Guía del profesor: Límites laterales

Aprende a calcular el límite por la izquierda y por la derecha a partir de gráficas y funciones definidas a trozos, y a decidir cuándo existe un límite.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Traducir $x \to a^-$ y $x \to a^+$ en valores concretos de $x$ del lado correcto de $a$ (como $2{,}99$ y $3{,}01$ para $a = 3$ )
Leer el límite por la izquierda y por la derecha en una gráfica con círculos vacíos y puntos rellenos
Calcular límites laterales de funciones definidas a trozos y de expresiones con valor absoluto
Decidir si existe un límite comparando los límites laterales
Hallar una constante que iguale los límites laterales de una función definida a trozos

Requisitos previos

• Introducción a los límites y Notación de límites (el significado de $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Cálculo de límites a partir de la gráfica y Calcular límites con tablas de valores
• Límites por sustitución directa
• Funciones definidas a trozos y valor absoluto

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué una función puede tener un valor en $x = a$ pero no tener límite allí?
2. Una tarifa de aparcamiento salta en cada hora completa. ¿Qué le dicen a una conductora el límite por la izquierda y el límite por la derecha?
3. ¿Puedes dibujar una gráfica en la que los dos límites laterales en $x = 2$ valgan $3$ , pero $f(2) = 5$ ?
4. ¿Por qué hace falta la palabra "y" en la regla: el límite existe si los dos límites laterales existen y son iguales?

Conceptos erróneos comunes

El límite es la coordenada $y$ del punto relleno

Remediación: Muestra el ejemplo 3: la gráfica se acerca a $4$ por ambos lados mientras que $g(2) = 7$ . Pide que tapen el punto $x = a$ con un dedo y pregunta hacia qué altura va cada lado.

$a^-$ significa un número negativo

Remediación: Escribe en la pizarra $3^- \to 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ y $3^+ \to 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ . Señala que $3^-$ sigue estando cerca de $+3$ .

Si existen los dos límites laterales, existe el límite

Remediación: Usa $\frac{|x|}{x}$ : existen los dos límites laterales ( $-1$ y $1$ ) y aun así no hay un único valor. Insiste en que los dos números también deben ser iguales.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con funciones escalonadas cuyos trozos sean horizontales, para leer directamente cada límite lateral
• Usar tablas de valores con $x = 0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$ y $1{,}1$ ; $1{,}01$ ; $1{,}001$ junto a la gráfica
• Colorear el trozo izquierdo y el derecho con colores distintos

Para estudiantes de nivel:

• Calcular límites laterales de funciones a trozos dadas solo con fórmulas
• Simplificar $\frac{|x - a|}{x - a}$ y expresiones parecidas a cada lado
• Explicar con palabras por qué un límite existe o no existe

Para estudiantes avanzados:

• Hallar constantes para que una función a trozos tenga límite en el punto de unión
• Estudiar funciones con tres trozos y dos puntos de unión
• Avance: comparar $\lim_{x \to 0^-}$ y $\lim_{x \to 0^+}$ de $\frac{|x|}{x}$ con las pendientes de $|x|$ a cada lado

Alineación con estándares

AP Calculus LIM-1.A (AP.CALC.LIM-1.A)
Representar límites con la notación correcta, incluidos los límites laterales
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Estimar límites de funciones a partir de gráficas y tablas, incluidos los límites laterales
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Representar gráficamente funciones definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas y las de valor absoluto

Recursos de la lección

visualGráfica con deslizador de salto
Mueve el deslizador $b$ para desplazar el trozo derecho; el panel de límites muestra cuándo se juntan los dos lados
activity¿Izquierda o derecha?
El alumnado clasifica tarjetas con valores de $x$ como $2{,}99$ y $3{,}01$ en los grupos $x \to 3^-$ y $x \to 3^+$
worksheetPráctica de límites a trozos
Calcular límites por la izquierda, por la derecha y en $a$ de funciones a trozos y con valor absoluto

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un límite lateral estudia una función desde un solo lado de un punto.

El límite por la izquierda $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ significa: cuando $x$ se acerca a $a$ con valores menores que $a$ (por ejemplo $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ para $a = 2$ ), $f(x)$ se acerca a $L$ .
El límite por la derecha $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ significa: cuando $x$ se acerca a $a$ con valores mayores que $a$ (por ejemplo $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), $f(x)$ se acerca a $M$ .

Ya conoces esta notación de la lección Notación de límites: el pequeño signo indica el lado y no forma parte del número, así que

3^-

no es

-3

. En esta lección calculas estos límites y los usas para decidir si existe

\lim_{x \to a} f(x)

La regla clave relaciona los límites laterales con el límite (por ambos lados):

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ y } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Si los dos límites laterales son distintos, el límite en

a

no existe. El valor

f(a)

nunca influye en estos límites: la función puede no estar definida en

a

o tener allí un valor completamente distinto.

Ejemplos resueltos

La gráfica de $f$ muestra la recta $y = x + 1$ para $x < 1$ (círculo vacío en $(1, 2)$ ) y la recta $y = x + 3$ para $x \ge 1$ (punto relleno en $(1, 4)$ ). Calcula $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ y $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Sigue la gráfica desde la izquierda

Recorre la parte izquierda hacia $x = 1$ : las alturas se acercan al círculo vacío en $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Sigue la gráfica desde la derecha

Recorre la parte derecha hacia $x = 1$ : las alturas se acercan a $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Compara los dos lados

$2 \neq 4$ , así que la gráfica salta en $x = 1$ → Los límites laterales son distintos

Decide sobre el límite en $1$

Límites laterales distintos significan que no hay un único valor al que se acerque la función. El punto relleno $f(1) = 4$ no cambia esto → $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe

Respuesta: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , por lo tanto $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe (aunque $f(1) = 4$ ).

Errores comunes

Tomar el punto relleno $f(a)$ como límite

Por qué está mal: Un límite describe las alturas a las que se acerca la gráfica cerca de $a$ , no la altura en $a$ . En el ejemplo 1, $f(1) = 4$ , pero por la izquierda la gráfica se acerca a $2$ .

Correcto: Sigue cada lado de la gráfica hasta $a$ e ignora el punto en $x = a$ . Usa $f(a)$ solo cuando te pregunten por el valor de la función.

Leer $x \to 3^-$ como " $x$ tiende a $-3$ "

Por qué está mal: El pequeño signo menos se escribe después del número, como superíndice. Indica el lado, no el signo del número.

Correcto: $x \to 3^-$ significa $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valores menores que $3$ ). $x \to 3^+$ significa $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Usar para los dos lados el trozo que contiene $x = a$

Por qué está mal: En $f(x) = x + 1$ para $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ para $x \ge 1$ , el trozo $x + 3$ solo describe el lado derecho. El lado izquierdo siempre lo da el trozo para $x < 1$ .

Correcto: Para $x \to a^-$ usa la fórmula de los valores justo por debajo de $a$ ; para $x \to a^+$ , la de los valores justo por encima de $a$ . El signo $\le$ o $\ge$ solo decide $f(a)$ .

Decir que el límite existe porque existen los dos límites laterales

Por qué está mal: En el ejemplo 1 existen los dos límites laterales ( $2$ y $4$ ), pero son números distintos, así que no hay un único valor $L$ .

Correcto: El límite en $a$ existe solo si los dos límites laterales existen y son iguales.

Por qué es importante

Los límites laterales son la herramienta para funciones que cambian de fórmula en un punto:

Funciones definidas a trozos: los tramos de impuestos, las tarifas de móvil y los precios de envío cambian de fórmula en ciertos valores, y hay que estudiar cada lado por separado
Saltos: una tarifa de aparcamiento que pasa de 3 a 5 dólares después de una hora tiene distinto límite por la izquierda y por la derecha
Valores absolutos: expresiones como $\frac{|x|}{x}$ se comportan de forma distinta para $x$ negativos y positivos
Continuidad: en las lecciones Continuidad y Tipos de discontinuidad estudiarás los límites laterales para clasificar cada ruptura de una gráfica
Cálculo: las derivadas de funciones como $|x|$ se estudian con límites por la izquierda y por la derecha

Cuando una gráfica tiene una ruptura, la primera pregunta siempre es: ¿qué pasa a la izquierda y qué pasa a la derecha?

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento

Muchos aparcamientos cobran por hora empezada, así que el precio salta en cada hora completa. Los límites laterales describen el precio justo antes y justo después del salto.

Ejemplo:

Un aparcamiento cobra $P(t) = 3$ dólares para $0 < t \le 1$ hora y $P(t) = 5$ dólares para $1 < t \le 2$ horas. Justo antes de una hora pagas 3 dólares, justo después 5 dólares.

1Inténtalo tú mismo

El aparcamiento usa $P(t) = 3$ para $0 < t \le 1$ y $P(t) = 5$ para $1 < t \le 2$ ( $t$ en horas, precio en dólares).

¿Cuántos dólares salta el precio en $t = 1$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Límite por la derecha menos límite por la izquierda en $t = 1$ :

Construir una rampa sin escalón

Al unir una rampa con una plataforma, las alturas de los dos lados deben coincidir. Si no, queda un escalón con el que se puede tropezar.

Ejemplo:

Una rampa tiene altura $h(x) = 0{,}2x$ metros para $0 \le x < 5$ , y en $x = 5$ empieza una plataforma de altura constante $c$ . La rampa y la plataforma se unen sin escalón exactamente cuando $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Inténtalo tú mismo

La rampa tiene altura $h(x) = 0{,}2x$ para $0 \le x < 5$ y la plataforma altura $c$ para $x \ge 5$ (todas las longitudes en metros).

¿Qué altura $c$ de la plataforma evita el escalón en $x = 5$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La altura de la plataforma debe ser igual al límite por la izquierda en $x = 5$ :

Tarifas de datos móviles

Una tarifa de datos suele tener un precio fijo hasta un límite y después un recargo por cada gigabyte. Los límites laterales muestran si el precio salta en ese límite.

Ejemplo:

Una tarifa cuesta $C(g) = 10$ dólares para $0 \le g \le 5$ GB y $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ dólares para $g > 5$ . Justo por encima de 5 GB el precio empieza a subir, pero parte de 10.

3Inténtalo tú mismo

La tarifa cuesta $C(g) = 10$ para $0 \le g \le 5$ y $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ para $g > 5$ ( $g$ en GB, precio en dólares).

¿Cuánto vale $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula los dos límites laterales en $g = 5$ y compáralos:

Puntos clave

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ es el límite por la izquierda: $x$ se acerca a $a$ con valores menores que $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ es el límite por la derecha: $x$ se acerca a $a$ con valores mayores que $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ exactamente cuando los dos límites laterales existen y ambos valen $L$
4Si los límites laterales son distintos (un salto), el límite en $a$ no existe
5En una función definida a trozos, usa a la izquierda el trozo de los valores justo por debajo de $a$ y a la derecha el de los valores justo por encima de $a$
6El valor $f(a)$ (círculo vacío o punto relleno) nunca cambia un límite

Preguntas frecuentes

¿Puede existir un límite lateral cuando el límite en $a$ no existe?

Sí, y es el caso típico de un salto. Para

\frac{|x|}{x}

0

existen los dos límites laterales (

-1

1

), pero el límite en

0

no existe, porque son distintos.

¿Decide el límite el punto relleno o el círculo vacío?

Ninguno de los dos. Los círculos y puntos solo muestran el valor

f(a)

. Los límites salen de la curva a cada lado, mientras se acerca a

x = a

¿Y si la función solo está definida a un lado?

Entonces solo tiene sentido un límite lateral. Para

\sqrt{x}

0

no hay valores a la izquierda, así que usamos

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0

. En el borde del dominio, el límite lateral es la pregunta natural.

¿Puede un límite lateral ser infinito?

Sí. Por ejemplo,

\frac{1}{x}

crece sin límite cuando

x \to 0^+

. Estos casos se estudian en la lección Límites infinitos; en esta lección todos los límites laterales son números.

Glosario

Límite lateral: Un límite que usa solo valores de $x$ de un lado de $a$
Límite por la izquierda: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a^-$ , con valores menores que $a$
Límite por la derecha: El valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x \to a^+$ , con valores mayores que $a$
Límite en $a$ (por ambos lados): El límite habitual $\lim_{x \to a} f(x)$ ; existe solo si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales
Función definida a trozos: Una función dada por fórmulas distintas en distintos intervalos de $x$
Discontinuidad de salto: Una ruptura en la que los dos límites laterales existen pero son distintos, de modo que la gráfica salta

Tarjeta de fórmulas

Límite por la izquierda

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ se acerca a $a$ por la izquierda (valores menores que $a$)

Límite por la derecha

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ se acerca a $a$ por la derecha (valores mayores que $a$)

Cuándo existe el límite

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Los dos límites laterales deben existir y ser iguales

Valor absoluto según el lado

|x - a| = x - a

para

x > a

|x - a| = -(x - a)

para

x < a

Úsalo para simplificar expresiones con valor absoluto a cada lado

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Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento

Construir una rampa sin escalón

Tarifas de datos móviles

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Límite por la izquierda

Límite por la derecha

Cuándo existe el límite

Valor absoluto según el lado

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