Guía del profesor: Resolver ecuaciones exponenciales

Resuelve ecuaciones con la incógnita en el exponente escribiendo ambos miembros como potencias de la misma base, y estima las soluciones que no son números enteros.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones exponenciales escribiendo ambos miembros como potencias de la misma base
Usar exponentes negativos y fraccionarios para escribir fracciones y raíces como potencias
Aislar la potencia antes de resolver ecuaciones con un factor delante, como $3 \cdot 2^x = 48$
Comprobar soluciones por sustitución y estimar soluciones no enteras con una tabla de potencias

Requisitos previos

• Leyes de los exponentes (producto, cociente y potencia de una potencia)
• Exponentes racionales (raíces como exponentes fraccionarios)
• Introducción a las funciones exponenciales
• Crecimiento exponencial
• Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas sencillas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué es más difícil resolver $2^x = 32$ "deshaciendo" la operación que $2x = 32$ ?
2. ¿Cómo puedes saber rápidamente si la solución de $9^x = \frac{1}{27}$ es positiva o negativa?
3. ¿Por qué $2^x = -8$ no tiene solución y $x^3 = -8$ sí?
4. Si $2^4 = 16$ y $2^5 = 32$ , ¿la solución de $2^x = 24$ es exactamente $4{,}5$ ? ¿Por qué?

Conceptos erróneos comunes

Tratar $2^x$ como $2x$ y dividir entre la base

Remediación: Pide a los alumnos que sustituyan su respuesta: $2^{16}$ es 65536, no 32. Convierte la comprobación en un hábito y escribe la lista $2^1, 2^2, \ldots$ para que vean que las potencias crecen multiplicando.

Igualar exponentes aunque las bases sean distintas

Remediación: Compara $2^x = 2^3$ con $4^x = 2^3$ . Pide que calculen $4^3$ para ver que da 64 y no 8, y luego muestra la transformación $4^x = 2^{2x}$ .

Esperar siempre una respuesta entera

Remediación: Usa $4^x = 8$ y $2^x = 20$ : una tiene la solución fraccionaria $\frac{3}{2}$ y la otra está entre 4 y 5. Las gráficas y las tablas muestran que la solución puede estar en cualquier punto de la recta numérica.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una tabla de referencia con las potencias de 2, 3, 5 y 10 hasta la sexta potencia
• Empezar con ecuaciones directas como $3^x = 27$ antes de reescribir ambos miembros
• Usar una lista fija de pasos: aislar, misma base, igualar exponentes, comprobar

Para estudiantes de nivel:

• Resolver ecuaciones con soluciones negativas y fraccionarias, como $8^x = 32$ y $9^x = \frac{1}{27}$
• Resolver ecuaciones con un factor delante, como $5 \cdot 3^{x+1} = 405$
• Acotar soluciones no enteras entre dos enteros consecutivos con una tabla

Para estudiantes avanzados:

• Resolver ecuaciones con la incógnita en ambos miembros, como $4^{x+1} = 8^x$
• Resolver ecuaciones con un exponente cuadrático, como $2^{x^2 - x} = 64$
• Afinar una estimación a una cifra decimal con la calculadora y compararla más adelante con un logaritmo

Alineación con estándares

HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Explicar por qué las abscisas de los puntos de corte de las gráficas de y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de f(x) = g(x); hallar soluciones aproximadas con tecnología o tablas de valores, también para funciones exponenciales
HSN-RN.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2)
Reescribir expresiones con radicales y exponentes racionales usando las propiedades de las potencias
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Usar las propiedades de las potencias para transformar expresiones de funciones exponenciales
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Plantear ecuaciones e inecuaciones con una incógnita y usarlas para resolver problemas, incluidas las ecuaciones que surgen de funciones exponenciales

Recursos de la lección

visualRecta numérica de potencias de 2
Los alumnos colocan potencias de 2 en una recta numérica y sitúan valores como 20 entre dos potencias
activityCaza de potencias
Tarjetas con números como 81, 1/16 y 125: los alumnos escriben cada uno como potencia de 2, 3 o 5
worksheetPráctica de igualar bases
Ecuaciones desde la misma base directa hasta exponentes negativos y fraccionarios, con una columna para comprobar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita está en el exponente, por ejemplo

2^x = 32

3^{x+1} = 81

La idea clave es la regla de la misma base: si dos potencias con la misma base son iguales, sus exponentes son iguales.

b^m = b^n \implies m = n \quad (b > 0,\ b \neq 1)

El método de igualar bases:

1.Aísla la potencia: si un número multiplica a la potencia, divide ambos miembros entre él ( $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$ ).
2.Escribe ambos miembros como potencias de la misma base ( $16 = 2^4$ , $8 = 2^3$ , $4 = 2^2$ ).
3.Iguala los exponentes y resuelve la ecuación más sencilla que obtienes.
4.Comprueba sustituyendo la solución en la ecuación original.

Transformaciones útiles:

Las fracciones se convierten en exponentes negativos: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$
Las raíces se convierten en exponentes fraccionarios: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Potencia de una potencia: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Cuando no se pueden escribir los dos miembros con la misma base (como en

2^x = 20

), puedes estimar la solución con una tabla de potencias:

2^4 = 16

2^5 = 32

, así que

x

está entre

4

5

. Los logaritmos, un tema posterior, dan el valor exacto.

Ejemplos resueltos

Resuelve $2^x = 32$ .

Escribe 32 como potencia de 2

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$ → $2^x = 2^5$

Iguala los exponentes

Misma base $2$ , así que los exponentes deben coincidir → $x = 5$

Comprueba

$2^5 = 32$ ✓ → La solución es correcta

Respuesta: $x = 5$

Errores comunes

Dividir entre la base: $2^x = 32 \implies x = \frac{32}{2} = 16$

Por qué está mal: $2^x$ significa multiplicar $2$ por sí mismo $x$ veces, no $2$ por $x$ . Dividir deshace una multiplicación, no una potencia.

Correcto: Escribe $32$ como potencia de $2$ : $32 = 2^5$ , así que $x = 5$ . Comprobación: $2^{16} = 65536 \neq 32$ .

Meter el factor en la base: $3 \cdot 2^x = 48 \implies 6^x = 48$

Por qué está mal: El exponente solo afecta al $2$ . Según la jerarquía de operaciones, primero se calcula la potencia y después se multiplica por $3$ .

Correcto: Divide primero: $2^x = 16 = 2^4$ , así que $x = 4$ . Comprobación: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ ✓

Igualar exponentes cuando las bases son distintas: $4^x = 2^3 \implies x = 3$

Por qué está mal: La regla de la misma base solo funciona si las bases son realmente iguales. $4^3 = 64$ , no $8$ .

Correcto: Primero reescribe $4^x = 2^{2x}$ , luego $2x = 3$ , así que $x = \frac{3}{2}$ .

Perder el signo menos: $9^x = \frac{1}{27} \implies x = \frac{3}{2}$

Por qué está mal: Un número menor que $1$ necesita un exponente negativo cuando la base es mayor que $1$ : $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ .

Correcto: $3^{2x} = 3^{-3}$ , así que $x = -\frac{3}{2}$ . Prueba rápida: $9^{\frac{3}{2}} = 27$ , que es mucho mayor que $\frac{1}{27}$ .

Por qué es importante

Las ecuaciones exponenciales responden a la pregunta "¿cuándo?" para todo lo que crece o disminuye por un factor constante:

Biología: ¿cuándo llegará a 4800 células una colonia de bacterias que se duplica cada hora?
Finanzas: ¿cuántos años tarda una inversión en duplicarse o triplicarse?
Tecnología: ¿cuántas veces hay que duplicar el almacenamiento para guardar cierta cantidad de datos?
Ciencias: ¿cuánto tarda una sustancia en bajar a un nivel seguro?

En las lecciones anteriores calculaste la cantidad para un tiempo dado. Aquí le das la vuelta a la pregunta y buscas el tiempo (el exponente) para una cantidad dada. El método de igualar bases también te enseña a ver números como

8

81

\frac{1}{27}

como potencias, una habilidad que volverás a usar con los logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Colonias de bacterias

Una colonia que se duplica cada hora sigue $N = N_0 \cdot 2^t$. Al despejar $t$, un laboratorio sabe cuándo la colonia alcanzará un tamaño objetivo.

Ejemplo:

Una colonia de 100 células se duplica cada hora. Llega a 800 células cuando $100 \cdot 2^t = 800$ , es decir, $2^t = 8 = 2^3$ y $t = 3$ horas.

1Inténtalo tú mismo

Una muestra empieza con 300 bacterias y se duplica cada hora.

¿Después de cuántas horas hay 4800 bacterias?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $300 \cdot 2^t = 4800$ . Primero divide:

Doblar papel

Cada doblez duplica el grosor de una hoja de papel, así que el grosor tras $n$ dobleces es $T = T_0 \cdot 2^n$.

Ejemplo:

Una hoja de 0,1 mm de grosor mide 0,8 mm tras 3 dobleces, porque $0{,}1 \cdot 2^3 = 0{,}8$ .

2Inténtalo tú mismo

Una hoja de papel tiene 0,1 mm de grosor. Cada doblez duplica el grosor.

¿Cuántos dobleces hacen falta para que el grosor sea de 6,4 mm?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $0{,}1 \cdot 2^n = 6{,}4$ . Primero divide:

Vídeos virales

Las visualizaciones que se duplican cada día crecen como $V = V_0 \cdot 2^d$. Cuando el objetivo no es una potencia de 2, una tabla de potencias muestra el día en que se supera.

Ejemplo:

Un vídeo con 1000 visualizaciones que se duplican cada día tiene $1000 \cdot 2^5 = 32000$ visualizaciones a los 5 días y $1000 \cdot 2^6 = 64000$ a los 6 días.

3Inténtalo tú mismo

Un vídeo tiene 1000 visualizaciones y estas se duplican cada día.

¿Entre qué dos días enteros supera las 50000 visualizaciones?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $1000 \cdot 2^d = 50000$ . Primero divide:

Puntos clave

1En una ecuación exponencial la incógnita está en el exponente, como en $2^x = 32$
2Regla de la misma base: si $b^m = b^n$ (con $b > 0$ , $b \neq 1$ ), entonces $m = n$
3Aísla primero la potencia: divide entre el factor que la multiplica, como en $3 \cdot 2^x = 48 \implies 2^x = 16$
4Reescribe con una base común usando $(b^m)^x = b^{mx}$ , exponentes negativos para fracciones ( $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ ) y exponentes fraccionarios para raíces
5Comprueba siempre la solución sustituyéndola en la ecuación original
6Si no hay base común, una tabla de potencias muestra entre qué enteros está la solución; los logaritmos dan el valor exacto

Preguntas frecuentes

¿Qué hago si no puedo escribir ambos miembros con la misma base?

Entonces el método de igualar bases no sirve. Aun así puedes estimar: haz una tabla de potencias y mira dónde encaja el miembro derecho, por ejemplo

2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5

, así que la solución de

2^x = 20

está entre

4

5

. Los logaritmos, que verás más adelante en el curso, dan la respuesta exacta.

¿Por qué la base no puede ser 1?

Porque

1^x = 1

para cualquier

x

. La ecuación

1^x = 1^5

es cierta para todos los valores de

x

, así que no puedes concluir que

x = 5

. Con cualquier otra base positiva, exponentes distintos siempre dan resultados distintos.

¿Puede una ecuación exponencial no tener solución?

Sí. Una potencia de base positiva siempre es positiva, así que

2^x = -4

2^x = 0

no tienen solución. Antes de empezar, comprueba que la potencia aislada es igual a un número positivo.

¿Puede haber dos soluciones?

Sí, cuando el exponente contiene

x^2

. Por ejemplo,

2^{x^2} = 2^4

x^2 = 4

, así que

x = 2

x = -2

. Comprueba las dos en la ecuación original.

Glosario

Ecuación exponencial: Una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente, como $5^{x-1} = 125$
Método de igualar bases: Resolver una ecuación exponencial escribiendo ambos miembros como potencias de una misma base e igualando los exponentes
Base común: Una base con la que se pueden escribir los dos miembros, como $2$ en $4^x = 8$
Exponente negativo: Un exponente que indica un inverso: $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Exponente fraccionario: Un exponente que indica una raíz: $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ , por ejemplo $27^{\frac{1}{3}} = 3$
Logaritmo: El exponente necesario para llegar a un número; da soluciones exactas como la $x$ de $2^x = 20$ (un tema posterior)

Tarjeta de fórmulas

Regla de la misma base

b^m = b^n \implies m = n

Válida para $b > 0$ y $b \neq 1$. Escribe ambos miembros con la misma base y luego iguala los exponentes.

Potencia de una potencia

(b^m)^x = b^{mx}

Sirve para cambiar de base, por ejemplo $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Exponente negativo

\frac{1}{b^n} = b^{-n}

Convierte una fracción en una potencia, por ejemplo $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

Exponente fraccionario

\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}

Convierte una raíz en una potencia, por ejemplo $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Más sobre este tema

Guía del profesor: Resolver ecuaciones exponenciales

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Colonias de bacterias

Doblar papel

Vídeos virales

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Regla de la misma base

Potencia de una potencia

Exponente negativo

Exponente fraccionario

Más sobre este tema

Introducción a las funciones exponenciales

Crecimiento exponencial

Gráficas de funciones exponenciales

Decrecimiento exponencial