Guía del profesor: Límites infinitos

Aprende qué significa que una función crezca sin límite cerca de un punto, cómo hallar el signo analizando el denominador y cómo los límites infinitos crean asíntotas verticales.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Interpretar las notaciones $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ y $-\infty$ para límites laterales y límites en un punto
Usar el análisis de signos del numerador y del denominador para decidir si un límite es $\infty$ o $-\infty$
Decidir si un límite infinito en un punto puede escribirse como $\pm\infty$ o no existe
Hallar las asíntotas verticales de funciones racionales y distinguirlas de los huecos
Explicar por qué un límite igual a $\infty$ no es un límite que exista como número

Requisitos previos

• Las lecciones «Notación de límites» y «Límites laterales»
• Las lecciones «Calcular límites con tablas de valores» y «Límites por sustitución directa»
• Factorizar expresiones de segundo grado
• Reglas de los signos al multiplicar y dividir números negativos

Iniciadores de discusión

1. ¿Es lo mismo «el límite es infinito» que «el límite existe»? ¿Por qué?
2. ¿Por qué no podemos escribir $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ , mientras que $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ es correcto?
3. Tanto $\frac{x-2}{x-2}$ como $\frac{1}{x-2}$ tienen denominador cero en $x = 2$ . ¿Por qué solo una de ellas tiene asíntota vertical?
4. ¿Se te ocurre alguna magnitud de la vida real que crezca sin límite al acercarse a cierto valor?

Conceptos erróneos comunes

Un límite infinito significa que el límite existe y es un número muy grande

Remediación: Muestra una tabla de $\frac{1}{(x-2)^2}$ : diga el alumno la cota que diga (un millón, mil millones), encuentra un $x$ cerca de $2$ que la supere. Concluye que ningún número sirve, así que el límite no existe como número.

Cada cero del denominador da una asíntota vertical

Remediación: Dibuja $\frac{x^2-4}{x-2}$ junto a $\frac{1}{x-2}$ . La primera es la recta $y = x + 2$ con un hueco en $x = 2$ ; solo la segunda se dispara. Convierte la comprobación del numerador en un paso fijo.

Si un lado tiende a $\infty$ , el límite en el punto es $\infty$

Remediación: Usa la gráfica de $\frac{1}{x-2}$ y pide al alumnado que siga cada rama hasta $x = 2$ . Exige que escriban los dos límites laterales antes de dar el límite en el punto.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empieza con tablas de valores (1,9; 1,99; 2,01; 2,1) antes de razonar con signos
• Da una plantilla de tabla de signos con casillas para numerador, denominador y cociente
• Usa al principio solo denominadores de la forma $x - a$ y $(x - a)^2$

Para estudiantes de nivel:

• Hallar asíntotas verticales y límites laterales de funciones racionales con denominador factorizable
• Clasificar cada cero del denominador como asíntota o hueco
• Esbozar la gráfica cerca de cada asíntota a partir de los límites laterales

Para estudiantes avanzados:

• Explorar límites infinitos de funciones no racionales, como $\ln x$ cuando $x \to 0^+$ y $\tan x$ cerca de $\frac{\pi}{2}$
• Demostrar $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ con la definición: para cada $M > 0$ hallar un $\delta > 0$
• Construir una función racional con asíntotas, huecos y comportamiento lateral dados

Alineación con estándares

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Representar funciones racionales, identificando ceros y asíntotas cuando hay una factorización adecuada, y mostrando el comportamiento en los extremos
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Interpretar el comportamiento de funciones mediante límites en los que interviene el infinito

Recursos de la lección

visualGráficas de 1/(x - 2) y 1/(x - 2)²
Cambia entre las dos gráficas y compara las tablas de valores a ambos lados de la asíntota $x = 2$
activityRelevo de tablas de signos
Los equipos rellenan el signo del numerador, del denominador y del cociente a cada lado de cada cero del denominador y después esbozan la gráfica
worksheet¿Asíntota o hueco?
Diez funciones racionales: clasifica cada cero del denominador y da los límites laterales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un límite infinito describe una función cuyos valores crecen sin límite cuando

x

tiende a un número

a

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

significa: cuando

x

se acerca a

a

(por ambos lados),

f(x)

se hace mayor que cualquier número que puedas decir. Del mismo modo,

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

significa que

f(x)

se hace menor que cualquier número que puedas decir.

Las versiones laterales funcionan igual:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

solo mira

x < a

, y

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

solo mira

x > a

Importante:

\infty

no es un número. Escribir

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

te dice *cómo* el límite deja de existir como número real: los valores se disparan en dirección positiva. El límite no existe como número.

Asíntota vertical: la recta

x = a

es una asíntota vertical de

f

si al menos uno de los límites laterales en

a

\infty

-\infty

. En una función racional

\frac{p(x)}{q(x)}

esto ocurre donde

q(a) = 0

pero

p(a) \neq 0

Análisis de signos: cuando el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador tiende a

0

, el cociente crece sin límite en valor absoluto. Su signo sale de los signos de las dos partes:

positivo entre un número positivo pequeño: $\infty$
positivo entre un número negativo pequeño: $-\infty$
negativo entre un número positivo pequeño: $-\infty$
negativo entre un número negativo pequeño: $\infty$

Ejemplos resueltos

Halla $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Prueba la sustitución directa

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : el numerador es $1$ , el denominador es $0$ → No es un número: hay que mirar más de cerca

Tabla de valores por la izquierda

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → Los valores crecen sin límite

Tabla de valores por la derecha

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → Los valores crecen sin límite

Usa el signo

$(x-2)^2$ es un cuadrado, así que es positivo a ambos lados de $2$ → Los dos límites laterales son $\infty$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Ambos lados se disparan en la misma dirección, así que escribimos $\infty$ para el límite, y $x = 2$ es una asíntota vertical.

Errores comunes

Decir «el límite existe y vale $\infty$ »

Por qué está mal: $\infty$ no es un número real. Escribir $= \infty$ solo describe cómo crece la función; el límite no existe como número.

Correcto: Di « $f(x)$ crece sin límite cuando $x \to a$ » o «el límite es $\infty$ », y recuerda que un límite igual a $\infty$ no es un límite que exista.

Escribir $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Por qué está mal: Por la izquierda los valores tienden a $-\infty$ y por la derecha a $\infty$ . Solo puedes escribir $\infty$ para el límite cuando ambos lados tienden a $\infty$ .

Correcto: Da los dos límites laterales ( $-\infty$ y $\infty$ ) y di que el límite en $2$ no existe.

Pensar que cada cero del denominador es una asíntota vertical

Por qué está mal: Si el numerador también vale $0$ ahí, la expresión tiene la forma $\frac{0}{0}$ y puede simplificarse. Entonces el límite puede ser un número y la gráfica solo tiene un hueco.

Correcto: Comprueba primero el numerador: denominador $0$ y numerador distinto de $0$ significa asíntota vertical; los dos $0$ significa simplificar y volver a mirar.

Elegir el signo mirando solo el denominador

Por qué está mal: Un numerador negativo cambia el resultado: $\frac{-5}{\text{positivo pequeño}}$ tiende a $-\infty$ , no a $\infty$ .

Correcto: Halla el signo del numerador y el del denominador en el lado que estudias y combínalos como en una división.

Por qué es importante

Los límites infinitos describen situaciones en las que una magnitud se dispara al acercarse a un valor crítico:

Física: la fuerza entre dos cargas, $F = \frac{k}{r^2}$ , crece sin límite cuando la distancia $r$ tiende a $0$
Óptica: cuando un objeto se coloca cerca del foco de una lente, la imagen se aleja infinitamente
Medio ambiente: el coste o el tiempo necesario para eliminar el último tanto por ciento de un contaminante suele crecer sin límite al acercarse al 100 %
Gráficas: los límites infinitos te dicen exactamente dónde están las asíntotas verticales de una función racional y hacia dónde va la gráfica a cada lado

En cálculo usarás los límites infinitos para dibujar gráficas, describir discontinuidades y trabajar con integrales impropias.

Aplicaciones del mundo real

La fuerza eléctrica a distancias cortas

La fuerza entre dos partículas cargadas es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, así que crece sin límite cuando la distancia se reduce a cero.

Ejemplo:

Con $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (en newtons, $r$ en metros), reducir la distancia a la mitad multiplica la fuerza por cuatro, y $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Inténtalo tú mismo

Dos partículas cargadas se repelen con una fuerza de $F(r) = \frac{100}{r^2}$ newtons, donde $r$ es la distancia en metros.

¿Cuál es la fuerza, en newtons, a una distancia de $r = 0{,}1$ metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $F(0{,}1)$ :

Eliminar las últimas impurezas

Depurar agua es cada vez más difícil cuanto más te acercas a la pureza total. Los modelos del esfuerzo suelen tener una asíntota vertical en el 100 %.

Ejemplo:

Si filtrar el $p$ por ciento de las impurezas tarda $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutos, entonces $T(50) = 50$ minutos, pero $T(90) = 450$ minutos.

2Inténtalo tú mismo

Un filtro necesita $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutos para eliminar el $p$ por ciento de las impurezas de un depósito de agua.

¿A qué tiende $T(p)$ cuando $p \to 100^-$ ?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige el valor de $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Imágenes formadas por una lente

En una lente de distancia focal $f$, la distancia de la imagen es $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Cuando el objeto se acerca al foco, la imagen se aleja infinitamente.

Ejemplo:

Para $f = 10$ cm: un objeto a $d_o = 20$ cm da una imagen a $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, y $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Inténtalo tú mismo

Una lupa tiene una distancia focal de $10$ cm, así que la distancia de la imagen es $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

¿Cuál es la distancia de la imagen, en cm, cuando el objeto está a $d_o = 11$ cm?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $d_i$ para $d_o = 11$ :

Puntos clave

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ significa que $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ tiende a $a$ ; $-\infty$ significa que decrece sin límite
2 $\infty$ no es un número: un límite igual a $\infty$ o $-\infty$ no existe como número real
3Si el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador a $0$ , el límite es infinito; el análisis de signos decide entre $\infty$ y $-\infty$
4Estudia cada lado por separado: si la izquierda y la derecha van en direcciones distintas, el límite no existe y no se escribe $\infty$
5 $x = a$ es una asíntota vertical cuando al menos un límite lateral en $a$ es $\infty$ o $-\infty$
6Un cero del denominador donde el numerador también vale $0$ puede ser un hueco y no una asíntota: simplifica primero

Preguntas frecuentes

Si el límite es $\infty$ , ¿existe el límite?

No. Un límite solo existe cuando es un número real. Escribir

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

es una forma más precisa de decir «el límite no existe porque los valores crecen sin límite en dirección positiva».

¿En qué se diferencia un límite infinito de un límite en el infinito?

En un límite infinito,

x

tiende a un número y

f(x)

se dispara:

\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty

. En un límite en el infinito, es

x

quien crece sin límite:

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. El primero da asíntotas verticales; el segundo, horizontales.

¿Puede una gráfica cruzar una asíntota vertical?

No. En una asíntota vertical

x = a

los valores de la función se disparan cerca de

a

, y normalmente

f(a)

ni siquiera está definida. (Las asíntotas horizontales son distintas: una gráfica sí puede cruzarlas.)

¿Por qué una potencia par en el denominador da el mismo signo a ambos lados?

Un cuadrado (o cualquier potencia par) nunca es negativo. Cerca de

a

(x-a)^2

es un número positivo pequeño a ambos lados, así que el signo del cociente depende solo del numerador.

Glosario

Límite infinito: Un límite en el que $f(x)$ crece (o decrece) sin límite cuando $x \to a$ ; se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ o $-\infty$
Asíntota vertical: Una recta vertical $x = a$ a la que se acerca la gráfica mientras sus valores tienden a $\infty$ o $-\infty$ al menos por un lado
Análisis de signos: Averiguar si el numerador y el denominador son positivos o negativos cerca de $a$ para decidir entre $\infty$ y $-\infty$
Crece sin límite: Se hace mayor que cualquier número que puedas decir; eso es lo que significa $\to \infty$
No existe: El límite no es un número real, por ejemplo porque los valores se disparan o porque los dos lados no coinciden

Tarjeta de fórmulas

Criterio de límite infinito

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ si } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Numerador distinto de cero sobre un denominador que tiende a $0$: cada límite lateral es $\infty$ o $-\infty$, según los signos; el límite en $a$ solo es $\pm\infty$ si los dos lados coinciden

Potencia impar

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

Los dos lados van en direcciones opuestas, así que el límite en $a$ no existe

Potencia par

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Un cuadrado es positivo a ambos lados, así que los dos lados tienden a $\infty$

Asíntota vertical

x = a \text{ si } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ o } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ es } \pm\infty

Basta con un límite lateral infinito

Más sobre este tema

Guía del profesor: Límites infinitos

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

La fuerza eléctrica a distancias cortas

Eliminar las últimas impurezas

Imágenes formadas por una lente

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Criterio de límite infinito

Potencia impar

Potencia par

Asíntota vertical

Más sobre este tema

Introducción a los límites

Notación de límites

Cálculo de límites a partir de la gráfica

Calcular límites con tablas de valores