Guía del profesor: Calcular límites con tablas de valores

Estima un límite numéricamente: construye una tabla de valores por ambos lados, acércate cada vez más y observa hacia dónde van los resultados.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Construir una tabla de valores que se acerque a un punto por ambos lados
Elegir valores de $x$ que se acerquen a $a$ de forma sistemática
Estimar un límite a partir de la tendencia de una tabla, aunque $f(a)$ no esté definida
Reconocer en una tabla cuándo un límite no existe o cuándo los resultados crecen sin límite
Explicar las limitaciones de las tablas y confirmar las estimaciones con gráficas o con álgebra

Requisitos previos

• Introducción a los límites y Notación de límites (significado de $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Cálculo de límites a partir de la gráfica
• Evaluar funciones con calculadora, también en modo radianes
• Trabajar con decimales y redondeo

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué dejamos fuera $x = a$ al construir una tabla para $\lim_{x \to a} f(x)$ ?
2. ¿Puede una tabla demostrar alguna vez que un límite es un número concreto? ¿Por qué?
3. ¿Cómo convencerías a un amigo, solo con una tabla, de que $\frac{|x|}{x}$ no tiene límite en $0$ ?
4. Los valores $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ dan todos $0$ para $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ . ¿Qué nos dice esto sobre cómo elegir los valores de la tabla?
5. ¿Cuándo podría el redondeo de un ordenador hacer que una tabla parezca incorrecta?

Conceptos erróneos comunes

El límite es el valor de la tabla más cercano a $a$

Remediación: Muestra que el valor más cercano, como $3{,}999$ , es solo una estimación. Pregunta a qué número se dirige la sucesión $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ y subraya que damos el destino, $4$ , no la última entrada.

Basta con un lado de la tabla

Remediación: Usa $\frac{|x|}{x}$ : una tabla solo por la derecha da $1$ , una solo por la izquierda da $-1$ . Solo los dos lados juntos muestran que el límite no existe.

Si todos los valores de la tabla coinciden, el límite tiene que ser ese valor

Remediación: Presenta $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ con $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ (todos $0$ ) y luego deja que el alumnado pruebe $x = 0{,}4$ y $x = \frac{2}{3}$ . Comentad por qué hace falta una gráfica o el álgebra para confirmar.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar tablas parcialmente completadas para que solo calculen algunas entradas
• Empezar con funciones con un hueco, donde el patrón ( $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ ) se ve con facilidad
• Dejar que usen la calculadora con los ejemplos propuestos antes de construir sus propias tablas

Para estudiantes de nivel:

• Construir tablas completas por ambos lados para funciones como $\frac{\sin x}{x}$ y $\frac{e^x - 1}{x}$
• Clasificar límites a partir de tablas como existe, no existe o infinito
• Comparar las estimaciones de la tabla con la gráfica de la misma función

Para estudiantes avanzados:

• Investigar $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ y encontrar valores de $x$ tan cerca de $0$ como se quiera que den $1$ , $0$ y $-1$
• Explorar el error de redondeo de la calculadora para $x - a = 10^{-10}$ y explicar qué falla
• Estimar $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ y relacionarlo con el número $e$

Alineación con estándares

AP Calculus LIM-1.D (AP.CALC.LIM-1.D)
Estimar límites de funciones, incluido a partir de tablas de valores
HSF-IF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.2)
Usar la notación de funciones y evaluar funciones para entradas de su dominio

Recursos de la lección

visualGráfica con tabla
Gráficas interactivas con un hueco, un salto y una asíntota vertical, cada una con una tabla de valores que se acerca al punto
activityRelevos cada vez más cerca
Los equipos calculan $f(x)$ para valores de $x$ diez veces más cercanos en cada ronda y predicen el límite antes del último valor
worksheetPráctica: límites con tablas
Completar tablas por ambos lados, estimar límites y clasificar cada uno como existe, no existe o infinito

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para calcular un límite con una tabla de valores, eliges valores de

x

que se acercan cada vez más a

a

por ambos lados, calculas

f(x)

para cada uno y observas a qué valor se acercan los resultados.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Cómo construir la tabla:

Por la izquierda ( $x < a$ ): por ejemplo $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
Por la derecha ( $x > a$ ): por ejemplo $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
No uses $x = a$ : el límite no depende de $f(a)$

Ejemplo:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

no está definida en

x = 2

, pero la tabla muestra hacia dónde se dirige:

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Ambos lados tienden a

4

, así que estimamos

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Tres resultados posibles:

Ambos lados tienden al mismo número $L$ : el límite es $L$
Los lados tienden a números distintos: el límite no existe
Los resultados crecen sin límite: escribimos $\infty$ (no hay límite finito)

Una tabla da una estimación, no una demostración. Es la cara numérica de la misma idea que viste en la lección Cálculo de límites a partir de la gráfica.

Ejemplos resueltos

Usa una tabla para estimar $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Comprueba el propio punto

En $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ no está definida, así que necesitamos una tabla

Acércate por la izquierda

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → Por la izquierda tiende a $4$

Acércate por la derecha

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → Por la derecha tiende a $4$

Compara ambos lados

Ambos lados se acercan al mismo valor → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , aunque $f(2)$ no existe

Errores comunes

Usar solo un lado de $a$

Por qué está mal: Una tabla con solo $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ muestra el límite por la izquierda. Por la derecha puede tender a otro valor, como con $\frac{|x|}{x}$ .

Correcto: Construye siempre las dos columnas: valores justo por debajo de $a$ y valores justo por encima de $a$ .

Elegir valores de $x$ que no están cerca de $a$

Por qué está mal: Valores como $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ están demasiado lejos. Lejos del punto, la función puede comportarse de forma muy distinta.

Correcto: Acércate diez veces más en cada paso: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

Poner $x = a$ en la tabla y tomar $f(a)$ como límite

Por qué está mal: El límite describe lo que pasa cerca de $a$ , no en $a$ . En un hueco $f(a)$ puede no estar definida, y en un punto desplazado puede ser otro número.

Correcto: Deja $x = a$ fuera de la tabla y lee solo la tendencia de los valores cercanos.

Confiar a ciegas en unos pocos valores

Por qué está mal: Elecciones especiales de $x$ pueden ocultar una oscilación, como con $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , y el redondeo puede ocultar pequeñas diferencias entre los lados.

Correcto: Usa varios valores que no sigan todos el mismo patrón, conserva suficientes decimales y confirma con una gráfica o con álgebra.

Por qué es importante

Las tablas de valores suelen ser la forma más directa y práctica de encontrar un límite:

Sin trucos algebraicos: funciones como $\frac{\sin x}{x}$ o $\frac{e^x - 1}{x}$ no se simplifican factorizando, pero una tabla encuentra su límite en segundos
Las calculadoras y los ordenadores estiman límites justo así: evalúan números cada vez más cercanos al punto
Comprobar tus cálculos: si tu álgebra dice que el límite es $4$ pero la tabla tiende a $3$ , algo ha fallado
Bases del cálculo: la velocidad instantánea y la pendiente de una curva empiezan como tablas de velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos

Saber cuándo una tabla puede engañarte (funciones que oscilan, redondeos) es tan importante como saber construirla.

Aplicaciones del mundo real

Velocidad instantánea en física

Un velocímetro muestra la velocidad en un instante. Los físicos la encuentran calculando velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos y leyendo la tendencia en la tabla.

Ejemplo:

Una pelota cae $s(t) = 5t^2$ metros en $t$ segundos. Velocidades medias a partir de $t = 2$ : en $0{,}1$ s es $20{,}5$ m/s, en $0{,}01$ s es $20{,}05$ m/s, en $0{,}001$ s es $20{,}005$ m/s.

1Inténtalo tú mismo

La velocidad media de la pelota entre $t = 2$ y $t = 2 + h$ segundos es $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

¿Cuál es la velocidad instantánea en $t = 2$ segundos, en m/s?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Haz $h$ cada vez más pequeño y observa hacia dónde va la velocidad media:

Tasas de crecimiento en biología

Un cultivo de bacterias que se duplica cada hora no crece a saltos. Su tasa de crecimiento instantánea se obtiene con una tabla de la expresión $\frac{2^h - 1}{h}$ para pasos de tiempo $h$ diminutos.

Ejemplo:

Para $h = 0{,}1$ horas la tabla da $0{,}7177$ , para $h = 0{,}01$ da $0{,}6956$ , para $h = 0{,}001$ da $0{,}6934$ : la tasa se estabiliza cerca de $0{,}693$ por hora.

2Inténtalo tú mismo

Unos biólogos estiman $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ con una tabla de valores. Usa una calculadora.

¿Cuál es el límite, redondeado a dos decimales?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la expresión para valores de $h$ cada vez más pequeños:

Procesamiento de señales y audio

El software de audio usa funciones como $\frac{\sin(2x)}{x}$ para filtrar el sonido. En $x = 0$ la fórmula da $\frac{0}{0}$, así que los programadores usan el límite obtenido con una tabla para completar el valor que falta.

Ejemplo:

Cerca de $0$ (en radianes), $\frac{\sin(2x)}{x}$ da $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ y $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$ .

3Inténtalo tú mismo

Un programador necesita el valor al que se acerca $\frac{\sin(2x)}{x}$ cuando $x \to 0$ ( $x$ en radianes).

¿Qué valor debe usar el programa en $x = 0$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Construye una tabla con $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ :

Puntos clave

1Para estimar $\lim_{x \to a} f(x)$ con una tabla, usa valores de $x$ cada vez más cercanos a $a$ por ambos lados
2Un buen patrón: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; deja fuera $x = a$
3Si ambos lados tienden al mismo número $L$ , el límite es $L$ , aunque $f(a)$ no esté definida
4Si los lados tienden a números distintos, el límite no existe
5Si los resultados crecen sin límite, no hay límite finito y escribimos $\infty$ (o $-\infty$ )
6Una tabla es una estimación: las funciones que oscilan como $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ y el redondeo pueden engañarla, así que confirma con una gráfica o con álgebra

Preguntas frecuentes

¿Cuántos valores necesito en la tabla?

Normalmente bastan tres por cada lado, como

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, para ver una tendencia clara. Si la tendencia no está clara, añade valores aún más cercanos, como

a \pm 0{,}0001

¿Por qué no sustituyo directamente $x = a$ ?

Porque el límite trata de los valores cerca de

a

, no en

a

. A menudo

f(a)

no está definida (un hueco o

\frac{0}{0}

), y a veces existe pero es distinta del límite. La tabla muestra la tendencia que

f(a)

no puede mostrar.

¿Una tabla demuestra que el límite es correcto?

No. Una tabla solo da indicios fuertes. Los resultados exactos vienen del álgebra (Límites por sustitución directa, factorización) o de las propiedades de los límites. Las tablas son excelentes para estimar y para comprobar un resultado algebraico.

¿Qué significa que mi calculadora muestre valores raros muy cerca de $a$ ?

Con diferencias extremadamente pequeñas como

x - a = 0{,}0000000001

, una calculadora puede perder cifras al restar números casi iguales. Si los valores empiezan a saltar de repente, vuelve a

a \pm 0{,}001

a \pm 0{,}0001

, donde la aritmética sigue siendo fiable.

Glosario

Tabla de valores: Una lista de entradas $x$ elegidas y sus resultados $f(x)$ , que sirve para ver una tendencia
Límite por la izquierda: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a$ con valores menores que $a$ , escrito $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Límite por la derecha: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a$ con valores mayores que $a$ , escrito $\lim_{x \to a^+} f(x)$
No existe: Los resultados no se acercan a un único número finito, por ejemplo porque los dos lados no coinciden o la función oscila
Crecer sin límite: Los resultados superan cualquier número que elijas; se escribe como un límite igual a $\infty$ (límite infinito)
Oscilación: Comportamiento en el que los resultados van y vienen sin estabilizarse, como $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ cerca de $0$

Tarjeta de fórmulas

Patrón de la tabla

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Acércate a $a$ por ambos lados, diez veces más cerca en cada paso, y nunca uses $x = a$

El límite existe

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Las dos columnas de la tabla tienden al mismo número

El límite no existe

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Las dos columnas tienden a números distintos, o los valores oscilan

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Velocidad instantánea en física

Tasas de crecimiento en biología

Procesamiento de señales y audio

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Patrón de la tabla

El límite existe

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