Límites en el infinito

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^3}$ .
1. a)no hay límite finito
2. b) $3$
3. c) $7$
4. d) $0$
Respuesta: $0$
Cuando $x$ crece sin límite, $x^3$ también crece sin límite, así que $\frac{7}{x^3}$ se acerca cada vez más a $0$ . El límite es $0$ .
2.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{x^2 - 4}$ .
Respuesta: 5
Las dos partes tienen grado $2$ , así que el límite es el cociente de los coeficientes principales: $\frac{5}{1} = 5$ .
3.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ .
Respuesta: 4
1. ¿Cuánto vale $\frac{1}{x}$ para $x = 1000$ ? Escríbelo como número decimal. 0.001
2. ¿A qué tiende $\frac{1}{x}$ cuando $x \to \infty$ ? 0
3. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x}\right)$ ? 4
4.
¿Cuál es la asíntota horizontal de $y = \frac{8x + 1}{2x - 3}$ ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = 8$
4. d) $y = -3$
Respuesta: $y = 4$
Los grados son iguales, así que la asíntota está en el cociente de los coeficientes principales: $y = \frac{8}{2} = 4$ .
5.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(6 - 2e^{-x}\right)$ .
Respuesta: 6
$e^{-x} \to 0$ , así que $2e^{-x} \to 0$ y $6 - 2e^{-x} \to 6 - 0 = 6$ .
6.
Calcula $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x - 5}$ .
Respuesta: 2
1. ¿Cuál es el grado del numerador? 1
2. ¿Cuál es el grado del denominador? 1
3. Los grados son iguales. ¿Cuánto vale el límite $\frac{2}{1}$ ? 2
7.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 2}$ . Escribe el resultado como fracción.
Respuesta: 3/5
Al dividir entre $x^2$ se obtiene $\frac{3 - \frac{1}{x}}{5 + \frac{2}{x^2}} \to \frac{3}{5}$ .
8.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^3 - 2x}$ ?
1. a) $0$
2. b)no hay límite finito, los valores crecen sin límite
3. c) $4$
4. d) $1$
Respuesta: no hay límite finito, los valores crecen sin límite
El numerador tiene grado $4$ y el denominador grado $3$ . Al dividir entre $x^3$ queda $\frac{x + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2}}$ , que crece como $x$ , así que no hay límite finito.
9.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 3x}{5x^2 - 7}$ dividiendo entre la mayor potencia de $x$ .
Respuesta: 2
1. La mayor potencia de $x$ en el denominador es $x^n$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 2
2. Después de dividir entre $x^2$ , el numerador es $10 + \frac{3}{x}$ . ¿A qué tiende? 10
3. Ahora el denominador es $5 - \frac{7}{x^2}$ . ¿A qué tiende? 5
4. ¿Cuál es el límite? 2
10.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 9}{x^2 + 1}$ .
Respuesta: 0
Grado $1$ arriba, grado $2$ abajo. Al dividir entre $x^2$ queda $\frac{\frac{4}{x} + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to \frac{0}{1} = 0$ .
11.
La gráfica de $f(x) = \frac{12x^3 - 5}{4x^3 + x^2}$ tiene la asíntota horizontal $y = L$ . Halla $L$ .
Respuesta: 3
1. ¿Cuál es el grado del numerador? 3
2. ¿Cuál es el grado del denominador? 3
3. ¿Cuál es el coeficiente principal del numerador? 12
4. ¿Cuál es el coeficiente principal del denominador? 4
5. ¿Cuánto vale $L$ ? 3
12.
¿Qué función tiene la asíntota horizontal $y = 0$ ?
1. a) $y = 5 + e^{-x}$
2. b) $y = \frac{2x^2 + 1}{x^2}$
3. c) $y = \frac{x^3}{x + 1}$
4. d) $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
Respuesta: $y = \frac{x + 4}{x^2 - 9}$
En $\frac{x + 4}{x^2 - 9}$ el numerador tiene grado $1$ y el denominador grado $2$ , así que el límite es $0$ . Las otras tienden a $2$ , crecen sin límite o tienden a $5$ .
13.
Calcula $\lim_{x \to -\infty} \frac{3 - 6x^3}{2x^3 + x}$ .
Respuesta: -3
1. ¿Cuál es el coeficiente principal del numerador $3 - 6x^3$ ? -6
2. ¿Cuál es el coeficiente principal del denominador $2x^3 + x$ ? 2
3. Los dos grados son 3. ¿Cuál es el límite? -3
14.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x + 3)^2}{x^2 + 1}$ .
Respuesta: 4
1. Al desarrollar, $(2x + 3)^2 = ax^2 + 12x + 9$ . ¿Cuánto vale $a$ ? 4
2. ¿Cuál es el grado del numerador? 2
3. Los grados son iguales. ¿Cuál es el límite? 4
15.
¿Qué ocurre con $\frac{5x^2 + 1}{3 - 2x}$ cuando $x \to -\infty$ ?
1. a)decrece sin límite ( $-\infty$ )
2. b) $0$
3. c) $-\frac{5}{2}$
4. d)crece sin límite ( $+\infty$ )
Respuesta: crece sin límite ( $+\infty$ )
Grado $2$ arriba, grado $1$ abajo: no hay límite finito. Para $x$ muy negativo el numerador es positivo y $3 - 2x$ también, así que la fracción crece sin límite: en $x = -1000$ vale unos $4985$ .
16.
El coste medio por unidad de una empresa es $C(x) = \frac{2000 + 8x}{x}$ dólares para $x$ unidades. ¿A qué tiende el coste medio cuando $x$ crece sin límite?
Respuesta: 8
1. ¿Cuánto vale $C(500)$ ? 12
2. Escribe $C(x) = \frac{2000}{x} + 8$ . ¿A qué tiende $\frac{2000}{x}$ ? 0
3. ¿Cuál es el límite de $C(x)$ ? 8
17.
¿Para qué valor de $k$ tiene la gráfica de $y = \frac{kx^2 + 1}{4x^2 - 3}$ la asíntota horizontal $y = 5$ ?
Respuesta: 20
Grados iguales, así que la asíntota es $y = \frac{k}{4}$ . De $\frac{k}{4} = 5$ se obtiene $k = 20$ .
18.
Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{6 + 2e^{-x}}{3 - e^{-x}}$ .
Respuesta: 2
1. ¿A qué tiende $e^{-x}$ cuando $x \to \infty$ ? 0
2. ¿A qué tiende el numerador $6 + 2e^{-x}$ ? 6
3. ¿A qué tiende el denominador $3 - e^{-x}$ ? 3
4. ¿Cuál es el límite? 2