Continuidad

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál de estas NO es una de las tres condiciones para que $f$ sea continua en $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
2. b) $f(a)$ está definida
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ es continua en todo $\mathbb{R}$ . Halla $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
3.
¿Dónde NO es continua $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ ?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Es continua en todas partes
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definida en $x = 1$ . ¿Qué valor hay que dar a $g(1)$ para que $g$ sea continua en $x = 1$ ?
5.
Comprueba si $f(x) = x^2 + 2x$ es continua en $x = 3$ .
6.
¿Es $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ continua en $x = 1$ ?
7.
¿Qué función es continua para TODOS los números reales?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
8.
Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ sea continua en $x = 2$ .
9.
Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
10.
Sea $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ para $x \neq 2$ y $h(2) = 3$ . ¿Es $h$ continua en $x = 2$ ?
11.
¿Dónde es continua $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ ?
1. a)Todos los reales salvo $x = -3$
2. b)Todos los reales salvo $x = 3$ y $x = -3$
3. c)Todos los reales
4. d)Todos los reales salvo $x = 3$
12.
¿En cuántos valores de $x$ no es continua $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ ?
13.
Usa el teorema del valor intermedio para decidir si $f(x) = x^3 - 2x - 5$ tiene una raíz en $[2, 3]$ .
14.
Halla $a$ para que $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
15.
Halla $a$ y $b$ para que $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$ , pero $f(x) = 0$ no tiene solución. ¿Por qué no se puede aplicar el teorema del valor intermedio en $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ y $f(1)$ tienen el mismo signo
2. b)El teorema solo vale para polinomios
3. c) $f$ no es continua en $[-1, 1]$ : no está definida en $x = 0$
4. d) $0$ no está entre $-1$ y $1$
17.
Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ para $x \neq 4$ y $f(4) = k$ . Halla $k$ para que $f$ sea continua en $x = 4$ .
18.
¿Cuántas raíces de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $[0, 2]$ garantiza el teorema del valor intermedio usando los puntos $x = 0$ , $1$ , $2$ ?