en filas iguales.

¿Cuáles son todas las disposiciones posibles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra las parejas de divisores de 28, escritas como (1, 28):

Puntos clave

  • 1Los divisores dividen un número sin dejar resto
  • 2Los múltiplos se hacen multiplicando un número por 1, 2, 3, ...
  • 3Cada número tiene a 1 y a sí mismo como divisores
  • 4Los divisores van por parejas que, multiplicadas, dan el número original
  • 5Los múltiplos son infinitos, pero los divisores son finitos
  • 6Los divisores ayudan con la división y simplificación; los múltiplos ayudan con patrones y horarios

Preguntas frecuentes

¿Un número es divisor y múltiplo de sí mismo?

¡Sí! Cada número es tanto un divisor de sí mismo (12÷12=112 \div 12 = 1) como un múltiplo de sí mismo (12×1=1212 \times 1 = 12).

¿Cómo sé cuándo he encontrado todos los divisores?

Deja de comprobar cuando el número que pruebas pasa de la raíz cuadrada. Para 36, 36=6\sqrt{36} = 6, así que después de comprobar hasta 6, has encontrado todas las parejas de divisores.

¿Qué diferencia hay entre divisor y factor?

¡Es la misma idea! Si 3 es divisor de 12, puedes escribir 12=3×412 = 3 \times 4: entonces 3 es un factor de ese producto. En el colegio se dice sobre todo "divisor".

Glosario

Divisor
Un número que divide exactamente a otro número sin dejar resto
Múltiplo
El producto de un número por cualquier número natural
Pareja de divisores
Dos números que multiplicados dan un producto específico
Divisible
Un número es divisible por otro si la división no tiene resto
Número primo
Un número con exactamente dos divisores: 1 y él mismo

Más sobre este tema

Descomposición en factores primos

Intermedio25 min

Números primos y compuestos

Elemental20 min

Máximo Común Divisor (MCD)

Intermedio25 min

Mínimo Común Múltiplo (mcm)

Intermedio25 min