Fórmula del cambio de base

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué expresión es igual a $\log_5 20$ ?
1. a) $\log 20 \cdot \log 5$
2. b) $\log \dfrac{20}{5}$
3. c) $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
4. d) $\dfrac{\log 5}{\log 20}$
Respuesta: $\dfrac{\log 20}{\log 5}$
Por la fórmula del cambio de base, $\log_5 20 = \dfrac{\log 20}{\log 5} \approx 1{,}86$ . La fracción al revés es incorrecta, y $\log \dfrac{20}{5} = \log 20 - \log 5 = \log 4$ es otro número.
2.
Usa la fórmula del cambio de base para calcular $\log_2 10$ . Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 3.32
$\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0{,}30103} \approx 3{,}32193 \approx 3{,}32$ . Comprobación: $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$ , así que el resultado está entre 3 y 4.
3.
¿Qué logaritmo es igual a $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ ?
1. a) $\ln 5$
2. b) $\log_7 2$
3. c) $\log_2 14$
4. d) $\log_2 7$
Respuesta: $\log_2 7$
Leyendo la fórmula al revés: $\dfrac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7 \approx 2{,}81$ . La base 2 está en el denominador y el argumento 7 arriba. $\log_7 2$ es la versión al revés, y $\ln 5$ sale de restar por error $7 - 2$ .
4.
Calcula $\log_3 20$ con la tecla log o ln. Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 2.73
$\log_3 20 = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}72683 \approx 2{,}73$ . Con ln: $\dfrac{2{,}99573}{1{,}09861}$ da el mismo resultado.
5.
Calcula $\log_6 100$ con logaritmos decimales. Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 2.57
1. ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
2. ¿Cuánto vale $\log 6$ ? Redondea a 4 decimales. 0.7782
3. Divide $\log 100$ entre $\log 6$ . Redondea a 2 decimales. 2.57
6.
Calcula $\log_2 30$ con logaritmos naturales. Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 4.91
1. ¿Cuánto vale $\ln 30$ ? Redondea a 4 decimales. 3.4012
2. ¿Cuánto vale $\ln 2$ ? Redondea a 4 decimales. 0.6931
3. Divide $\ln 30$ entre $\ln 2$ . Redondea a 2 decimales. 4.91
7.
¿Cuál es el valor exacto de $\log_9 27$ ? (Pista: elige la base 3.)
1. a) $\dfrac{3}{2}$
2. b) $\dfrac{1}{3}$
3. c) $\dfrac{2}{3}$
4. d) $3$
Respuesta: $\dfrac{3}{2}$
$\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ . Comprobación: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ .
8.
Usa la base 2 para hallar el valor exacto de $\log_8 32$ . Escríbelo como fracción, por ejemplo 7/4.
Respuesta: 5/3
$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$ . Comprobación: $8^{5/3} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$ .
9.
Te dicen que $\log_3 7 \approx 1{,}7712$ . Usa la regla del recíproco para hallar $\log_7 3$ . Redondea a 4 decimales.
Respuesta: 0.5646
Intercambiar base y argumento da el recíproco: $\log_7 3 = \dfrac{1}{1{,}7712} \approx 0{,}56459 \approx 0{,}5646$ . Tiene sentido: $3 < 7$ , así que $\log_7 3$ es menor que 1.
10.
Resuelve $2^x = 50$ . La solución es $x = \log_2 50$ ; calcúlala con logaritmos decimales. Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 5.64
1. ¿Cuánto vale $\log 50$ ? Redondea a 4 decimales. 1.6990
2. ¿Cuánto vale $\log 2$ ? Redondea a 4 decimales. 0.3010
3. Divide para hallar $x$ . Redondea a 2 decimales. 5.64
11.
¿Cuál es mayor: $\log_2 12$ o $\log_3 30$ ?
Respuesta: $\log_2 12$
1. Calcula $\log_2 12$ . Redondea a 2 decimales. 3.58
2. Calcula $\log_3 30$ . Redondea a 2 decimales. 3.10
3. ¿Qué logaritmo es mayor? $\log_2 12$
12.
Para números positivos $a \neq 1$ y $b \neq 1$ , ¿cuánto vale $\log_b a \cdot \log_a b$ ?
1. a) $1$
2. b) $\log(ab)$
3. c) $0$
4. d) $\dfrac{a}{b}$
Respuesta: $1$
$\log_b a \cdot \log_a b = \dfrac{\log a}{\log b} \cdot \dfrac{\log b}{\log a} = 1$ . Los dos logaritmos son recíprocos, por ejemplo $\log_2 8 \cdot \log_8 2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .
13.
Halla el valor exacto de $\log_{25} 125$ cambiando a base 5. Da el resultado como número decimal.
Respuesta: 1.5
1. ¿Cuánto vale $\log_5 125$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\log_5 25$ ? 2
3. Divide el primer resultado entre el segundo. ¿Cuánto vale $\log_{25} 125$ como número decimal? 1.5
14.
¿Qué expresión NO es igual a $\log_2 9$ ?
1. a) $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
2. b) $\dfrac{1}{\log_9 2}$
3. c) $\dfrac{\log 9}{\log 2}$
4. d) $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$
Respuesta: $\dfrac{\log 2}{\log 9}$
$\dfrac{\log 9}{\log 2}$ y $\dfrac{\ln 9}{\ln 2}$ son la fórmula del cambio de base ( $\approx 3{,}17$ ), y $\dfrac{1}{\log_9 2}$ es la regla del recíproco. $\dfrac{\log 2}{\log 9} = \log_9 2 \approx 0{,}32$ es la fracción al revés.
15.
Calcula $\log_{1{,}5} 10$ . Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 5.68
$\log_{1{,}5} 10 = \dfrac{1}{\log 1{,}5} \approx \dfrac{1}{0{,}17609} \approx 5{,}67887 \approx 5{,}68$ . Una base cercana a 1 crece despacio, así que hace falta un exponente grande para llegar a 10: $1{,}5^{5{,}68} \approx 10$ .
16.
Una inversión crece un 7 % al año (interés compuesto anual). ¿Después de cuántos años completos se ha duplicado al menos?
Respuesta: 11
1. ¿Cuál es el factor de crecimiento anual (la base del logaritmo)? 1.07
2. Calcula $\dfrac{\log 2}{\log 1{,}07}$ . Redondea a 2 decimales. 10.24
3. Los intereses se suman una vez al año. ¿Después de cuántos años completos se ha duplicado al menos la inversión? 11
17.
Simplifica $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$ sin calculadora.
Respuesta: 3
1. Después de simplificar, ¿el numerador es $\ln$ de qué número? 8
2. ¿Y el denominador es $\ln$ de qué número? 2
3. ¿Cuál es el valor del producto completo? 3
18.
Calcula $\log_4 60$ con logaritmos naturales. Redondea a 3 decimales.
Respuesta: 2.953
1. ¿Cuánto vale $\ln 60$ ? Redondea a 4 decimales. 4.0943
2. ¿Cuánto vale $\ln 4$ ? Redondea a 4 decimales. 1.3863
3. Divide $\ln 60$ entre $\ln 4$ . Redondea a 3 decimales. 2.953