Guía del profesor: Límites en el infinito

Descubre a qué valor tiende una función cuando x crece sin límite, compara los grados de las funciones racionales y relaciona los límites en el infinito con las asíntotas horizontales.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar qué significan $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$
Usar $\frac{1}{x^n} \to 0$ y $e^{-x} \to 0$ para calcular límites en el infinito sencillos
Calcular límites de funciones racionales dividiendo entre la mayor potencia de $x$
Predecir el límite de una función racional comparando los grados del numerador y del denominador
Relacionar un límite finito en el infinito con una asíntota horizontal de la gráfica

Requisitos previos

• Introducción a los límites y Notación de límites (saber leer $x \to \infty$ )
• Límites por sustitución directa
• Grado y coeficiente principal de un polinomio
• Simplificar fracciones y operar con potencias de $x$
• Propiedades básicas de la función exponencial $e^x$

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ pero nunca lo alcanza? ¿Cómo se ve eso en la gráfica?
2. Si el numerador y el denominador crecen sin límite, ¿cómo puede la fracción tender a un número fijo?
3. ¿Se te ocurre alguna magnitud de la vida diaria que se estabilice en un valor fijo a largo plazo?
4. ¿Por qué una gráfica puede cortar una asíntota horizontal pero no una vertical?
5. ¿Cómo le explicarías a un amigo por qué, para $x$ muy grande, solo importan los términos principales?

Conceptos erróneos comunes

$\frac{\infty}{\infty} = 1$ y $\infty - \infty = 0$

Remediación: Muestra tres fracciones cuyas partes crecen sin límite pero que tienen límites $0$ , $3$ y ninguno. Haz una tabla de valores en $x = 10, 100, 1000$ para que los alumnos vean las distintas velocidades de crecimiento.

El coeficiente principal es el primer número que aparece escrito

Remediación: Pide que reescriban cada polinomio ordenado de mayor a menor potencia antes de comparar, por ejemplo $2 - 8x^3 = -8x^3 + 2$ .

Una asíntota horizontal es una recta que la gráfica nunca toca

Remediación: Representa $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ y señala dónde corta a $y = 0$ . Insiste en que la asíntota solo trata de los extremos de la gráfica.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con tablas de valores en $x = 10, 100, 1000$ antes de cualquier cálculo algebraico
• Usar al principio solo funciones con grados iguales y coeficientes positivos
• Dar una tarjeta con las tres reglas de los grados para tenerla junto al trabajo

Para estudiantes de nivel:

• Practicar la división entre la mayor potencia en los tres casos de grados
• Incluir límites en $-\infty$ y coeficientes principales negativos
• Emparejar funciones racionales con sus gráficas usando sus asíntotas horizontales

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la asíntota oblicua cuando el grado del numerador es uno más, mediante la división de polinomios
• Investigar $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x + 2}$ y compararlo con $x \to -\infty$
• Diseñar una función racional con una asíntota horizontal dada y un cero dado

Alineación con estándares

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Representar funciones racionales identificando ceros y asíntotas, y mostrando el comportamiento en el infinito
HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpretar las características clave de las gráficas y tablas de una función, incluido el comportamiento en el infinito
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Interpretar el comportamiento de las funciones mediante límites que involucran el infinito

Recursos de la lección

visualDeslizador de asíntota
Mueve el coeficiente principal $a$ en $\frac{ax^2 + 1}{x^2 + 3}$ y observa cómo la asíntota horizontal $y = a$ lo sigue
activityCarrera de grados
Los alumnos calculan el numerador y el denominador en $x = 10, 100, 1000$ para ver qué parte crece más rápido
worksheetClasificar los tres casos
Clasificar 12 funciones racionales en límite 0, cociente de coeficientes principales o sin límite finito

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un límite en el infinito describe qué ocurre con

f(x)

cuando

x

crece sin límite (o decrece sin límite).

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

significa: cuando

x

toma valores cada vez mayores (

10, 100, 1000, \ldots

), los valores

f(x)

se acercan a

L

tanto como queramos. Del mismo modo,

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

mira los valores

x = -10, -100, -1000, \ldots

Cuando existe un límite finito así, la recta

y = L

es una asíntota horizontal de la gráfica.

La pieza básica: para cualquier exponente positivo

n

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0

Un número fijo dividido entre un número enorme es diminuto. Además,

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

, porque

e^{-x} = \frac{1}{e^x}

Funciones racionales: compara el grado del numerador (

n

) con el grado del denominador (

m

$n < m$ : el límite es $0$ (asíntota $y = 0$ )
$n = m$ : el límite es el cociente de los coeficientes principales
$n > m$ : no hay límite finito (no hay asíntota horizontal)

Por qué funciona: divide cada término entre la mayor potencia de

x

del denominador. Cada término de la forma

\frac{c}{x^k}

tiende a

0

y solo quedan los términos principales. Por ejemplo,

\frac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \to \frac{2}{1} = 2

Ejemplos resueltos

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$ .

Prueba algunos valores grandes de x

$x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ → Los valores se acercan a $3$

Usa la regla básica

$\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ y $\frac{1}{x^2} \to 0$ → $\frac{5}{x^2} \to 0$

Suma los límites

$3 + 0$ → $3$

Respuesta: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$ , así que $y = 3$ es una asíntota horizontal.

Errores comunes

Sustituir el infinito: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Por qué está mal: $\infty$ no es un número, así que no puedes sustituirlo ni simplificarlo. El numerador y el denominador pueden crecer a velocidades muy distintas: es una indeterminación.

Correcto: Divide primero entre la mayor potencia de $x$ . Para $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ el límite es $3$ , no $1$ .

Usar el primer coeficiente escrito en lugar del principal: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Por qué está mal: El coeficiente principal pertenece al término de mayor potencia, esté donde esté en la expresión.

Correcto: El término principal de $2 - 8x^3$ es $-8x^3$ , así que el límite es $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ .

Intercambiar las reglas: "grado menor arriba significa que no hay límite"

Por qué está mal: Cuando el denominador tiene el grado mayor, crece mucho más rápido y empuja la fracción hacia $0$ .

Correcto: Grado menor arriba: límite $0$ . Grado mayor arriba: no hay límite finito. Grados iguales: cociente de los coeficientes principales.

Creer que una gráfica nunca puede cortar su asíntota horizontal

Por qué está mal: Una asíntota horizontal solo describe la gráfica muy a la izquierda y muy a la derecha. En el centro la curva puede cortarla.

Correcto: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ tiene la asíntota $y = 0$ y aun así la corta en $x = -\frac{1}{3}$ .

Por qué es importante

Los límites en el infinito responden a la pregunta "¿qué pasa a largo plazo?":

Ciencias: un café caliente se enfría hacia la temperatura de la habitación; el límite de su modelo de temperatura es esa temperatura ambiente
Economía: el coste medio por unidad baja hacia el coste del material cuando la producción crece, porque los costes fijos se reparten entre muchas unidades
Medicina y química: las concentraciones en un tanque de mezcla o en la sangre se estabilizan en un nivel fijo
Representar gráficas: las asíntotas horizontales muestran de un vistazo el comportamiento en el infinito de las funciones racionales
Cálculo: las integrales impropias, las series y muchos modelos de la física se basan en límites en el infinito

Esta lección se apoya en las lecciones «Introducción a los límites» y «Notación de límites»: allí conociste el símbolo

x \to \infty

, aquí aprendes a calcular estos límites de forma rápida y segura.

Aplicaciones del mundo real

Un café que se enfría

La ley de enfriamiento de Newton dice que una bebida caliente se enfría hacia la temperatura de la habitación. La temperatura a largo plazo es un límite en el infinito.

Ejemplo:

Una taza de té sigue $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (grados Celsius, $t$ en minutos). Como $e^{-0{,}05t} \to 0$ , el té se acerca a $22°C$ .

1Inténtalo tú mismo

Un café recién hecho tiene la temperatura $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$ grados Celsius después de $t$ minutos.

¿A qué temperatura se acerca el café a largo plazo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{t \to \infty} T(t)$ :

Coste medio en un taller

Los costes fijos (alquiler, máquinas) se reparten entre todas las unidades producidas. Cuantas más unidades, menor es la parte de cada una, así que el coste medio se acerca al coste del material por unidad.

Ejemplo:

Una pastelería con 300 dólares de costes fijos diarios y 2 dólares de ingredientes por tarta tiene un coste medio $\frac{300 + 2x}{x}$ , que se acerca a 2 dólares por tarta.

2Inténtalo tú mismo

Un taller de cerámica tiene unos costes fijos de 5000 dólares, y cada taza cuesta 12 dólares en arcilla y esmalte. El coste medio de $x$ tazas es $C(x) = \frac{5000 + 12x}{x}$ dólares.

¿A qué tiende el coste medio por taza cuando el número de tazas crece sin límite?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{x \to \infty} C(x)$ en dólares:

Concentración de sal en un tanque

Los ingenieros químicos modelan cómo cambia una mezcla con el tiempo. Cuando entra agua salada sin parar en un tanque, la concentración se estabiliza en un valor fijo.

Ejemplo:

Si la sal de un tanque crece como $50t$ gramos y el volumen es $100 + 2t$ litros, la concentración $\frac{50t}{100 + 2t}$ tiende a $\frac{50}{2} = 25$ gramos por litro.

3Inténtalo tú mismo

Un tanque contiene 200 litros de agua pura. Entra agua salada con 30 gramos de sal por litro a 4 litros por minuto (y no sale nada). Después de $t$ minutos la concentración es $C(t) = \frac{120t}{200 + 4t}$ gramos por litro.

¿A qué concentración se acerca el tanque a largo plazo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\lim_{t \to \infty} C(t)$ en gramos por litro:

Puntos clave

1 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ tanto como queramos cuando $x$ crece sin límite; $x \to -\infty$ funciona igual hacia la izquierda
2Hechos básicos: $\frac{1}{x^n} \to 0$ para cualquier $n$ positivo cuando $x \to \pm\infty$ , y $e^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$
3Para hallar el límite de una función racional, divide cada término entre la mayor potencia de $x$ del denominador
4Grado menor arriba: límite $0$ . Grados iguales: cociente de los coeficientes principales. Grado mayor arriba: no hay límite finito
5Un límite finito $L$ en el infinito significa que $y = L$ es una asíntota horizontal; aun así la gráfica puede cortarla en el centro
6Nunca sustituyas $\infty$ : expresiones como $\frac{\infty}{\infty}$ son indeterminaciones

Preguntas frecuentes

¿Puedo sustituir simplemente un número muy grande en lugar de calcular el límite?

Un número grande como

x = 1000

es una buena comprobación y muestra la tendencia, pero no es una demostración. El cálculo (dividir entre la mayor potencia) te da el valor exacto, por ejemplo exactamente

3

en lugar de

2{,}9992

¿Son siempre iguales los límites en $\infty$ y en $-\infty$ ?

En las funciones racionales con límite finito, sí: los dos extremos dan la misma asíntota horizontal. Otras funciones pueden ser distintas. Por ejemplo,

e^{-x} \to 0

cuando

x \to \infty

, pero

e^{-x}

crece sin límite cuando

x \to -\infty

¿Puede una gráfica cortar su asíntota horizontal?

Sí. La asíntota solo describe el comportamiento muy a la izquierda o muy a la derecha. La gráfica de

\frac{3x + 1}{x^2 + 1}

corta

y = 0

x = -\frac{1}{3}

y después se vuelve a acercar a ella.

¿Qué pasa si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador?

Esto es una ampliación que va más allá de esta lección. En ese caso no hay asíntota horizontal, pero la gráfica se acerca a una recta inclinada (una asíntota oblicua). Para

\frac{x^3}{x^2 + 1}

esa recta es

y = x

. Se encuentra con la división de polinomios.

Glosario

Límite en el infinito: El valor $L$ al que tiende $f(x)$ cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$ , escrito $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
Asíntota horizontal: Una recta horizontal $y = L$ a la que se acerca la gráfica muy a la izquierda o muy a la derecha, donde $L$ es un límite en el infinito
Grado: La mayor potencia de $x$ en un polinomio, por ejemplo $3$ en $4x^3 - x$
Término principal: El término con la mayor potencia de $x$ ; su número es el coeficiente principal (en $2 - 8x^3$ el término principal es $-8x^3$ )
Comportamiento en el infinito: Cómo se comportan los valores de una función cuando $x$ crece sin límite en cualquiera de las dos direcciones

Tarjeta de fórmulas

Inversos de potencias

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Un número fijo dividido entre una potencia cada vez mayor se acerca a cero

Decaimiento exponencial

\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0

Porque $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ y $e^x$ crece sin límite

Grado menor arriba

n < m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = 0

Asíntota horizontal $y = 0$

Grados iguales

n = m: \ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \frac{a_n}{b_m}

Asíntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales

Grado mayor arriba

n > m: \ \text{no hay límite finito}

Los valores crecen sin límite en valor absoluto, no hay asíntota horizontal

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Un café que se enfría

Coste medio en un taller

Concentración de sal en un tanque

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Inversos de potencias

Decaimiento exponencial

Grado menor arriba

Grados iguales

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