Calcular límites con tablas de valores

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Quieres estimar $\lim_{x \to 3} f(x)$ con una tabla de valores. ¿Qué valores de $x$ son la mejor elección?
1. a) $3; 3{,}1; 3{,}2; 3{,}3$
2. b) $1; 2; 4; 5$
3. c)solo $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$
4. d) $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Respuesta: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Una buena tabla se acerca a $3$ por ambos lados y cada vez más: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$ por la izquierda y $3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$ por la derecha. Valores como $1; 2; 4; 5$ están demasiado lejos, un solo lado puede pasar por alto un salto, y no se debe usar $x = 3$ .
2.
Una tabla de valores da $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Estima $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
Respuesta: 10
Por la izquierda los valores $9{,}9$ ; $9{,}99$ ; $9{,}999$ suben hacia $10$ ; por la derecha $10{,}1$ ; $10{,}01$ ; $10{,}001$ bajan hacia $10$ . Ambos lados coinciden, así que $\lim_{x \to 5} f(x) = 10$ .
3.
A la izquierda de $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . A la derecha de $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)no existe
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
Respuesta: $7$
Los valores de la izquierda $6{,}8$ ; $6{,}98$ ; $6{,}998$ y los de la derecha $7{,}2$ ; $7{,}02$ ; $7{,}002$ se acercan a $7$ . Las entradas $6{,}998$ y $7{,}002$ son solo estimaciones; el límite es $7$ .
4.
Para $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ , calcula el valor de la tabla $f(2{,}99)$ .
Respuesta: 5.99
$f(2{,}99) = \frac{8{,}9401 - 9}{2{,}99 - 3} = \frac{-0{,}0599}{-0{,}01} = 5{,}99$ . Los valores de la tabla tienden a $6$ cuando $x \to 3$ .
5.
Usa una tabla de valores para estimar $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Respuesta: 2
1. Calcula $f(0{,}9)$ . 1.9
2. Calcula $f(0{,}99)$ . 1.99
3. Calcula $f(1{,}01)$ . 2.01
4. ¿A qué número se acercan ambos lados? 2
6.
Usa una tabla de valores para estimar $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Respuesta: 8
1. Calcula $f(3{,}9)$ . 7.9
2. Calcula $f(3{,}99)$ . 7.99
3. Calcula $f(4{,}01)$ . 8.01
4. ¿A qué número se acercan ambos lados? 8
7.
Una tabla de $g(x)$ cerca de $x = 1$ muestra $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . ¿Qué puedes concluir sobre $\lim_{x \to 1} g(x)$ ?
1. a)El límite es $1{,}5$
2. b)El límite no existe
3. c)El límite es $5$
4. d)El límite es $-2$
Respuesta: El límite no existe
Por la izquierda $g(x)$ se queda en $-2$ , por la derecha en $5$ . Los límites laterales no coinciden ( $-2 \neq 5$ ), así que el límite no existe. Promediarlos ( $1{,}5$ ) no está permitido.
8.
Una tabla de $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ da $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Estima $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Respuesta: 1
Por la izquierda, $0{,}99502$ ; $0{,}99950$ suben hacia $1$ . Por la derecha, $1{,}00502$ ; $1{,}00050$ bajan hacia $1$ . Así que $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Esta función no se puede factorizar, y justo en estos casos una tabla resulta útil.
9.
Usa una tabla de valores para estimar $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , con $x$ en radianes.
Respuesta: 1
1. Calcula $f(0{,}1)$ , redondeado a cuatro decimales. 0.9983
2. Calcula $f(0{,}01)$ , redondeado a cuatro decimales. 1.0000
3. Calcula $f(-0{,}1)$ , redondeado a cuatro decimales. 0.9983
4. ¿A qué número se acercan ambos lados? 1
10.
Usa una tabla de valores para estimar $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Respuesta: 12
1. Calcula $f(1{,}9)$ . 11.41
2. Calcula $f(1{,}99)$ . 11.9401
3. Calcula $f(2{,}01)$ . 12.0601
4. ¿A qué número se acercan ambos lados? 12
11.
Para $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ una tabla da $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Estima $\lim_{x \to 0} f(x)$ como número decimal, redondeado a tres decimales.
Respuesta: 0.167
Ambos lados se acercan a unos $0{,}1667$ , que redondeado es $0{,}167$ . El álgebra lo confirma: el límite exacto es $\frac{1}{6} \approx 0{,}16667$ .
12.
Una tabla de $h(x)$ cerca de $x = 1$ muestra $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . ¿Qué afirmación describe mejor $\lim_{x \to 1} h(x)$ ?
1. a)El límite es $100$
2. b)El límite es $0$
3. c)El límite es $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ crece sin límite, así que no hay límite finito
Respuesta: $h(x)$ crece sin límite, así que no hay límite finito
Cada paso hacia $1$ hace que $h(x)$ sea $100$ veces mayor, por ambos lados. Los valores crecen sin límite, así que no hay límite finito; escribimos $\lim_{x \to 1} h(x) = \infty$ . El valor $1\,000\,000$ es solo la última entrada, no un límite.
13.
Sea $f(x) = x + 1$ para $x < 2$ y $f(x) = x^2$ para $x \geq 2$ . Usa una tabla de valores para decidir si $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe.
Respuesta: El límite no existe: por la izquierda los valores tienden a $3$ y por la derecha a $4$
1. Calcula $f(1{,}99)$ . 2.99
2. Calcula $f(2{,}01)$ . 4.0401
3. ¿A qué número se acerca el lado izquierdo? 3
4. ¿A qué número se acerca el lado derecho? 4
5. ¿Existe $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? no
14.
Una tabla de $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ da $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Estima $\lim_{x \to 0} f(x)$ , redondeado a dos decimales.
Respuesta: 2.72
Los valores más cercanos $2{,}71964$ y $2{,}71692$ encierran el límite, y ambos se redondean a $2{,}72$ . El límite exacto es el número $e \approx 2{,}71828$ .
15.
Una tabla de $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ con $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ da $0$ cada vez. Pero $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ y $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , y ambos valores de $x$ están a menos de $0{,}02$ de $0$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)El límite no existe
Respuesta: El límite no existe
Los valores elegidos $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ hacen que $\frac{\pi}{x}$ sea un múltiplo de $\pi$ , así que todos caen en ceros. Tan cerca de $0$ como se quiera hay también valores de $x$ que dan $1$ y $-1$ , así que $f(x)$ oscila sin parar y el límite no existe. La tabla sola era engañosa aquí.
16.
Usa una tabla de valores para estimar $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Respuesta: 0.25
1. Calcula $f(3{,}9)$ , redondeado a cuatro decimales. 0.2516
2. Calcula $f(3{,}99)$ , redondeado a cuatro decimales. 0.2502
3. Calcula $f(4{,}01)$ , redondeado a cuatro decimales. 0.2498
4. ¿A qué número decimal se acercan ambos lados? 0.25
17.
Usa una tabla de valores para describir $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
Respuesta: $\infty$
1. Calcula $f(-1{,}1)$ . 100
2. Calcula $f(-1{,}01)$ . 10000
3. Calcula $f(-0{,}99)$ . 10000
4. ¿Cuántas veces mayor es $f(-1{,}01)$ que $f(-1{,}1)$ ? 100
18.
Investiga $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ con valores de tabla bien elegidos ( $x$ en radianes).
Respuesta: El límite no existe: cerca de $0$ los valores oscilan sin parar entre $-1$ y $1$
1. Calcula $f(0{,}1)$ . 0
2. Calcula $f(0{,}4)$ . 1
3. Calcula $f\left(\frac{2}{7}\right)$ . -1
4. ¿Existe $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ ? no