Volver a la lección

Guía del profesor: Funciones compuestas

Aprende a combinar dos funciones para crear una nueva función mediante composición.

Presentar lecciónCompartir en ClassroomVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones Avanzadas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir funciones compuestas y entender la notación (f∘g)(x)(f \circ g)(x)
  • Evaluar funciones compuestas para valores específicos
  • Encontrar fórmulas para funciones compuestas algebraicamente
  • Demostrar que la composición no es conmutativa
Requisitos previos
  • • Comprensión de la notación funcional f(x)f(x)
  • • Capacidad para evaluar funciones en valores dados
  • • Habilidades básicas de manipulación algebraica
  • • Familiaridad con dominio y rango
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Puedes pensar en un ejemplo de la vida real donde haces primero una tarea, luego otra que depende del primer resultado?
  • 2. ¿Por qué crees que el orden de composición importa? ¿Puedes encontrar dos funciones donde el orden no importe?
  • 3. Si (f∘g)(x)=x(f \circ g)(x) = x para todo xx, ¿qué nos dice esto sobre la relación entre ff y gg?
  • 4. ¿En qué se parece la composición de funciones a seguir una receta con varios pasos?
Conceptos erróneos comunes

Pensar que (f∘g)(x)(f \circ g)(x) significa f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Remediación: Usa la analogía de la máquina de funciones: la salida de la máquina gg alimenta directamente la máquina ff. ¡No es multiplicación!

Asumir que la composición es conmutativa como la suma

Remediación: Muestra ejemplos concretos donde (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x). Usa funciones simples como f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=x+1g(x) = x + 1.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Usar primero funciones lineales simples (f(x)=2xf(x) = 2x, g(x)=x+3g(x) = x + 3)
  • • Dibujar máquinas de funciones mostrando el flujo de entrada/salida
  • • Practicar evaluando con números antes de encontrar fórmulas generales

Para estudiantes de nivel:

  • • Trabajar con funciones polinómicas y racionales
  • • Comparar (f∘g)(f \circ g) y (g∘f)(g \circ f) para varios pares de funciones
  • • Resolver problemas que requieran descomponer funciones compuestas

Para estudiantes avanzados:

  • • Explorar funciones identidad: encontrar gg tal que (f∘g)(x)=x(f \circ g)(x) = x
  • • Trabajar con composiciones de funciones definidas por partes y valor absoluto
  • • Conectar con funciones inversas y preparación para la regla de la cadena
Alineación con estándares
  • HSF-BF.A.1.c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.C)

    Componer funciones

  • HSF-BF.B.4.a (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4.A)

    Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene inversa

Recursos de la lección
  • visualCadena de máquinas de funciones

    Visualiza las entradas pasando a través de dos máquinas de funciones

  • activityJuego del orden

    Compara (f∘g)(f \circ g) vs (g∘f)(g \circ f) con diferentes pares de funciones

  • worksheetComposición en el mundo real

    Aplica funciones compuestas a conversiones de unidades y fórmulas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una función compuesta se crea cuando una función se aplica al resultado de otra función. Escribimos esto como (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x)), que se lee "f de g de x".
Idea clave: En f(g(x))f(g(x)), primero evaluamos g(x)g(x), luego usamos ese resultado como entrada para ff.
Si f(x)=x2 y g(x)=x+3\text{Si } f(x) = x^2 \text{ y } g(x) = x + 3
Entonces (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=(x+3)2\text{Entonces } (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2
Importante: ¡El orden importa! (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) en general.

Ejemplos resueltos

Si f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 y g(x)=x2g(x) = x^2, encuentra (f∘g)(3)(f \circ g)(3).
1

Entender la notación

(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) → Primero encontrar g(3)g(3), luego aplicar ff
2

Evaluar la función interna

g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9 → g(3)=9g(3) = 9
3

Sustituir en la función externa

f(g(3))=f(9)=2(9)+1f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 → f(9)=18+1f(9) = 18 + 1
4

Calcular el resultado final

18+1=1918 + 1 = 19 → (f∘g)(3)=19(f \circ g)(3) = 19

Errores comunes

Confundir (f∘g)(x)(f \circ g)(x) con f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Por qué está mal: La notación del círculo ∘\circ significa composición, no multiplicación. (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)), que sustituye g(x)g(x) en ff.

Correcto: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) significa aplicar gg primero, luego ff. La multiplicación f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) es una operación completamente diferente.

Confundir el orden

Por qué está mal: En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), podrías pensar que ff viene primero porque aparece primero.

Correcto: Lee de adentro hacia afuera: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) significa que gg se aplica primero, luego ff.

Asumir que (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)

Por qué está mal: A diferencia de la multiplicación, la composición generalmente NO es conmutativa.

Correcto: Siempre verifica ambos órdenes. Normalmente (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x).

Por qué es importante

Las funciones compuestas son esenciales para:
  • Modelar procesos complejos: Una conversión de temperatura de Celsius a Fahrenheit, luego a Kelvin, es una composición de dos funciones
  • Informática: Las llamadas a funciones anidadas como `print(len(str(x)))` son funciones compuestas
  • Economía: Calcular el coste total implica componer la función de coste unitario con la función de cantidad
  • Cálculo: La regla de la cadena para derivadas se basa en entender las funciones compuestas
¡Piénsalo como seguir las indicaciones del GPS: primero ir a la tienda (función gg), luego de la tienda a casa (función ff). ¡El orden importa!

Aplicaciones del mundo real

Cadenas de conversión de unidades

Convertir entre unidades de medida a menudo requiere componer varias funciones de conversión.

Ejemplo:

Para convertir millas a metros: primero convertir millas a kilómetros con g(x)=1,609xg(x) = 1,609x, luego kilómetros a metros con f(x)=1000xf(x) = 1000x. Así que (f∘g)(x)=1609x(f \circ g)(x) = 1609x metros.

1Inténtalo tú mismo

Un velocímetro europeo muestra kilómetros por hora. Necesitas convertir a metros por segundo. La función g(x)=1000xg(x) = 1000x convierte km a m. La función f(x)=x3600f(x) = \frac{x}{3600} convierte por hora a por segundo.

Si un coche viaja a 90 km/h, ¿cuál es su velocidad en m/s?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula (f∘g)(90)(f \circ g)(90):

Programación informática

Las llamadas a funciones anidadas en programación son funciones compuestas.

Ejemplo:

En Python, `len(str(n))` cuenta los dígitos de un número. Aquí g(n)=str(n)g(n) = \text{str}(n) convierte a cadena, y f(s)=len(s)f(s) = \text{len}(s) cuenta los caracteres.

2Inténtalo tú mismo

Un programa usa f(x)=x+10f(x) = x + 10 para añadir un bonus, y g(x)=2xg(x) = 2x para duplicar una puntuación. La función compuesta f(g(x))f(g(x)) primero duplica, luego añade el bonus.

Si la puntuación base de un jugador es 45, ¿cuál es la puntuación final después de aplicar (f∘g)(f \circ g)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula f(g(45))f(g(45)):

Puntos clave

  • 1Una función compuesta (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) aplica gg primero, luego ff al resultado
  • 2El orden importa: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) generalmente NO es igual a (g∘f)(x)(g \circ f)(x)
  • 3Para evaluar, trabaja de adentro hacia afuera: primero calcula la función interna
  • 4La composición es diferente de la multiplicación: f∘g≠f⋅gf \circ g \neq f \cdot g

Preguntas frecuentes

¿Cómo recuerdo qué función aplicar primero?

Piensa "de adentro hacia afuera". En f(g(x))f(g(x)), gg está adentro, así que se aplica primero. Luego ff se aplica a ese resultado. La función más cercana a xx va primero.

¿Se pueden componer dos funciones cualesquiera?

El rango (salidas) de la función interna debe estar en el dominio (entradas permitidas) de la función externa. Por ejemplo, si f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=x−10g(x) = x - 10, entonces f(g(5))f(g(5)) no está definido porque g(5)=−5g(5) = -5 y no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

¿Hay un atajo para encontrar funciones compuestas?

¡Sí! Simplemente sustituye toda la expresión de g(x)g(x) donde veas xx en f(x)f(x). Luego simplifica el resultado.

Glosario

Función compuesta
Una función formada al aplicar una función al resultado de otra, escrita (f∘g)(x)(f \circ g)(x) o f(g(x))f(g(x))
Función interna
En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la función interna gg se evalúa primero
Función externa
En (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la función externa ff se aplica al resultado de gg
Composición de funciones
La operación de combinar dos funciones donde la salida de una se convierte en la entrada de la otra

Más sobre este tema

Repaso de funciones

Avanzado25 min

Funciones inversas

Avanzado25 min