Logaritmo decimal (base 10)

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuánto vale $\log 10\,000$ ?
1. a)1000
2. b)10000
3. c)3
4. d)4
Respuesta: 4
$10\,000 = 10^4$ , así que $\log 10\,000 = 4$ . El logaritmo cuenta los ceros (factores 10), no todas las cifras.
2.
¿Cuánto vale $\log 1\,000\,000$ ?
Respuesta: 6
$1\,000\,000 = 10^6$ (seis ceros), así que $\log 1\,000\,000 = 6$ .
3.
¿Cuánto vale $\log 0{,}01$ ?
1. a)-2
2. b)2
3. c)0,01
4. d)-0,01
Respuesta: -2
$0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$ , así que $\log 0{,}01 = -2$ . Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos.
4.
¿Cuánto vale $\log 1$ ?
Respuesta: 0
$10^0 = 1$ , así que $\log 1 = 0$ . No lo confundas con $\log 0$ , que no existe.
5.
Calcula $\log 0{,}001$ .
Respuesta: -3
1. $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ . Escribe $1\,000 = 10^n$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 3
2. Entonces $0{,}001 = 10^k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? -3
3. ¿Cuánto vale $\log 0{,}001$ ? -3
6.
Calcula $\log 0{,}1$ empezando por $\log 10$ .
Respuesta: -1
1. ¿Cuánto vale $\log 10$ ? 1
2. Escribe $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ como $10^n$ . ¿Cuánto vale $n$ ? -1
3. ¿Cuánto vale $\log 0{,}1$ ? -1
7.
¿Entre qué dos números enteros está $\log 50$ ?
1. a)2 y 3
2. b)0 y 1
3. c)5 y 6
4. d)1 y 2
Respuesta: 1 y 2
$10 < 50 < 100$ , así que $\log 10 < \log 50 < \log 100$ , es decir, $1 < \log 50 < 2$ . La calculadora da $\log 50 \approx 1{,}699$ .
8.
Estima $\log 700$ entre dos números enteros y después calcúlalo con la calculadora con 3 decimales.
Respuesta: 2.845
1. $700$ está entre $100$ y $1\,000$ . ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
2. ¿Cuánto vale $\log 1\,000$ ? 3
3. Escribe log(700) en la calculadora. ¿Cuánto vale $\log 700$ con 3 decimales? 2.845
9.
Usa la calculadora: ¿cuánto vale $\log 250$ , redondeado a 2 decimales?
Respuesta: 2.40
$\log 250 = 2{,}39794\ldots \approx 2{,}40$ . Está entre $\log 100 = 2$ y $\log 1\,000 = 3$ , como se esperaba.
10.
Un número positivo $x$ cumple $\log x = 3$ . Halla $x$ .
Respuesta: 1000
1. Reescribe $\log x = 3$ como $b^3 = x$ . ¿Cuál es la base $b$ ? 10
2. ¿Cuánto vale $x = 10^3$ ? 1000
3. Comprobación: ¿cuánto vale $\log 1\,000$ ? 3
11.
¿Qué valor está más cerca de $\log 2\,000$ ?
1. a)0,301
2. b)4,301
3. c)3,301
4. d)2,301
Respuesta: 3,301
$1\,000 < 2\,000 < 10\,000$ , así que $3 < \log 2\,000 < 4$ . Solo $3{,}301$ está en ese intervalo, y la calculadora confirma $\log 2\,000 \approx 3{,}301$ .
12.
Estima $\log 0{,}05$ entre dos números enteros y después calcúlalo con la calculadora con 3 decimales.
Respuesta: -1.301
1. $0{,}05$ está entre $0{,}01$ y $0{,}1$ . ¿Cuánto vale $\log 0{,}01$ ? -2
2. ¿Cuánto vale $\log 0{,}1$ ? -1
3. Escribe log(0,05) en la calculadora. ¿Cuánto vale $\log 0{,}05$ con 3 decimales? -1.301
13.
Un número positivo $x$ cumple $\log x = -2$ . ¿Cuánto vale $x$ ? Escríbelo como número decimal.
Respuesta: 0.01
$\log x = -2$ significa $x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .
14.
Escribe $62\,000$ en notación científica, halla la parte entera de $\log 62\,000$ y después calcula $\log 62\,000$ con 3 decimales.
Respuesta: 4.792
1. $62\,000 = 6{,}2 \times 10^n$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 4
2. Entonces $4 \le \log 62\,000 < k$ . ¿Qué número entero es $k$ ? 5
3. Escribe log(62000) en la calculadora. ¿Cuánto vale $\log 62\,000$ con 3 decimales? 4.792
15.
Un número entero $N$ cumple $\log N \approx 5{,}3$ . ¿Cuántas cifras tiene $N$ ?
1. a)5
2. b)53
3. c)3
4. d)6
Respuesta: 6
$5 \le 5{,}3 < 6$ , así que $10^5 \le N < 10^6$ , es decir, $100\,000 \le N < 1\,000\,000$ . Estos números tienen 6 cifras ( $N \approx 10^{5{,}3} \approx 199\,526$ ).
16.
Un número positivo $x$ cumple $\log x = 2{,}5$ . Halla $x$ , redondeado al número entero más cercano.
Respuesta: 316
1. $x = 10^{2{,}5}$ está entre $10^2$ y $10^3$ . ¿Cuánto vale $10^2$ ? 100
2. ¿Cuánto vale $10^3$ ? 1000
3. Escribe 10^2,5 en la calculadora. ¿Cuánto vale $x$ , redondeado al entero más cercano? 316
17.
Un número entero $N$ cumple $\log N \approx 7{,}48$ . ¿Cuántas cifras tiene $N$ ?
Respuesta: 8
$7 \le 7{,}48 < 8$ , así que $10^7 \le N < 10^8$ : $N$ está entre $10\,000\,000$ y $99\,999\,999$ , por lo que tiene 8 cifras. En general, el número de cifras es la parte entera del logaritmo más 1.
18.
Usa logaritmos decimales para hallar cuántas veces es mayor $100\,000$ que $100$ .
Respuesta: 1000
1. ¿Cuánto vale $\log 100\,000$ ? 5
2. ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
3. ¿En cuánto se diferencian los dos logaritmos? 3
4. Una diferencia de 3 significa un factor $10^3$ . ¿Cuántas veces es mayor $100\,000$ ? 1000