Guía del profesor: Logaritmo decimal (base 10)

Aprende el logaritmo decimal log x de base 10: valores exactos de las potencias de 10, cómo acotar un logaritmo entre dos enteros y cómo usar la calculadora.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Leer $\log x$ como el logaritmo de base 10
Calcular $\log(10^n) = n$ para potencias de 10 desde $0{,}001$ hasta $1\,000\,000$ sin calculadora
Estimar el logaritmo de cualquier número positivo entre dos números enteros
Usar la tecla LOG de la calculadora y comprobar el resultado con una estimación
Relacionar la parte entera de $\log x$ con la notación científica y los órdenes de magnitud

Requisitos previos

• Introducción a los logaritmos y Definición de logaritmo: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Potencias de 10, también con exponentes negativos ( $10^{-2} = 0{,}01$ )
• Notación científica ( $3\,000 = 3 \times 10^3$ )

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué crees que los logaritmos de base 10 fueron los primeros en imprimirse en tablas y en llegar a las calculadoras?
2. Si $\log x$ aumenta en 1, ¿qué le pasa a $x$ ? ¿Y si aumenta en 2?
3. $50$ está más o menos a mitad de camino entre $10$ y $100$ . ¿Por qué $\log 50$ no es $1{,}5$ ?
4. ¿Cómo podrías adivinar cuántas cifras tiene un número entero grande a partir de su logaritmo?
5. ¿Dónde has visto, en ciencias o en la vida diaria, una escala en la que cada paso significa 10 veces más?

Conceptos erróneos comunes

El logaritmo de un número entre 10 y 100 crece de forma uniforme, así que $\log 50 = 1{,}5$

Remediación: Muestra la recta con escala logarítmica: pasos iguales significan multiplicar por 10. Calcula $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ con la calculadora: la mitad de la escala es 31,6 y no 55.

Los logaritmos de los decimales no están definidos, o $\log 0{,}01 = 2$

Remediación: Continúa la tabla hacia atrás: $\log 100 = 2$ , $\log 10 = 1$ , $\log 1 = 0$ , $\log 0{,}1 = ?$ . Cada división entre 10 resta 1, así que siguen $-1$ y $-2$ .

$\log 0 = 0$

Remediación: Compara $\log 1 = 0$ (porque $10^0 = 1$ ) con la ecuación $10^n = 0$ , que no tiene solución. Pide que escriban log(0) en la calculadora y expliquen el error.

El logaritmo es el número de cifras

Remediación: Compara $\log 10 = 1$ (2 cifras) y $\log 999 \approx 2{,}9996$ (3 cifras). Un número entero de $d$ cifras tiene un logaritmo entre $d - 1$ y $d$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con una tabla de dos filas, potencias de 10 y sus logaritmos, para completar desde $10^{-3}$ hasta $10^6$
• Usar primero solo logaritmos enteros y después añadir una estimación como $1 < \log 50 < 2$
• Contar ceros y cifras decimales con una tabla de valor posicional antes de escribir el logaritmo

Para estudiantes de nivel:

• Estimar logaritmos entre dos enteros y comprobarlos con la calculadora
• Hallar el orden de magnitud de cantidades escritas en notación científica
• Volver del logaritmo al número con $10^{\log x} = x$

Para estudiantes avanzados:

• Justificar por qué un número entero de $d$ cifras tiene un logaritmo entre $d - 1$ y $d$
• Comparar $\log 2$ , $\log 20$ y $\log 200$ con la calculadora y describir el patrón (se explica en la lección Regla del producto para logaritmos)
• Investigar cómo se multiplicaban números grandes con tablas de logaritmos antes de las calculadoras

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de una ecuación exponencial como un logaritmo de base 2, 10 o e, y calcular el logaritmo con tecnología
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre potencias y logaritmos
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Usar números expresados como una cifra por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas

Recursos de la lección

visualRecta numérica con escala logarítmica
Las potencias de 10 desde 0,001 hasta 1 000 000 a la misma distancia, de modo que cada paso suma 1 al logaritmo
visualGráfico de barras de log x
Compara los logaritmos de 0,01, 0,1, 1, 5, 10, 50, 100 y 1000, incluidos los negativos
activityPrimero estima, luego pulsa LOG
Por parejas, el alumnado escribe los dos enteros entre los que está un logaritmo, lo comprueba con la calculadora y suma un punto si la estimación es correcta
worksheetCaza de órdenes de magnitud
Buscar cantidades reales (tamaño de una célula, distancias, poblaciones) y ordenarlas según la parte entera de su logaritmo

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El logaritmo decimal es el logaritmo de base 10. Se usa tanto que la base no se escribe:

\log x = \log_{10} x

\log x

responde a la pregunta: **"¿10 elevado a qué da

x

?"**

\log x = n \iff 10^n = x

Las potencias de 10 tienen logaritmos enteros:

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$\log x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$

Así que

\log(10^n) = n

para cualquier exponente

n

Los números entre dos potencias de 10 tienen un logaritmo entre dos números enteros. Como

10 < 50 < 100

, sabemos que

1 < \log 50 < 2

. La calculadora (tecla LOG) da

\log 50 \approx 1{,}699

El argumento debe ser positivo:

\log 0

\log(-5)

no existen.

Ejemplos resueltos

Calcula $\log 100\,000$ y $\log 1$ sin calculadora.

Plantea la pregunta para 100 000

¿10 elevado a qué da $100\,000$ ? → $10^n = 100\,000$

Cuenta los ceros

$100\,000$ es un 1 seguido de 5 ceros, así que $100\,000 = 10^5$ → $\log 100\,000 = 5$

Plantea la pregunta para 1

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1: $10^0 = 1$ → $\log 1 = 0$

Respuesta: $\log 100\,000 = 5$ y $\log 1 = 0$

Errores comunes

Pensar que $\log 50 = 1{,}5$ porque 50 está más o menos a mitad de camino entre 10 y 100

Por qué está mal: Una escala logarítmica no es uniforme. Cada paso de 1 en el logaritmo multiplica el número por 10, así que la mitad entre 10 y 100 es $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ .

Correcto: $\log 50 \approx 1{,}699$ . Primero acota entre dos enteros ( $1 < \log 50 < 2$ ) y después usa la calculadora.

Escribir $\log 0{,}01 = 2$ o decir que el logaritmo de un decimal no existe

Por qué está mal: $0{,}01 = 10^{-2}$ , así que el exponente es negativo. Los logaritmos de números entre 0 y 1 existen, simplemente son negativos.

Correcto: $\log 0{,}01 = -2$ , $\log 0{,}1 = -1$ , $\log 0{,}001 = -3$ .

Escribir $\log 0 = 0$ o $\log(-100) = -2$

Por qué está mal: $10^n$ es positivo para cualquier exponente $n$ . Ninguna potencia de 10 es igual a 0 o a un número negativo.

Correcto: $\log 0$ y $\log(-100)$ no están definidos, la calculadora da error. Recuerda: $\log 1 = 0$ , no $\log 0$ .

Contar todas las cifras: $\log 1\,000 = 4$

Por qué está mal: $1\,000$ tiene 4 cifras pero solo 3 ceros. El logaritmo cuenta los factores 10, no las cifras.

Correcto: $\log 1\,000 = 3$ porque $10^3 = 1\,000$ . Un número entero de $d$ cifras tiene un logaritmo entre $d - 1$ y $d$ .

Por qué es importante

Nuestro sistema de numeración es de base 10, así que el logaritmo decimal te dice de un vistazo el tamaño de un número:

Órdenes de magnitud: la parte entera de $\log x$ es el exponente de $x$ en notación científica. $\log(3\,000) \approx 3{,}477$ y $3\,000 = 3 \times 10^3$ .
Química: el pH de una disolución es $-\log$ de la concentración de iones hidrógeno.
Sonido: los decibelios usan $10 \log$ de un cociente de intensidades.
Terremotos y estrellas: la escala de Richter y las escalas de brillo de las estrellas se basan en logaritmos de base 10.
Gráficas científicas: una escala logarítmica coloca $1$ , $10$ , $100$ y $1\,000\,000$ en un mismo eje legible.

Si te sabes de memoria los logaritmos de las potencias de 10, puedes comprobar cualquier resultado de la calculadora en segundos.

Aplicaciones del mundo real

Órdenes de magnitud

En ciencias se comparan cantidades enormes y diminutas por su orden de magnitud: la parte entera de su logaritmo decimal.

Ejemplo:

Un cabello humano mide unos $0{,}0001$ m de grosor, y $\log 0{,}0001 = -4$ . La Tierra mide unos $10\,000\,000$ m de ancho, y $\log 10\,000\,000 = 7$ . La diferencia de 11 órdenes de magnitud significa que la Tierra es unas $10^{11}$ veces más ancha.

1Inténtalo tú mismo

La población mundial es de unos $8\,000\,000\,000$ de personas.

¿Cuál es su orden de magnitud, es decir, la parte entera de $\log 8\,000\,000\,000$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la parte entera del logaritmo:

El pH en química

El pH de una disolución es $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en mol/L. Cuanto más bajo es el pH, más ácida es la disolución.

Ejemplo:

El agua pura tiene $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$ , así que $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutra).

2Inténtalo tú mismo

Una muestra de zumo de naranja tiene $[H^+] = 0{,}0001$ mol/L.

¿Cuál es su pH?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $-\log 0{,}0001$ :

Decibelios y sonido

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, donde $\dfrac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso un sonido que el más débil que podemos oír.

Ejemplo:

Un susurro es unas $100$ veces más intenso que el umbral de audición: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

3Inténtalo tú mismo

Una conversación normal es unas $1\,000\,000$ de veces más intensa que el umbral de audición.

¿Cuál es su nivel sonoro en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $10 \log 1\,000\,000$ :

Puntos clave

1El logaritmo decimal tiene base 10: $\log x = \log_{10} x$ , y $\log x = n$ significa $10^n = x$
2Las potencias de 10 tienen logaritmos enteros: $\log(10^n) = n$ , por ejemplo $\log 1\,000 = 3$ y $\log 0{,}01 = -2$
3 $\log 1 = 0$ y $\log 10 = 1$ ; los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos
4Para estimar $\log x$ , busca las potencias de 10 alrededor de $x$ : $10 < 50 < 100$ da $1 < \log 50 < 2$
5La parte entera de $\log x$ es el orden de magnitud, el exponente de $x$ en notación científica
6Usa la tecla LOG para los decimales exactos ( $\log 50 \approx 1{,}699$ ); $\log 0$ y los logaritmos de números negativos no existen

Preguntas frecuentes

¿Por qué el logaritmo de base 10 se llama decimal?

Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10. Durante siglos las tablas de logaritmos fueron de base 10, y hoy todas las calculadoras científicas tienen la tecla LOG. Como se usa tanto, la base no se escribe:

\log x

significa

\log_{10} x

¿Cómo calcula la calculadora $\log 50$ ?

Usa un método numérico rápido para encontrar el exponente

n

con

10^n = 50

. Puedes comprobar su resultado:

10^{1{,}699} \approx 50

. La estimación

1 < \log 50 < 2

te dice si has pulsado las teclas correctas.

¿Por qué son negativos los logaritmos de decimales como $0{,}01$ ?

Los números entre 0 y 1 se obtienen con exponentes negativos:

0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}

. Por eso

\log 0{,}01 = -2

. Solo el argumento tiene que ser positivo; el logaritmo puede ser cualquier número real.

¿La tecla $\log$ de mi calculadora es lo mismo que $\ln$ ?

No. LOG usa base 10, mientras que LN usa otra base, el número

e \approx 2{,}718

. Por ejemplo,

\log 100 = 2

, pero

\ln 100 \approx 4{,}605

. La lección Logaritmo natural (ln) explica esa tecla.

Glosario

Logaritmo decimal: El logaritmo de base 10, escrito $\log x$ : el exponente $n$ con $10^n = x$
Base: El número que se eleva a una potencia; en el logaritmo decimal es 10
Argumento: El número del que se calcula el logaritmo, la $x$ de $\log x$ ; tiene que ser positivo
Potencia de 10: Un número de la forma $10^n$ , como $1\,000 = 10^3$ o $0{,}01 = 10^{-2}$
Orden de magnitud: La parte entera de $\log x$ , que es el exponente de $x$ en notación científica
Notación científica: Escribir un número como $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$ , por ejemplo $3\,000 = 3 \times 10^3$

Tarjeta de fórmulas

Logaritmo decimal

\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 no se escribe

Logaritmo de una potencia de 10

\log(10^n) = n

Por ejemplo $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valores especiales

\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Porque $10^0 = 1$ y $10^1 = 10$

Estimación

10^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Las potencias de 10 alrededor de $x$ dan la parte entera

Volver al número

10^{\log x} = x

Por ejemplo $10^{1{,}699} \approx 50$

Más sobre este tema

Guía del profesor: Logaritmo decimal (base 10)

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Órdenes de magnitud

El pH en química

Decibelios y sonido

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Logaritmo decimal

Logaritmo de una potencia de 10

Valores especiales

Estimación

Volver al número

Más sobre este tema

Introducción a los logaritmos

Definición de logaritmo

Logaritmo natural (ln)

Gráficas de funciones logarítmicas