Aritmética modular

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuánto es $23 \bmod 5$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)3
4. d)18
Respuesta: 3
$23 = 4 \times 5 + 3$ , así que el resto es $3$ . El $4$ es el cociente, y $18$ es $23 - 5$ , no el resto.
2.
Calcula $45 \bmod 7$ .
Respuesta: 3
$45 = 6 \times 7 + 3$ , así que $45 \bmod 7 = 3$ .
3.
Son las 8. ¿Qué marca un reloj de 12 horas 7 horas después?
1. a)la 1
2. b)las 11
3. c)las 15
4. d)las 3
Respuesta: las 3
$8 + 7 = 15$ y $15 \bmod 12 = 3$ : el reloj marca las 3. Las 15 solo existen en un reloj de 24 horas.
4.
Calcula $-5 \bmod 12$ (un resto entre 0 y 11).
Respuesta: 7
$-5 + 12 = 7$ , así que $-5 = (-1) \times 12 + 7$ y $-5 \bmod 12 = 7$ . En un reloj: 5 horas antes de las 12 son las 7.
5.
Calcula $58 \bmod 9$ .
Respuesta: 4
1. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 9 que no pasa de 58? 54
2. ¿Cuántas veces cabe 9 en 58 (el cociente)? 6
3. ¿Cuál es el resto $58 - 54$ ? 4
6.
Los números $a$ y $b$ son los dos impares. ¿Cuánto valen $(a + b) \bmod 2$ y $(a \times b) \bmod 2$ ?
1. a)1 y 1
2. b)0 y 1
3. c)0 y 0
4. d)1 y 0
Respuesta: 0 y 1
Impar significa resto 1 módulo 2. Suma: $1 + 1 = 2 \equiv 0$ , así que impar más impar es par. Producto: $1 \times 1 = 1$ , así que impar por impar es impar. Ejemplo: $3 + 5 = 8$ y $3 \times 5 = 15$ .
7.
Hoy es martes. ¿Qué día de la semana será dentro de 60 días?
1. a)sábado
2. b)jueves
3. c)lunes
4. d)domingo
Respuesta: sábado
$60 = 8 \times 7 + 4$ : 60 días son 8 semanas completas y 4 días. 4 días después del martes es sábado.
8.
Son las 10. ¿A qué número apunta la aguja de las horas de un reloj de 12 horas 250 horas después? (Responde con un número del 1 al 12.)
Respuesta: 8
$250 \bmod 12 = 10$ , luego $10 + 10 = 20$ y $20 \bmod 12 = 8$ . La aguja apunta al 8.
9.
Calcula $(47 + 86) \bmod 9$ reduciendo primero.
Respuesta: 7
1. ¿Cuánto es $47 \bmod 9$ ? 2
2. ¿Cuánto es $86 \bmod 9$ ? 5
3. ¿Cuánto es $(2 + 5) \bmod 9$ ? 7
10.
Calcula $(34 \times 29) \bmod 5$ reduciendo primero.
Respuesta: 1
1. ¿Cuánto es $34 \bmod 5$ ? 4
2. ¿Cuánto es $29 \bmod 5$ ? 4
3. Multiplica los restos: $4 \times 4 = ?$ 16
4. ¿Cuánto es $16 \bmod 5$ ? 1
11.
¿Qué afirmación es verdadera?
1. a) $17 \equiv 5 \pmod{8}$
2. b) $38 \equiv 14 \pmod{12}$
3. c) $25 \equiv 4 \pmod{6}$
4. d) $40 \equiv 2 \pmod{3}$
Respuesta: $38 \equiv 14 \pmod{12}$
$38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , así que $38 \equiv 14 \pmod{12}$ es verdadera. Pero $25 - 4 = 21$ no es múltiplo de 6, $17 - 5 = 12$ no es múltiplo de 8 y $40 - 2 = 38$ no es múltiplo de 3.
12.
Comprueba que $83 \equiv 20 \pmod{9}$ y después halla el resto que dejan los dos números al dividir entre 9.
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto es $83 - 20$ ? 63
2. ¿Cuánto es $63 \bmod 9$ ? 0
3. ¿Qué resto dejan 83 y 20 al dividir entre 9? 2
13.
Son las 3. ¿A qué número apuntaba la aguja de las horas de un reloj de 12 horas hace 40 horas?
Respuesta: 11
1. ¿Cuánto es $40 \bmod 12$ ? 4
2. Retrocede desde 3: ¿cuánto es $3 - 4$ ? -1
3. ¿Cuánto es $-1 \bmod 12$ ? 11
14.
¿Cuál es la última cifra de $7^{50}$ ?
Respuesta: 9
Las últimas cifras se repiten con un ciclo de longitud 4: $7, 9, 3, 1$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ , así que $7^{50}$ acaba igual que $7^2 = 49$ : la última cifra es 9.
15.
¿Cuál es la última cifra de $2^{2026}$ ?
Respuesta: 4
1. Las últimas cifras de $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ son $2, 4, 8, 6, 2$ . ¿Cuál es la longitud del ciclo? 4
2. ¿Cuánto es $2026 \bmod 4$ ? 2
3. Así que $2^{2026}$ acaba igual que $2^2$ . ¿Cuál es su última cifra? 4
16.
Halla el dígito de control EAN-13 de las 12 cifras $590123412345$ . Las cifras en posiciones impares cuentan una vez, las de posiciones pares tres veces, y el dígito de control hace que el total sea múltiplo de 10.
Respuesta: 7
1. Suma las cifras de las posiciones impares (1.ª, 3.ª, ..., 11.ª). 17
2. Suma las cifras de las posiciones pares y multiplica la suma por 3. 66
3. ¿Cuánto es $(17 + 66) \bmod 10$ ? 3
4. ¿Qué cifra completa el total hasta un múltiplo de 10? 7
17.
Un ISBN-10 empieza con las 9 cifras 0-306-40615. Multiplica estas cifras por $10, 9, 8, \ldots, 2$ y suma. El dígito de control $x$ (peso 1) hace que el total sea múltiplo de 11. Halla $x$ .
Respuesta: 2
1. Calcula $10 \times 0 + 9 \times 3 + 8 \times 0 + 7 \times 6 + 6 \times 4$ . 93
2. Suma $5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 1 + 2 \times 5$ . ¿Cuál es la suma ponderada completa? 130
3. ¿Cuánto es $130 \bmod 11$ ? 9
4. ¿Qué cifra $x$ hace que $9 + x$ sea múltiplo de 11? 2
18.
¿Cuánto es $5^{100} \bmod 7$ ?
Respuesta: 2
El ciclo tiene longitud 6. $100 = 16 \times 6 + 4$ , así que $5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ . $5^4 = 625 = 89 \times 7 + 2$ , así que el resto es 2.