Guía del profesor: Gráficas de funciones logarítmicas

Aprende a representar funciones logarítmicas: puntos clave, dominio, recorrido, asíntota vertical, simetría con la función exponencial y traslaciones.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Representar $y = \log_b x$ para $b > 1$ y para $0 < b < 1$ con ayuda de los puntos clave
Indicar el dominio, el recorrido, la asíntota vertical y los cortes con los ejes de una función logarítmica
Explicar la gráfica de $y = \log_b x$ como la simétrica de $y = b^x$ respecto de $y = x$
Representar traslaciones y simetrías de $y = \log_b x$ , por ejemplo $y = -\log_3(x + 2)$
Hallar la ecuación $y = \log_b(x - h) + k$ a partir de una asíntota y dos puntos

Requisitos previos

• Definición de logaritmo: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Gráficas de funciones exponenciales $y = b^x$
• Traslaciones y simetrías de gráficas de funciones
• Logaritmo decimal (base 10) y Logaritmo natural (ln)

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué la gráfica de $y = \log_2 x$ nunca puede llegar al eje $y$ , aunque se acerque muchísimo?
2. Para x grandes la curva parece casi plana. ¿Deja de subir alguna vez? ¿Cómo convencerías a un amigo?
3. ¿Qué les pasa a los puntos $(1, 0)$ y $(b, 1)$ cuando cambias $h$ y $k$ ?
4. ¿Por qué la simetría respecto de $y = x$ convierte una asíntota horizontal en una vertical?

Conceptos erróneos comunes

$y = \log_b(x - h)$ desplaza la gráfica a la izquierda cuando $h$ es positivo

Remediación: Pide al alumnado que resuelva $x - h = 1$ para ver dónde la gráfica alcanza $y = 0$ : para $h = 3$ es $x = 4$ , tres unidades a la derecha de $(1, 0)$ .

La gráfica logarítmica tiene una asíntota horizontal porque parece plana

Remediación: Haz una tabla de valores con $x = 2, 4, 8, \dots, 1024$ para $y = \log_2 x$ : los valores $1, 2, 3, \dots, 10$ siguen creciendo $1$ cada vez.

Una base entre 0 y 1 no da un logaritmo o no está definida

Remediación: Calcula con la definición $\log_{1/2} 4 = -2$ y $\log_{1/2} \frac{1}{2} = 1$ y dibuja los puntos: la curva es una imagen decreciente de $y = \log_2 x$ en un espejo.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con $y = \log_2 x$ y una tabla solo con potencias de 2
• Usar los tres puntos clave $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(b, 1)$ como rutina fija para cada gráfica
• Mover un solo elemento cada vez: primero $k$ , después $h$

Para estudiantes de nivel:

• Representar funciones como $y = \log_3(x + 2) - 1$ e indicar el dominio y la asíntota
• Comparar $y = \log_2 x$ e $y = \log_{1/2} x$ en el graficador
• Hallar la ecuación de una gráfica logarítmica a partir de su asíntota y dos puntos

Para estudiantes avanzados:

• Representar $y = \log_2(6 - 2x)$ y explicar por qué su dominio es $x < 3$
• Investigar $y = a \log_b x$ para distintos valores de $a$ y compararlo con un cambio de base
• Demostrar que $y = \log_{1/b} x$ es la simétrica de $y = \log_b x$ respecto del eje $x$

Alineación con estándares

HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Representar funciones exponenciales y logarítmicas mostrando los cortes con los ejes y el comportamiento en los extremos
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto sobre la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k)
HSF.BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos

Recursos de la lección

visualExplorador de logaritmos
Los deslizadores $b$ , $h$ y $k$ mueven en directo la curva, la asíntota y los dos puntos clave
activityDoblar por y = x
Los alumnos dibujan $y = 2^x$ en papel vegetal, lo doblan por $y = x$ y calcan la gráfica logarítmica
worksheetAsíntota, dominio, puntos
Diez funciones logarítmicas transformadas: hallar la asíntota, el dominio y dos puntos clave, y luego hacer un esbozo

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una función logarítmica tiene la forma

f(x) = \log_b x

con base

b > 0

b \neq 1

. Es la función inversa de la función exponencial

y = b^x

y = \log_b x

significa

b^y = x

Puntos clave (salen directamente de la definición):

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ porque $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ porque $b^0 = 1$
$(b, 1)$ porque $b^1 = b$

**Características de la gráfica de

y = \log_b x

:**

Dominio: $x > 0$ (solo se puede calcular el logaritmo de un número positivo)
Recorrido: todos los números reales
Asíntota vertical: la recta $x = 0$ (el eje $y$ ); la gráfica se acerca cada vez más a ella, pero nunca la toca
**Corte con el eje $x$ **: $(1, 0)$ ; no hay corte con el eje $y$
Si $b > 1$ , la gráfica es creciente; si $0 < b < 1$ , es decreciente

La gráfica de

y = \log_b x

es la simétrica de la gráfica de

y = b^x

respecto de la recta

y = x

: cada punto

(p, q)

y = b^x

se convierte en el punto

(q, p)

Transformaciones:

y = \log_b(x - h) + k

desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h < 0$ ) y $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k < 0$ )
asíntota vertical $x = h$ , dominio $x > h$ , puntos clave $(1 + h, k)$ y $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ refleja la gráfica respecto del eje $x$ ; $y = \log_b(-x)$ la refleja respecto del eje $y$ (dominio $x < 0$ )

En la gráfica interactiva, mueve los deslizadores

b

h

k

y observa cómo se mueven la asíntota y los dos puntos clave.

Ejemplos resueltos

Representa $y = \log_2 x$ e indica su dominio, su recorrido y su asíntota.

Elige valores de x que sean potencias de 2

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , porque el $\log_2$ de una potencia de 2 es fácil de hallar → Seis valores de x cómodos

Calcula cada valor de y

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Dibuja los puntos y la asíntota

Marca $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ y traza la recta discontinua $x = 0$ → Puntos y asíntota $x = 0$

Únelos con una curva suave

La curva baja con fuerza cerca del eje $y$ sin tocarlo y sube despacio hacia la derecha → Curva creciente que pasa por $(1, 0)$

Respuesta: Dominio $x > 0$ , recorrido todos los números reales, asíntota vertical $x = 0$ , corte con el eje $x$ en $(1, 0)$ .

Errores comunes

Desplazar $y = \log_2(x - 3)$ tres unidades a la izquierda

Por qué está mal: El signo menos parece indicar un movimiento a la izquierda, pero el argumento $x - 3$ tiene que ser positivo, es decir, $x > 3$ : toda la gráfica está a la derecha de $x = 3$ .

Correcto: $y = \log_b(x - h)$ desplaza la gráfica $h$ unidades a la derecha. $y = \log_2(x - 3)$ tiene la asíntota $x = 3$ .

Dejar que la gráfica toque o cruce el eje $y$

Por qué está mal: $\log_b 0$ y el logaritmo de un número negativo no existen, porque $b^y$ siempre es positivo.

Correcto: La gráfica de $y = \log_b x$ se acerca cada vez más a $x = 0$ pero nunca llega. El dominio es $x > 0$ .

Pensar que la gráfica se estabiliza a cierta altura

Por qué está mal: La curva sube despacio y parece plana, pero nunca deja de subir: $\log_2 1024 = 10$ y $\log_2 1048576 = 20$ .

Correcto: Una gráfica logarítmica no tiene asíntota horizontal. El recorrido son todos los números reales.

Mantener el dominio $x > 0$ después de una traslación horizontal

Por qué está mal: El dominio depende del argumento, no de $x$ solo.

Correcto: En $y = \log_3(x + 5)$ el argumento $x + 5$ debe ser positivo, así que el dominio es $x > -5$ .

Por qué es importante

Las gráficas de funciones logarítmicas muestran cómo crece una magnitud cuando cada nuevo paso necesita muchas veces más entrada:

Sonido: un sonómetro muestra $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibelios; multiplicar la intensidad por $10$ solo añade $10$ dB, por eso la curva es tan plana.
Química: $\text{pH} = -\log[H^+]$ es una gráfica logarítmica reflejada: más iones de hidrógeno dan un pH más bajo.
Informática: la búsqueda binaria necesita unos $\log_2 n$ pasos para $n$ elementos; duplicar la lista solo añade un paso.
Terremotos: la escala de Richter sube $1$ cada vez que la amplitud se multiplica por $10$ .

Leer estas gráficas significa ver tres cosas de un vistazo: dónde está la asíntota, qué valores están permitidos (dominio) y lo rápido que sube la curva. Esta lección se apoya en «Definición de logaritmo» y te prepara para «Resolver ecuaciones logarítmicas».

Aplicaciones del mundo real

Nivel sonoro en decibelios

Un sonómetro muestra $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $\frac{I}{I_0}$ indica cuántas veces es más intenso el sonido que el sonido más débil que podemos oír. La gráfica es una curva logarítmica estirada: muy plana para intensidades grandes.

Ejemplo:

Un sonido $100$ veces más intenso que $I_0$ da $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un sonido otras $10$ veces más intenso solo da $30$ dB.

1Inténtalo tú mismo

En una biblioteca tranquila el sonido es $1000$ veces más intenso que el sonido audible más débil, así que $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

¿Cuál es el nivel sonoro $L$ en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $L = 10 \log(1000)$ :

Búsqueda binaria en informática

La búsqueda binaria encuentra un nombre en una lista ordenada partiéndola por la mitad una y otra vez. Para $n$ nombres necesita unas $\log_2 n$ divisiones, así que la gráfica del número de pasos es la gráfica de $y = \log_2 x$.

Ejemplo:

Una lista de $8$ nombres necesita $\log_2 8 = 3$ divisiones: $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Inténtalo tú mismo

Una lista de contactos ordenada tiene $1024$ nombres. Cada paso de la búsqueda binaria divide la lista por la mitad.

¿Cuántas divisiones hacen falta para quedarse con un solo nombre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\log_2(1024)$ :

La escala de pH en química

La acidez se mide con $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno. El signo menos refleja la gráfica logarítmica respecto del eje $x$, por eso el pH baja cuando la concentración sube.

Ejemplo:

El zumo de limón tiene $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , así que $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Inténtalo tú mismo

Una muestra de agua de lluvia tiene $[H^+] = 0{,}0001$ .

¿Cuál es su pH?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Puntos clave

1 $y = \log_b x$ es la inversa de $y = b^x$ : su gráfica es la simétrica de $y = b^x$ respecto de la recta $y = x$
2Puntos clave de $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ y $(b, 1)$
3Dominio $x > 0$ , recorrido todos los números reales, asíntota vertical $x = 0$ , sin corte con el eje $y$
4Para $b > 1$ la gráfica es creciente; para $0 < b < 1$ es decreciente
5 $y = \log_b(x - h) + k$ desplaza la gráfica $h$ a la derecha y $k$ hacia arriba: asíntota $x = h$ , dominio $x > h$
6Un signo menos delante del logaritmo refleja la gráfica respecto del eje $x$ ; $\log_b(-x)$ la refleja respecto del eje $y$

Preguntas frecuentes

¿Por qué la gráfica nunca toca el eje $y$ ?

En el eje

y

se cumple

x = 0

, y

\log_b 0

exigiría

b^y = 0

. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que ningún

y

sirve. Cerca de

x = 0

los valores son números negativos muy grandes en valor absoluto (para

b > 1

), por eso la curva cae a lo largo de la asíntota.

¿La gráfica logarítmica tiene una asíntota horizontal como la exponencial?

No. La gráfica exponencial tiene la asíntota horizontal

y = 0

; tras la simetría respecto de

y = x

se convierte en la asíntota vertical

x = 0

. La gráfica logarítmica sigue subiendo (para

b > 1

), solo que muy despacio.

¿Cómo son las gráficas de $\log x$ y de $\ln x$ ?

Las dos tienen una base mayor que 1 (

10

e \approx 2{,}718

), así que las dos son crecientes, pasan por

(1, 0)

y tienen la asíntota

x = 0

\ln x

pasa por

(e, 1)

\log x

por

(10, 1)

, por eso

\ln x

sube más rápido.

¿Cómo sé si una gráfica logarítmica crece o decrece?

Fíjate en la base. Si

b > 1

, la gráfica crece; si

0 < b < 1

, decrece. Un signo menos delante, como en

y = -\log_2 x

, también convierte una gráfica creciente en decreciente.

Glosario

Función logarítmica: Una función $f(x) = \log_b x$ con $b > 0$ , $b \neq 1$ ; da el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$
Asíntota vertical: Una recta vertical $x = h$ a la que la gráfica se acerca cada vez más sin tocarla; para $y = \log_b x$ es $x = 0$
Dominio: Todos los valores de x en los que la función está definida; para $y = \log_b(x - h)$ es $x > h$
Recorrido (imagen): Todos los valores de y que toma la función; para toda función logarítmica son todos los números reales
Función inversa: Una función que deshace otra; su gráfica es la simétrica respecto de $y = x$ , como $y = \log_b x$ para $y = b^x$
Puntos clave: Puntos fáciles de dibujar: $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ y $(b, 1)$ para $y = \log_b x$

Tarjeta de fórmulas

Función básica

y = \log_b x \iff b^y = x

Base $b > 0$, $b \neq 1$; dominio $x > 0$, recorrido todos los números reales

Puntos clave

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Dibuja primero estos tres puntos

Función transformada

y = \log_b(x - h) + k

Asíntota $x = h$, dominio $x > h$, puntos clave $(1 + h, k)$ y $(b + h, 1 + k)$

Simetrías

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

Respecto del eje $x$ y respecto del eje $y$ (dominio $x < 0$)

Inversa de la exponencial

(p, q) \text{ en } y = b^x \iff (q, p) \text{ en } y = \log_b x

Simetría respecto de la recta $y = x$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Nivel sonoro en decibelios

Búsqueda binaria en informática

La escala de pH en química

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Función básica

Puntos clave

Función transformada

Simetrías

Inversa de la exponencial

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