Límites infinitos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Halla $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $1$
4. d) $\infty$
Respuesta: $\infty$
Para $x = \pm 0{,}1$ obtenemos $\frac{1}{0{,}01} = 100$ , para $x = \pm 0{,}01$ obtenemos $10000$ . Los valores crecen sin límite a ambos lados, así que $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ .
2.
La función $f(x) = \frac{7}{x-6}$ tiene una asíntota vertical $x = a$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Respuesta: 6
$x - 6 = 0$ da $x = 6$ , y el numerador es $7 \neq 0$ . Así que la función se dispara cerca de $x = 6$ y $a = 6$ .
3.
Halla $\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5}$ .
Respuesta: $\infty$
1. ¿Cuánto vale $x - 5$ para $x = 5{,}01$ ? 0.01
2. ¿Cuánto vale $\frac{1}{x-5}$ para $x = 5{,}01$ ? 100
3. ¿Cuál es el límite por la derecha? $\infty$
4.
¿Dónde está la asíntota vertical de $f(x) = \frac{3}{x+5}$ ?
1. a) $x = 5$
2. b) $y = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -5$
Respuesta: $x = -5$
El denominador $x + 5$ vale $0$ en $x = -5$ , y el numerador $3$ nunca vale $0$ . Así que $x = -5$ es la asíntota vertical. ( $y = 0$ es una asíntota horizontal.)
5.
Para $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ , calcula $f(2{,}01)$ .
Respuesta: 10000
$(0{,}01)^2 = 0{,}0001$ y $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ . Muy cerca de $x = 2$ la función ya es enorme, señal del límite infinito que hay allí.
6.
Halla $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}$ .
Respuesta: $\infty$
1. ¿Cuánto vale $x^2$ para $x = 0{,}1$ (y también para $x = -0{,}1$ )? 0.01
2. ¿Cuánto vale $\frac{3}{x^2}$ para $x = 0{,}1$ y $x = -0{,}1$ ? 300
3. ¿Cuál es el límite? $\infty$
7.
Halla la asíntota vertical de $g(x) = \frac{x+4}{x-1}$ .
Respuesta: $x = 1$
1. ¿Para qué $x$ vale $0$ el denominador? 1
2. ¿Cuánto vale el numerador en ese $x$ ? 5
3. ¿Qué recta es la asíntota vertical? $x = 1$
8.
Halla $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d) $2$
Respuesta: $-\infty$
Para $x < 4$ el denominador $x - 4$ es un número negativo pequeño (por ejemplo $3{,}99 - 4 = -0{,}01$ ) y el numerador $2$ es positivo. Positivo entre negativo pequeño da $\frac{2}{-0{,}01} = -200$ y menos aún, así que el límite es $-\infty$ .
9.
Para $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , calcula $f(1{,}999)$ .
Respuesta: -1000
$\frac{1}{-0{,}001} = -1000$ . Justo a la izquierda de $x = 2$ los valores son grandes y negativos, como indica $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ .
10.
Halla $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1}$ .
Respuesta: $-\infty$
1. ¿A qué tiende el numerador $x + 3$ cuando $x \to 1$ ? 4
2. ¿Cuánto vale el denominador $x - 1$ para $x = 0{,}99$ ? -0.01
3. ¿Cuánto vale $\frac{x+3}{x-1}$ para $x = 0{,}99$ ? -399
4. ¿Cuál es el límite por la izquierda? $-\infty$
11.
¿Qué es cierto sobre $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ ?
1. a) $\infty$
2. b) $-\infty$
3. c)No existe
4. d) $1$
Respuesta: No existe
A la izquierda de $1$ : $\frac{1}{0{,}9 - 1} = -10$ , los valores tienden a $-\infty$ . A la derecha de $1$ : $\frac{1}{1{,}1 - 1} = 10$ , los valores tienden a $\infty$ . Los dos lados no coinciden, así que el límite no existe y no puede escribirse como $\infty$ ni como $-\infty$ .
12.
Halla los límites laterales y el límite de $f(x) = \frac{x}{x-1}$ en $x = 1$ .
Respuesta: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty,\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$
1. ¿Cuánto vale $f(0{,}9)$ ? -9
2. ¿Cuánto vale $f(1{,}1)$ ? 11
3. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? $-\infty$
4. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? $\infty$
5. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? no existe
13.
¿Cuántas asíntotas verticales tiene $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4x+3}$ ?
Respuesta: 2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , así que el denominador vale $0$ en $x = 1$ y $x = 3$ . Allí el numerador vale $2$ y $4$ , ninguno es $0$ . Hay $2$ asíntotas verticales: $x = 1$ y $x = 3$ .
14.
Halla $\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{(x+2)^2}$ .
Respuesta: $-\infty$
1. ¿A qué tiende el numerador $x - 3$ cuando $x \to -2$ ? -5
2. ¿Cuánto vale $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ para $x = -1{,}9$ ? -490
3. ¿Cuánto vale $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ para $x = -2{,}1$ ? -510
4. ¿Cuál es el límite? $-\infty$
15.
¿Qué función tiene una asíntota vertical en $x = 3$ ?
1. a) $\frac{1}{x+3}$
2. b) $\frac{x-3}{x^2-9}$
3. c) $\frac{x+3}{x-3}$
4. d) $\frac{x^2-9}{x-3}$
Respuesta: $\frac{x+3}{x-3}$
$\frac{x+3}{x-3}$ : denominador $0$ en $x = 3$ y numerador $6 \neq 0$ , así que se dispara allí. $\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}$ tiene un hueco en $x = 3$ (su asíntota es $x = -3$ ), $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$ solo tiene un hueco en $x = 3$ , y $\frac{1}{x+3}$ tiene su asíntota en $x = -3$ .
16.
La función $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ tiene exactamente una asíntota vertical $x = a$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Respuesta: -3
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$ . En $x = 1$ ambos valen $0$ : al simplificar, $\frac{x+1}{x+3} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , un hueco. En $x = -3$ el numerador vale $9 - 1 = 8 \neq 0$ , así que $a = -3$ .
17.
Analiza $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ en los ceros de su denominador.
Respuesta: $x = 3$
1. ¿Cuál es el cero menor del denominador? 2
2. ¿Cuál es el cero mayor del denominador? 3
3. En el cero menor el numerador también vale $0$ . Simplifica el factor común: ¿cuánto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? -4
4. ¿En qué $x$ está la asíntota vertical? 3
5. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ? $\infty$
18.
Halla $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+1}{4-x^2}$ .
Respuesta: $-\infty$
1. ¿A qué tiende el numerador $x^2 + 1$ cuando $x \to 2$ ? 5
2. ¿Cuánto vale el denominador $4 - x^2$ en $x = 2$ ? 0
3. ¿Cuánto vale $4 - x^2$ para $x = 2{,}01$ ? -0.0401
4. ¿Cuál es el límite por la derecha? $-\infty$