Guía del profesor: Fórmula del cambio de base

Usa la fórmula del cambio de base para calcular un logaritmo de cualquier base con la tecla log o ln de tu calculadora.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la fórmula del cambio de base y las condiciones sobre las bases
Demostrar la fórmula a partir de la definición de logaritmo y la regla de la potencia
Calcular logaritmos de cualquier base con la tecla log o ln, redondeados a un número dado de decimales
Hallar valores exactos como $\log_4 8$ eligiendo una nueva base adecuada
Usar la regla del recíproco $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$

Requisitos previos

• Definición de logaritmo: $\log_b x = y$ significa $b^y = x$
• Logaritmo decimal (base 10) y Logaritmo natural (ln): log y ln en la calculadora
• Regla de la potencia de los logaritmos: $\log(b^y) = y \log b$
• Redondear a un número dado de decimales

Iniciadores de discusión

1. Tu calculadora solo tiene log y ln. ¿Cómo podrías hallar $\log_7 100$ ?
2. ¿Por qué crees que $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ y $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ dan exactamente el mismo número?
3. Antes de calcular, ¿entre qué dos números enteros está $\log_2 30$ ? ¿Cómo lo sabes?
4. Si $\log_2 5 \approx 2{,}32$ , ¿qué puedes decir de $\log_5 2$ sin calculadora?

Conceptos erróneos comunes

La base va en el numerador de la fracción

Remediación: Estimar siempre primero: $\log_3 50$ está entre 3 y 4 porque $27 < 50 < 81$ . Un resultado de $0{,}28$ es entonces claramente falso. Truco: la base es el cimiento, por eso va abajo.

$\dfrac{\log a}{\log b}$ es lo mismo que $\log \dfrac{a}{b}$

Remediación: Calcula ambos para $a = 100$ , $b = 10$ : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , pero $\log 10 = 1$ . Luego compáralo con la regla del cociente, que trata de una resta.

Con ln sale un resultado distinto del que sale con log

Remediación: Que media clase use log y la otra mitad ln en el mismo ejercicio, y que comparen los resultados. Los logaritmos sueltos son distintos, el cociente no. La gráfica con las dos curvas lo muestra para cada $x$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con valores que salen enteros, como $\log_2 32 = \dfrac{\log 32}{\log 2} = 5$ , para ganar confianza en la fórmula
• Dar una plantilla: $\log_{\square} \triangle = \dfrac{\log \triangle}{\log \square}$
• Practicar a escribir el cociente completo en la calculadora de una sola vez

Para estudiantes de nivel:

• Calcular logaritmos en base 2, 3, 5, 7 y 1,05 con 2 y 3 decimales
• Comprobar cada resultado con una estimación por potencias
• Hallar valores exactos como $\log_9 27$ y $\log_8 32$ con una base adecuada

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ y simplificar cadenas como $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$
• Demostrar con el cambio de base que $\log_{b^n} x^n = \log_b x$
• Explicar por qué la gráfica de $y = \log_b x$ es un estiramiento vertical de $y = \ln x$ de factor $\dfrac{1}{\ln b}$

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de una ecuación exponencial como un logaritmo en base 2, 10 o e y calcularlo con tecnología
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre potencias y logaritmos y usarla para resolver problemas
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Elegir un nivel de precisión adecuado a las limitaciones de la medida al expresar cantidades

Recursos de la lección

visualDos curvas idénticas
Representa $y = \dfrac{\log x}{\log b}$ y $y = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ con un deslizador para $b$ : las curvas quedan exactamente una encima de la otra
activityPrimero estimar, luego calcular
El alumnado acota $\log_b x$ entre dos números enteros con potencias de $b$ y después lo comprueba con la calculadora
worksheetTiempos de duplicación y divisiones a la mitad
Problemas reales de intereses, búsqueda binaria y crecimiento, cada uno redondeado a un número de decimales indicado

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La mayoría de las calculadoras solo tienen dos teclas de logaritmo: log (base 10, el logaritmo decimal) y ln (base

e

, el logaritmo natural o neperiano). La fórmula del cambio de base te permite calcular un logaritmo de cualquier base con una de esas teclas:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Aquí

x > 0

b > 0

b \neq 1

, y la nueva base

c

puede ser cualquier número positivo distinto de

1

. En la práctica eliges

c = 10

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Por qué funciona: sea

y = \log_b x

. Entonces

b^y = x

. Toma el logaritmo decimal en los dos lados:

\log(b^y) = \log x

. La regla de la potencia lo convierte en

y \cdot \log b = \log x

, así que

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Ejemplo:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(redondeado a 2 decimales). Comprobación:

3^{3{,}56} \approx 50

Un caso especial útil: si intercambias la base y el argumento, obtienes el recíproco,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Redondeo: haz toda la división en la calculadora y redondea solo el resultado final, al número de decimales que pida el enunciado.

Ejemplos resueltos

Calcula $\log_3 50$ . Redondea a 2 decimales.

Escribe la fórmula del cambio de base con base 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcula los dos logaritmos decimales con la calculadora

$\log 50 \approx 1{,}69897$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ → De momento guarda todas las cifras

Divide y redondea solo al final

$1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Comprueba con la definición

$3^3 = 27$ y $3^4 = 81$ , así que el resultado debe estar entre 3 y 4. Además $3^{3{,}56} \approx 50$ → Razonable

Respuesta: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Errores comunes

Escribir la fracción al revés: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Por qué está mal: La base va en el denominador. Una estimación rápida muestra el error: $3^3 = 27$ y $3^4 = 81$ , así que $\log_3 50$ debe estar entre 3 y 4, no por debajo de 1.

Correcto: El argumento arriba, la base abajo: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Convertir el cociente de logaritmos en el logaritmo de un cociente: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Por qué está mal: La regla del cociente dice que $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Habla de una resta de logaritmos, no de una división.

Correcto: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ es una simple división de dos números: $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Tachar la palabra log: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Por qué está mal: log es una función, no un factor. No se puede simplificar como un número común de una fracción.

Correcto: Calcula primero $\log 50$ y $\log 3$ , y luego divide: $\approx 3{,}56$

Redondear demasiado pronto: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Por qué está mal: Redondear $\log 50$ y $\log 3$ antes de dividir cambia la segunda cifra decimal del resultado.

Correcto: Divide con todas las cifras de la calculadora (o escribe log(50)/log(3) de una vez) y redondea solo el resultado final: $3{,}56$

Por qué es importante

La fórmula del cambio de base es lo que hace útiles los logaritmos en la práctica:

Cualquier base en cualquier calculadora: $\log_2$ , $\log_3$ o $\log_{1{,}05}$ se convierten en una sola división con la tecla log o ln.
Dinero y crecimiento: el tiempo que tarda un ahorro en duplicarse al 5 % anual es $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ años.
Informática: la búsqueda binaria y los bits usan base 2. Buscar entre 1 000 000 de elementos ordenados requiere unas $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , es decir, 20 divisiones a la mitad.
Biología: una población que se triplica cada hora necesita $\log_3 500 \approx 5{,}66$ horas para hacerse 500 veces mayor.
Resolver ecuaciones: toda ecuación exponencial como $2^x = 50$ tiene la solución $x = \log_2 50$ , que calculas con esta fórmula.

Además explica por qué bastan

\log

\ln

: cualquier otro logaritmo es simplemente uno de ellos dividido entre una constante.

Aplicaciones del mundo real

¿Cuándo se duplicarán tus ahorros?

Con interés compuesto anual, el dinero se multiplica cada año por el mismo factor de crecimiento. El tiempo de duplicación es un logaritmo cuya base es ese factor.

Ejemplo:

Al 3 % anual el factor es $1{,}03$ , así que el dinero se duplica cuando $1{,}03^t = 2$ , es decir, después de $t = \log_{1{,}03} 2$ años.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 1000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 3 % de interés anual, abonado una vez al año.

¿Después de cuántos años se ha duplicado el dinero?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_{1{,}03} 2$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un elemento en una lista ordenada dividiéndola a la mitad una y otra vez. El número de divisiones es un logaritmo en base 2, y los ordenadores lo calculan con el cambio de base.

Ejemplo:

Una lista ordenada de 1024 nombres necesita $\log_2 1024 = 10$ divisiones a la mitad, porque $2^{10} = 1024$ .

2Inténtalo tú mismo

Una base de datos guarda 1 000 000 de registros ordenados. Cada paso de la búsqueda binaria divide a la mitad los registros que quedan.

¿Cuántas divisiones a la mitad hacen falta para quedarse con un solo registro?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_2 1000000$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Bacterias que se triplican cada hora

Algunos cultivos de bacterias se triplican cada hora. El tiempo para alcanzar cierto tamaño es un logaritmo en base 3.

Ejemplo:

Después de 2 horas el cultivo es $3^2 = 9$ veces mayor, después de 4 horas $3^4 = 81$ veces mayor.

3Inténtalo tú mismo

Un cultivo se triplica cada hora. Un laboratorio necesita que sea 500 veces mayor que al principio.

¿Cuántas horas tarda?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $\log_3 500$ como cociente de dos logaritmos decimales (escribe la expresión en la forma log(a)/log(b), no el valor redondeado):

Puntos clave

1Fórmula del cambio de base: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ para cualquier nueva base $c > 0$ , $c \neq 1$
2En la calculadora usa $c = 10$ o $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , las dos dan el mismo resultado
3El argumento va arriba y la base va abajo
4Funciona porque $b^y = x$ da $y \log b = \log x$ (regla de la potencia), así que $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Intercambiar base y argumento da el recíproco: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Divide con todas las cifras y redondea solo el resultado final, a los decimales que te pidan

Preguntas frecuentes

¿Uso log o ln en la fórmula?

Cualquiera de los dos.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

valen ambos

\approx 3{,}56

. Solo usa el mismo tipo de logaritmo arriba y abajo.

Mi calculadora tiene una tecla $\log_b$ . ¿Sigo necesitando la fórmula?

La tecla te da el número, pero la fórmula sigue haciendo falta para hallar valores exactos como

\log_4 8 = \dfrac{3}{2}

, para simplificar expresiones, para resolver ecuaciones a mano y en exámenes donde solo se permiten log y ln. La propia tecla usa internamente el cambio de base.

¿A cuántos decimales debo redondear?

A los que pida el enunciado. Si no dice nada, lo habitual son de 2 a 4 decimales (por ejemplo

\log_3 50 \approx 3{,}56

3{,}5609

). Redondea siempre una sola vez, al final.

¿Por qué $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

Con el cambio de base,

\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}

\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}

. Al multiplicar las dos fracciones todo se simplifica y queda

1

. Por tanto, los dos logaritmos son recíprocos.

Glosario

Fórmula del cambio de base: La regla $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ que reescribe un logaritmo con una nueva base $c$
Base: El número $b$ en $\log_b x$ , el que se eleva a una potencia; debe ser positivo y distinto de $1$
Argumento: El número $x$ en $\log_b x$ del que se toma el logaritmo; debe ser positivo
Logaritmo decimal: El logaritmo en base 10, escrito $\log x$ (la tecla log)
Logaritmo natural (neperiano): El logaritmo en base $e \approx 2{,}718$ , escrito $\ln x$ (la tecla ln)
Recíproco: El número $\dfrac{1}{a}$ para un número $a \neq 0$ ; $\log_b a$ y $\log_a b$ son recíprocos

Tarjeta de fórmulas

Cambio de base (cualquier base)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Cualquier nueva base $c > 0$, $c \neq 1$

Con logaritmos decimales

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Usa la tecla log

Con logaritmos naturales

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Usa la tecla ln, mismo resultado

Regla del recíproco

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Intercambiar base y argumento invierte el valor

Más sobre este tema

Guía del profesor: Fórmula del cambio de base

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

¿Cuándo se duplicarán tus ahorros?

Búsqueda binaria en informática

Bacterias que se triplican cada hora

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Cambio de base (cualquier base)

Con logaritmos decimales

Con logaritmos naturales

Regla del recíproco

Más sobre este tema

Introducción a los logaritmos

Definición de logaritmo

Logaritmo decimal (base 10)

Logaritmo natural (ln)