Límites laterales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué significa $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ se acerca a $3$ con valores menores que $3$
2. b) $x$ se acerca a $3$ con valores mayores que $3$
3. c) $x$ vale exactamente $3$
4. d) $x$ toma el valor $-3$
Respuesta: $x$ se acerca a $3$ con valores menores que $3$
$x \to 3^-$ significa que $x$ se acerca a $3$ por la izquierda: $2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... Estos valores son menores que $3$ , y $x$ nunca es igual a $3$ .
2.
Sea $f(x) = x + 1$ para $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ para $x \ge 1$ . Calcula $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
Respuesta: 2
Para $x < 1$ la función es $x + 1$ , que se acerca a $1 + 1 = 2$ . Así que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ .
3.
Sea $f(x) = x + 1$ para $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ para $x \ge 1$ . Calcula $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
Respuesta: 4
Para $x > 1$ la función es $x + 3$ , que se acerca a $1 + 3 = 4$ . Así que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ .
4.
Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
Respuesta: 1
Para $x$ positivo, $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ . A la derecha de $0$ la función vale siempre $1$ , así que el límite por la derecha es $1$ .
5.
Sea $f(x) = x + 1$ para $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ para $x \ge 1$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)no existe
4. d)6
Respuesta: no existe
El límite por la izquierda es $2$ y el límite por la derecha es $4$ . Como $2 \neq 4$ , el límite no existe. El valor $f(1) = 4$ no cambia esto.
6.
Sea $f(x) = 2x$ para $x < 2$ y $f(x) = x + 6$ para $x \ge 2$ . ¿Cuánto mide el salto en $x = 2$ (límite por la derecha menos límite por la izquierda)?
Respuesta: 4
1. Calcula $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 4
2. Calcula $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 8
3. Límite por la derecha menos límite por la izquierda: 4
7.
Supón que $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ y $f(4) = 1$ . ¿Qué afirmación es verdadera?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ no existe
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
Respuesta: $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
Los dos límites laterales valen $5$ , así que $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$ . El punto $f(4) = 1$ está fuera de la curva y no cambia el límite.
8.
Sea $g(x) = x^2 + 1$ para $x < 3$ y $g(x) = 2x + 5$ para $x \ge 3$ . Calcula $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
Respuesta: 10
Para $x < 3$ , $g(x) = x^2 + 1 \to 3^2 + 1 = 10$ . (Por la derecha $2x + 5 \to 11$ , así que el límite en $3$ no existe.)
9.
Sea $h(x) = x^2 - 1$ para $x < 3$ , $h(3) = 0$ y $h(x) = 2x + 2$ para $x > 3$ . Calcula $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
Respuesta: 8
1. Calcula $\lim_{x \to 3^-} h(x)$ 8
2. Calcula $\lim_{x \to 3^+} h(x)$ 8
3. Los dos lados coinciden. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} h(x)$ ? 8
10.
¿Existe $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ ?
Respuesta: El límite no existe: por la izquierda $-1$ , por la derecha $1$ .
1. Calcula $\lim_{x \to 5^+} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ 1
2. Calcula $\lim_{x \to 5^-} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ -1
3. ¿Existe el límite por ambos lados? no
11.
¿En qué función son iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha en $x = 0$ ?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
Respuesta: $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
$\frac{x^2}{|x|} = |x|$ , que se acerca a $0$ por ambos lados. Las demás saltan: $\frac{|x|}{x}$ da $-1$ y $1$ , $\frac{x}{|x|} + 1$ da $0$ y $2$ , $\frac{2|x|}{x}$ da $-2$ y $2$ .
12.
Sea $p(x) = 4 - x$ para $x \le 2$ y $p(x) = x^2 + 1$ para $x > 2$ . ¿Cuánto mide el salto en $x = 2$ (límite por la derecha menos límite por la izquierda)?
Respuesta: 3
1. Calcula $\lim_{x \to 2^-} p(x)$ 2
2. Calcula $\lim_{x \to 2^+} p(x)$ 5
3. ¿Cuánto vale $p(2)$ ? 2
4. Límite por la derecha menos límite por la izquierda: 3
13.
Sea $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ para $x < 1$ y $f(x) = 3x - 1$ para $x \ge 1$ . Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Respuesta: 2
1. Para $x < 1$ : $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + \square$ . ¿Qué va en el recuadro? 1
2. Calcula $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2
3. Calcula $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 2
4. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 2
14.
Sea $f(x) = kx + 1$ para $x < 2$ y $f(x) = x^2 + 3$ para $x \ge 2$ . Halla $k$ para que exista $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Respuesta: 3
1. Calcula $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 7
2. El límite por la izquierda es $2k + 1$ . De $2k + 1 = 7$ , ¿cuánto vale $2k$ ? 6
3. ¿Cuánto vale $k$ ? 3
15.
¿Existe $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ ?
Respuesta: El límite no existe: por la izquierda $-6$ , por la derecha $6$ .
1. Calcula $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ 6
2. Calcula $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ -6
3. ¿Existe el límite por ambos lados? no
16.
Sea $f(x) = cx$ para $x < 2$ y $f(x) = x^2 + c$ para $x \ge 2$ . ¿Para qué valor de $c$ existe $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
Respuesta: 4
Límite por la izquierda: $2c$ . Límite por la derecha: $2^2 + c = 4 + c$ . De $2c = 4 + c$ sale $c = 4$ . Comprobación: izquierda $8$ , derecha $8$ .
17.
Calcula $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
Respuesta: -8
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ . Para $x < 4$ , $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) \to -8$ .
18.
Sea $f(x) = x^2$ para $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ para $1 \le x < 3$ y $f(x) = 10 - x$ para $x \ge 3$ . Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$ y después el salto en $x = 3$ (límite por la derecha menos límite por la izquierda).
Respuesta: 2
1. Calcula $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 1
2. Calcula $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 1
3. Los dos lados coinciden. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 1
4. Calcula $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 5
5. Calcula $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ 7
6. Límite por la derecha menos límite por la izquierda en $x = 3$ : 2