Resolver ecuaciones exponenciales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Resuelve $2^x = 16$ .
1. a) $4$
2. b) $8$
3. c) $14$
4. d) $2$
Respuesta: $4$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ , así que $2^x = 2^4$ y $x = 4$ . La respuesta $8$ sale de dividir $16$ entre $2$ , lo cual es incorrecto.
2.
Resuelve $3^x = 81$ .
Respuesta: 4
$81 = 3^4$ , así que $3^x = 3^4$ y $x = 4$ . Comprobación: $3^4 = 81$ ✓
3.
Resuelve $5^{x-1} = 125$ .
Respuesta: 4
1. Escribe 125 como potencia de 5: $125 = 5^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 3
2. Iguala los exponentes: $x - 1 = 3$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 4
4.
¿Qué ecuación es $4^x = 64$ escrita con base $2$ en ambos miembros?
1. a) $2^{2x} = 2^6$
2. b) $2^{x+2} = 2^6$
3. c) $2^{2x} = 2^8$
4. d) $2^x = 2^6$
Respuesta: $2^{2x} = 2^6$
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ y $64 = 2^6$ , así que la ecuación es $2^{2x} = 2^6$ (de donde $x = 3$ , y en efecto $4^3 = 64$ ).
5.
Resuelve $5^x = \frac{1}{25}$ .
Respuesta: -2
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , así que $5^x = 5^{-2}$ y $x = -2$ .
6.
Resuelve $3 \cdot 2^x = 96$ .
Respuesta: 5
1. Divide ambos miembros entre 3: $2^x = \square$ 32
2. Escribe 32 como potencia de 2. ¿Cuánto vale $x$ ? 5
7.
Resuelve $8^x = 4$ . Escribe la respuesta como fracción, por ejemplo 3/4.
Respuesta: 2/3
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ y $4 = 2^2$ , así que $3x = 2$ y $x = \frac{2}{3}$ . Comprobación: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ ✓
8.
Resuelve $9^x = \frac{1}{27}$ .
1. a) $-3$
2. b) $-\frac{3}{2}$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $-\frac{2}{3}$
Respuesta: $-\frac{3}{2}$
$9^x = 3^{2x}$ y $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , así que $2x = -3$ y $x = -\frac{3}{2}$ . La opción $\frac{3}{2}$ olvida el signo menos.
9.
Resuelve $2^{3x} = \frac{1}{16}$ . Escribe la respuesta como fracción, por ejemplo -5/2.
Respuesta: -4/3
1. Escribe $\frac{1}{16}$ como potencia de 2: $\frac{1}{16} = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? -4
2. Iguala los exponentes: $3x = -4$ . ¿Cuánto vale $x$ ? Escríbelo como fracción. -4/3
10.
Resuelve $8^x = 32$ . Escribe la respuesta como fracción, por ejemplo 7/2.
Respuesta: 5/3
1. $8 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 3
2. $32 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 5
3. Ahora $2^{3x} = 2^5$ , así que $3x = 5$ . ¿Cuánto vale $x$ ? Escríbelo como fracción. 5/3
11.
Resuelve $25^x = 125$ . Escribe la respuesta como fracción, por ejemplo 5/4.
Respuesta: 3/2
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$ y $125 = 5^3$ , así que $2x = 3$ y $x = \frac{3}{2}$ . Comprobación: $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ ✓
12.
Resuelve $5 \cdot 3^{x+1} = 405$ .
Respuesta: 3
1. Divide ambos miembros entre 5: $3^{x+1} = \square$ 81
2. $81 = 3^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 4
3. $x + 1 = 4$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 3
13.
La solución de $2^x = 20$ no es un número entero. ¿Entre qué dos enteros consecutivos se encuentra?
1. a)4 y 5
2. b)3 y 4
3. c)10 y 11
4. d)5 y 6
Respuesta: 4 y 5
$2^4 = 16$ y $2^5 = 32$ . Como $16 < 20 < 32$ , la solución está entre $4$ y $5$ (aproximadamente $4{,}32$ ). La opción 10 y 11 sale de dividir 20 entre 2, lo cual es incorrecto.
14.
Resuelve $4^{x+1} = 8^x$ .
Respuesta: 2
1. $4 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 2
2. $8 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 3
3. Ahora $2^{2(x+1)} = 2^{3x}$ , así que $2x + 2 = 3x$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 2
15.
La ecuación $2^{x^2 - x} = 64$ tiene dos soluciones. ¿Cuál es la mayor?
Respuesta: 3
1. $64 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 6
2. Así que $x^2 - x - 6 = 0$ , que se factoriza como $(x - 3)(x + 2) = 0$ . ¿Cuál es la solución menor? -2
3. ¿Cuál es la solución mayor? 3
16.
Resuelve $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ .
Respuesta: -3
$2^{-x} = 2^3$ , así que $-x = 3$ y $x = -3$ . Comprobación: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ ✓
17.
¿Qué ecuación no tiene solución?
1. a) $3^x = 1$
2. b) $2^x = \frac{1}{8}$
3. c) $4^x = 2$
4. d) $5^x = -25$
Respuesta: $5^x = -25$
$5^x$ es positivo para cualquier $x$ , así que nunca puede valer $-25$ . Las demás tienen solución: $2^x = \frac{1}{8}$ da $x = -3$ , $3^x = 1$ da $x = 0$ y $4^x = 2$ da $x = \frac{1}{2}$ .
18.
La solución de $3^x = 50$ no es un número entero. ¿Cuál es el menor número entero $n$ con $3^n > 50$ ?
Respuesta: 4
1. ¿Cuánto es $3^3$ ? 27
2. ¿Cuánto es $3^4$ ? 81
3. Como $27 < 50 < 81$ , ¿cuál es el menor entero $n$ con $3^n > 50$ ? 4