Regla de la potencia de los logaritmos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué expresión es igual a $\log_3(x^5)$ para $x > 0$ ?
1. a) $5 \log_3 x$
2. b) $(\log_3 x)^5$
3. c) $\log_3(5x)$
4. d) $\log_3 5 + \log_3 x$
Respuesta: $5 \log_3 x$
Por la regla de la potencia, $\log_3(x^5) = 5 \log_3 x$ . La expresión $(\log_3 x)^5$ eleva todo el logaritmo a la quinta, que es distinto.
2.
Calcula $\log_2(8^4)$ .
Respuesta: 12
$\log_2(8^4) = 4 \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$ . Comprobación: $8^4 = 2^{12} = 4096$ .
3.
Calcula $\log_3(9^4)$ con la regla de la potencia.
Respuesta: 8
1. La regla de la potencia da $4 \log_3 9$ . ¿Cuánto vale $\log_3 9$ ? 2
2. Multiplica: $4 \cdot \log_3 9 = ?$ 8
4.
¿Qué expresión es igual a $\log \sqrt{x}$ para $x > 0$ ?
1. a) $2 \log x$
2. b) $\log \frac{x}{2}$
3. c) $\sqrt{\log x}$
4. d) $\frac{1}{2} \log x$
Respuesta: $\frac{1}{2} \log x$
$\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ . Una raíz cuadrada reduce el logaritmo a la mitad, no lo duplica.
5.
Calcula $\log_5(25^3)$ .
Respuesta: 6
$\log_5(25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$ .
6.
Calcula $\log \sqrt{1000}$ (base 10).
Respuesta: 3/2
1. Escribe $\sqrt{1000} = 1000^k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 1/2
2. ¿Cuánto vale $\log 1000$ ? 3
3. Regla de la potencia: calcula $k \cdot \log 1000$ . 3/2
7.
Escribe $3 \log x - 2 \log y$ como un único logaritmo.
1. a) $\log(x^3 - y^2)$
2. b) $\frac{\log x^3}{\log y^2}$
3. c) $\log \frac{x^3}{y^2}$
4. d) $\log \frac{3x}{2y}$
Respuesta: $\log \frac{x^3}{y^2}$
$3 \log x = \log x^3$ y $2 \log y = \log y^2$ , así que $3 \log x - 2 \log y = \log x^3 - \log y^2 = \log \frac{x^3}{y^2}$ .
8.
Calcula $\log_4 \sqrt{64}$ . Da el resultado como fracción o como número decimal.
Respuesta: 3/2
$\log_4 \sqrt{64} = \frac{1}{2} \log_4 64 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Comprobación: $\sqrt{64} = 8$ y $4^{1{,}5} = 8$ .
9.
Desarrolla $\log_2(x^3 y^5)$ en la forma $a \log_2 x + b \log_2 y$ y después calcula su valor para $x = 2$ e $y = 4$ .
Respuesta: 13
1. ¿Cuál es el coeficiente $a$ de $\log_2 x$ ? 3
2. ¿Cuál es el coeficiente $b$ de $\log_2 y$ ? 5
3. Con $\log_2 2 = 1$ y $\log_2 4 = 2$ , calcula $3 \cdot 1 + 5 \cdot 2$ . 13
10.
¿Qué afirmación es verdadera?
1. a) $3 \log 100 = 8$
2. b) $\log(100^3) = 6$
3. c) $\log(100^3) = 8$
4. d) $(\log 100)^3 = 6$
Respuesta: $\log(100^3) = 6$
$\log(100^3) = 3 \log 100 = 3 \cdot 2 = 6$ por la regla de la potencia. En cambio, $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , porque ahí se eleva al cubo todo el logaritmo.
11.
Si $\log_3 x = 2{,}5$ , ¿cuánto vale $\log_3(x^4)$ ?
Respuesta: 10
$\log_3(x^4) = 4 \log_3 x = 4 \cdot 2{,}5 = 10$ . No necesitas conocer el valor de $x$ .
12.
Escribe $2 \log 5 + \log 4$ como un único logaritmo y calcula su valor.
Respuesta: 2
1. Regla de la potencia al revés: $2 \log 5 = \log ?$ 25
2. Regla del producto: $\log 25 + \log 4 = \log ?$ 100
3. ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
13.
Desarrolla $\ln \dfrac{x^4}{\sqrt{y}}$ en la forma $a \ln x + c \ln y$ y calcula su valor cuando $\ln x = 1$ y $\ln y = 6$ .
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el coeficiente $a$ de $\ln x$ ? 4
2. ¿Cuál es el coeficiente $c$ de $\ln y$ ? (Cuidado con el signo.) -1/2
3. Calcula $4 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 6$ . 1
14.
Desarrolla $\ln \dfrac{x^2 \sqrt[3]{y}}{z^4}$ (todas las variables positivas).
1. a) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
2. b) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y + 4 \ln z$
3. c) $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$
4. d) $\frac{2}{3} \ln(xy) - 4 \ln z$
Respuesta: $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
Regla del cociente, del producto y después de la potencia: $\ln x^2 + \ln y^{1/3} - \ln z^4 = 2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$ .
15.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ para aproximar $\log 48$ . Da 3 cifras decimales.
Respuesta: 1.681
$\log 48 = \log(2^4 \cdot 3) = 4 \log 2 + \log 3 \approx 4 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 1{,}204 + 0{,}477 = 1{,}681$ .
16.
Calcula $3 \log_2 4 - \frac{1}{2} \log_2 16$ compactándolo en un único logaritmo.
Respuesta: 4
1. $3 \log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 ?$ 64
2. $\frac{1}{2} \log_2 16 = \log_2 16^{1/2} = \log_2 ?$ 4
3. Regla del cociente: $\log_2 64 - \log_2 4 = \log_2 ?$ 16
4. ¿Cuánto vale $\log_2 16$ ? 4
17.
Usa $\ln 2 \approx 0{,}693$ y $\ln 3 \approx 1{,}099$ para aproximar $\ln \sqrt{72}$ . Trabaja solo con estos valores y no redondees.
Respuesta: 2.1385
1. $72 = 2^a \cdot 3^2$ . ¿Cuánto vale $a$ ? 3
2. $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Calcula $3 \cdot 0{,}693 + 2 \cdot 1{,}099$ . 4.277
3. $\ln \sqrt{72} = \frac{1}{2} \ln 72$ . Calcula la mitad de $4{,}277$ . 2.1385
18.
¿Cuántas cifras tiene $3^{50}$ ? Usa $\log 3 \approx 0{,}477$ .
Respuesta: 24
1. Regla de la potencia: $\log(3^{50}) = 50 \log 3$ . Calcula $50 \cdot 0{,}477$ . 23.85
2. ¿Cuál es la parte entera de ese resultado? 23
3. Suma 1. ¿Cuántas cifras tiene $3^{50}$ ? 24