Gráficas de funciones logarítmicas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es el dominio de $y = \log_3 x$ ?
1. a) $x > 3$
2. b) $x \geq 0$
3. c) $x > 0$
4. d) $x < 0$
Respuesta: $x > 0$
$3^y$ siempre es positivo, así que $x = 3^y$ tiene que ser positivo. El dominio es $x > 0$ ; $x = 0$ no está incluido porque $\log_3 0$ no existe.
2.
El punto $(8, y)$ está en la gráfica de $y = \log_2 x$ . ¿Cuánto vale $y$ ?
Respuesta: 3
$2^3 = 8$ , así que $\log_2 8 = 3$ y el punto es $(8, 3)$ .
3.
Completa la tabla de valores de $y = \log_3 x$ para $x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9$ .
Respuesta: -1, 0, 1, 2
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = \frac{1}{3}$ ? -1
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 1$ ? 0
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 3$ ? 1
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 9$ ? 2
4.
¿Cuál es la asíntota vertical de $y = \log_2(x + 4)$ ?
1. a) $x = -4$
2. b) $x = 4$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = -4$
Respuesta: $x = -4$
El argumento $x + 4$ vale $0$ en $x = -4$ . La gráfica de $y = \log_2 x$ se desplaza 4 unidades a la izquierda, así que la asíntota es $x = -4$ .
5.
¿En qué valor de $x$ corta la gráfica de $y = \log_5 x$ al eje $x$ ?
Respuesta: 1
$\log_5 x = 0$ significa $x = 5^0 = 1$ . Toda gráfica $y = \log_b x$ corta el eje $x$ en $(1, 0)$ .
6.
El punto $(2, 9)$ está en $y = 3^x$ . Halla el punto correspondiente en $y = \log_3 x$ .
Respuesta: (9, 2)
1. ¿Cuál es la coordenada x del punto reflejado? 9
2. ¿Cuál es la coordenada y del punto reflejado? 2
3. Comprobación: ¿cuánto vale $\log_3 9$ ? 2
7.
¿Qué función tiene una gráfica decreciente?
1. a) $y = \ln x$
2. b) $y = \log_5 x$
3. c) $y = \log_{10} x$
4. d) $y = \log_{1/3} x$
Respuesta: $y = \log_{1/3} x$
$\log_{1/3} x$ tiene la base $\frac{1}{3}$ , que está entre 0 y 1, así que su gráfica es decreciente. Las bases $5$ , $10$ y $e$ son mayores que 1, esas gráficas son crecientes.
8.
La gráfica de $y = \log_3(x - 7) + 2$ tiene la asíntota vertical $x = c$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Respuesta: 7
El argumento $x - 7$ vale $0$ en $x = 7$ , así que la asíntota es $x = 7$ . El $+2$ solo desplaza la gráfica hacia arriba y no cambia la asíntota.
9.
Representa $y = \log_2(x - 5)$ : halla la asíntota y dos puntos clave.
Respuesta: $x = 5$ ; $(6, 0)$ , $(7, 1)$
1. La asíntota es $x = ?$ 5
2. ¿Para qué $x$ es $y = 0$ ? 6
3. ¿Para qué $x$ es $y = 1$ ? 7
10.
En la gráfica de $y = \log_{1/2} x$ , ¿cuánto cambia $y$ cuando $x$ va de $\frac{1}{2}$ a $4$ ?
Respuesta: -3
1. ¿Cuánto vale $\log_{1/2} \frac{1}{2}$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $\log_{1/2} 4$ ? -2
3. ¿Cuál es el cambio de $y$ (final menos inicio)? -3
11.
¿De qué gráfica es simétrica la gráfica de $y = \log_4 x$ respecto de la recta $y = x$ ?
1. a) $y = 4x$
2. b) $y = 4^x$
3. c) $y = x^4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$
Respuesta: $y = 4^x$
$y = \log_4 x$ significa $4^y = x$ , así que es la inversa de $y = 4^x$ . Las funciones inversas son simétricas respecto de $y = x$ .
12.
¿Cuánto vale $y$ en la gráfica de $y = \log_2(x + 1) - 3$ para $x = 7$ ?
Respuesta: 0
$y = \log_2 8 - 3 = 3 - 3 = 0$ . Así que $(7, 0)$ es el corte de esta gráfica con el eje $x$ .
13.
La gráfica de $y = \log_2 x$ se traslada a $y = \log_2(x + 3) - 4$ . ¿A dónde van los puntos clave $(1, 0)$ y $(2, 1)$ ?
Respuesta: $(-2, -4)$ , $(-1, -3)$
1. ¿Nueva coordenada x de $(1, 0)$ ? -2
2. ¿Nueva coordenada y de $(1, 0)$ ? -4
3. ¿Nueva coordenada x de $(2, 1)$ ? -1
4. ¿Nueva coordenada y de $(2, 1)$ ? -3
14.
¿Qué función tiene la asíntota vertical $x = 2$ y pasa por $(3, -1)$ ?
1. a) $y = \log_2(x - 2) + 1$
2. b) $y = \log_2(x - 2) - 1$
3. c) $y = \log_2(x + 2) - 1$
4. d) $y = \log_2(x - 1) - 1$
Respuesta: $y = \log_2(x - 2) - 1$
La asíntota $x = 2$ exige el argumento $x - 2$ ; quedan $\log_2(x - 2) - 1$ y $\log_2(x - 2) + 1$ . En $x = 3$ : $\log_2 1 - 1 = -1$ , pero $\log_2 1 + 1 = 1$ . La respuesta es $y = \log_2(x - 2) - 1$ .
15.
Halla el corte de $y = \log_3(x - 1) - 2$ con el eje $x$ . Escribe el valor de $x$ .
Respuesta: 10
$\log_3(x - 1) = 2$ significa $x - 1 = 3^2 = 9$ , así que $x = 10$ . El corte con el eje $x$ es $(10, 0)$ .
16.
Representa $y = -\log_3(x + 2)$ : halla la asíntota, el corte con el eje $x$ y dos puntos más.
Respuesta: $x = -2$ ; $(-1, 0)$ , $(7, -2)$ , $\left(-\frac{5}{3}, 1\right)$
1. La asíntota es $x = ?$ -2
2. ¿En qué $x$ es $y = 0$ ? -1
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 7$ ? -2
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = -\frac{5}{3}$ ? 1
17.
Una gráfica $y = \log_b(x - h) + k$ tiene la asíntota $x = 1$ y pasa por $(2, 3)$ y $(6, 4)$ . Halla $h$ , $k$ y $b$ .
Respuesta: $y = \log_5(x - 1) + 3$
1. ¿Cuánto vale $h$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $k$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $b$ ? 5
18.
Estudia $y = \log_2(6 - 2x)$ : halla la asíntota, un punto y el corte con el eje $x$ .
Respuesta: $x = 3$ ; $(1, 2)$ , $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
1. Resuelve $6 - 2x = 0$ . La asíntota es $x = ?$ 3
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 1$ ? 2
3. ¿En qué $x$ es $y = 0$ ? (Escribe un número decimal.) 2.5