Guía del profesor: Regla de la potencia de los logaritmos

Aprende cómo la regla de la potencia pasa un exponente delante del logaritmo, cómo las raíces se convierten en potencias fraccionarias y cómo desarrollar y compactar logaritmos con las tres reglas.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la regla de la potencia $\log_b(M^p) = p \log_b M$ y explicar por qué se deduce de las propiedades de las potencias
Reescribir logaritmos de raíces mediante exponentes fraccionarios
Desarrollar expresiones logarítmicas usando juntas las reglas del producto, del cociente y de la potencia
Compactar sumas y restas de logaritmos en un único logaritmo
Distinguir $\log(M^p)$ de $(\log M)^p$

Requisitos previos

• Definición de logaritmo
• Regla del producto para logaritmos
• Regla del cociente de los logaritmos
• Propiedades de las potencias, como $(b^x)^p = b^{px}$ y $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Iniciadores de discusión

1. Si un logaritmo es un exponente, ¿qué le pasa cuando elevas el argumento al cubo?
2. ¿Por qué $\log \sqrt{x}$ es la mitad de $\log x$ y no el doble?
3. ¿Cómo puedes saber cuántas cifras tiene $2^{100}$ sin calcularlo?
4. La calculadora da $\log(100^3) = 6$ pero $(\log 100)^3 = 8$ . ¿Cuál sigue la regla de la potencia y por qué?

Conceptos erróneos comunes

Creer que $(\log x)^2 = 2 \log x$

Remediación: Prueba con $x = 1000$ : $(\log 1000)^2 = 9$ , pero $2 \log 1000 = 6$ . Después muestra las tres curvas de la gráfica y deja que descubran dónde se diferencian.

Mover un exponente que solo afecta a un factor ( $\log 5x^3 = 3 \log 5x$ )

Remediación: Pide que rodeen exactamente aquello a lo que afecta el exponente antes de aplicar cualquier regla. Siempre primero la regla del producto y después la de la potencia.

Pensar que la regla solo vale con exponentes enteros

Remediación: Deduce la regla a partir de $(b^x)^p = b^{px}$ , que se cumple para todo $p$ real, y practica con raíces y exponentes negativos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con potencias de la base: $\log_2(2^5)$ , $\log_2(4^3)$ , $\log 10^7$
• Dar una lista de control: al desarrollar, regla del producto, del cociente y de la potencia, en ese orden
• Comprobar cada transformación con la calculadora antes de seguir

Para estudiantes de nivel:

• Desarrollar y compactar expresiones con tres variables y raíces
• Aproximar logaritmos como $\log 72$ o $\log 48$ a partir de $\log 2$ y $\log 3$
• Justificar cada paso con el nombre de la regla usada

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar la regla de la potencia a partir de la definición y de las propiedades de las potencias
• Usar la regla para contar las cifras de $3^{100}$ o de $2^{1000}$
• Investigar con la gráfica por qué $\log(x^2) = 2 \log |x|$ para todo $x \neq 0$

Alineación con estándares

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre potencias y logaritmos y usarla para resolver problemas
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de un modelo exponencial como logaritmo y calcularla con tecnología
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla

Recursos de la lección

visualGráfica con tres curvas
Compara $y = \log(x^2)$ , $y = 2 \log x$ e $y = (\log x)^2$ y sus tablas de valores
activityComprobación con calculadora
El alumnado prueba afirmaciones como $\log 8 = 3 \log 2$ y $\log(100^3) = (\log 100)^3$ en la calculadora
worksheetRelevo de desarrollar y compactar
Por parejas: uno desarrolla un logaritmo y el otro lo vuelve a compactar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla de la potencia de los logaritmos dice que un exponente dentro de un logaritmo puede pasar delante como factor:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Se cumple para cualquier exponente real

p

, siempre que

M > 0

b > 0

b \neq 1

Por qué es cierta: sea

x = \log_b M

, es decir,

M = b^x

. Entonces

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, y el logaritmo de

b^{px}

es simplemente

px

. Por tanto,

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Las raíces también son potencias. Como

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Ejemplo:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, y

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Junto con la regla del producto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) y la regla del cociente (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

), la regla de la potencia te permite desarrollar un logaritmo en varios logaritmos sencillos o compactar varios logaritmos en uno solo.

Ejemplos resueltos

Calcula $\log_2(8^5)$ sin calculadora.

Pasa el exponente delante

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Calcula el logaritmo más sencillo

$2^3 = 8$ , así que $\log_2 8 = 3$

Multiplica

$5 \cdot 3 = 15$

Respuesta: $\log_2(8^5) = 15$ . Comprobación: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Errores comunes

Tratar $(\log M)^p$ como $p \log M$

Por qué está mal: La regla de la potencia solo funciona cuando el exponente está en el argumento, dentro del logaritmo. En $(\log M)^p$ es todo el logaritmo el que se eleva. Ejemplo: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , pero $3 \log 100 = 6$ .

Correcto: $\log(M^p) = p \log M$ , mientras que $(\log M)^p$ no se simplifica con la regla de la potencia. Fíjate dónde está el exponente antes de moverlo.

Aplicar el exponente a todo el argumento: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Por qué está mal: En $3x^2$ solo $x$ está al cuadrado, no el $3$ . Compruébalo con $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , pero $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Correcto: Separa primero el producto: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Convertir una raíz cuadrada en un factor 2: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Por qué está mal: Una raíz cuadrada es la potencia $\frac{1}{2}$ , no la potencia $2$ . El índice de la raíz va al denominador.

Correcto: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , y $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

Compactar $3 \log x - \log y$ como $\log \frac{3x}{y}$

Por qué está mal: Un coeficiente delante de un logaritmo es un exponente del argumento, no un factor del mismo.

Correcto: Primero sube el coeficiente: $3 \log x = \log x^3$ . Después, $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Por qué es importante

La regla de la potencia es la propiedad que hace realmente útiles los logaritmos:

Resolver ecuaciones exponenciales: en $1{,}05^t = 2$ la incógnita está en el exponente. Al tomar logaritmos y aplicar la regla de la potencia se obtiene $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : el exponente baja y se convierte en un factor normal.
Números enormes: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ te dice al instante que $2^{64}$ tiene 20 cifras, sin calcularlo.
Escalas científicas: los decibelios, el pH y la escala de Richter usan logaritmos; la regla de la potencia explica por qué elevar al cuadrado una razón de intensidades duplica el cambio en decibelios.
Cálculo: antes de derivar un producto complicado de potencias, se desarrolla su logaritmo con la regla de la potencia.

Es la última de las tres reglas principales de los logaritmos, y a partir de ahora usarás las tres juntas en casi todos los ejercicios con logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Volumen en decibelios

El cambio de nivel sonoro es $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibelios, donde $\frac{I_2}{I_1}$ indica cuántas veces aumenta la intensidad. La regla de la potencia convierte las potencias de 10 en una simple multiplicación.

Ejemplo:

Si duplicas tu distancia a un altavoz, la intensidad se divide entre $2^2 = 4$ , así que $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Inténtalo tú mismo

Estás a 2 m de un altavoz y te alejas hasta 20 m. La intensidad del sonido disminuye con el cuadrado de la distancia, así que se divide entre $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . El nivel baja $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ decibelios.

¿Cuántos decibelios baja el nivel sonoro?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $10 \log(10^2)$ :

Contar las cifras de números enormes

Un número natural $N$ tiene $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cifras. Con la regla de la potencia puedes contar las cifras de potencias enormes sin calcularlas.

Ejemplo:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , así que $2^{10} = 1024$ tiene $3 + 1 = 4$ cifras.

2Inténtalo tú mismo

Los ordenadores suelen usar números de $64$ bits, y $2^{64}$ es la cantidad de valores distintos que pueden guardar. Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ .

¿Cuántas cifras tiene $2^{64}$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Número de cifras: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Crecimiento de una población

Una población que crece un porcentaje fijo cada año es una función exponencial del tiempo. Para saber cuándo alcanza una meta, la regla de la potencia baja el tiempo del exponente.

Ejemplo:

Con un crecimiento del 10 % anual, una población se duplica cuando $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , así que $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ años.

3Inténtalo tú mismo

Un pueblo tiene 20000 habitantes y crece un 3 % al año. Después de $t$ años tiene $20000 \cdot 1{,}03^t$ habitantes.

¿Después de cuántos años completos tiene el pueblo al menos 30000 habitantes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Redondea $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ hacia arriba a años enteros:

Puntos clave

1Regla de la potencia: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ para $M > 0$ y cualquier exponente real $p$
2Las raíces son potencias fraccionarias: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Un inverso es la potencia $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Desarrollar: primero separa productos y cocientes, después pasa cada exponente delante
5Compactar: primero convierte cada coeficiente en exponente, después une las sumas en productos y las restas en cocientes
6 $(\log M)^p$ no es $p \log M$ : el exponente tiene que estar dentro del logaritmo

Preguntas frecuentes

¿Por qué funciona la regla de la potencia?

Un logaritmo es un exponente. Si

\log_b M = x

, entonces

M = b^x

M^p = b^{px}

. Elevar a la potencia

p

multiplica el exponente por

p

, así que el logaritmo (el exponente) también queda multiplicado por

p

¿El exponente tiene que ser un número entero?

No. La regla de la potencia vale para cualquier exponente real: negativo (

\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M

), fraccionario (

\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M

) e incluso irracional.

¿Son $\log(x^2)$ y $2 \log x$ realmente la misma función?

Solo para

x > 0

. La función

\log(x^2)

también existe para

x

negativo (por ejemplo,

\log((-10)^2) = \log 100 = 2

), pero

2 \log x

no. Para todo

x \neq 0

la afirmación exacta es

\log(x^2) = 2 \log |x|

. La gráfica de arriba muestra ambas curvas.

¿Cuándo debo desarrollar y cuándo compactar?

Desarrolla cuando quieras piezas sencillas, por ejemplo para aproximar

\log 72

a partir de

\log 2

\log 3

. Compacta cuando quieras un único logaritmo, por ejemplo para resolver una ecuación como

2 \log x - \log 4 = 2

(consulta Resolver ecuaciones logarítmicas).

Glosario

Regla de la potencia: La propiedad de los logaritmos $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exponente: El número que indica cuántas veces se usa la base como factor, como en $M^p$
Exponente fraccionario: Un exponente escrito como fracción; $M^{1/n}$ es la raíz $n$ -ésima de $M$
Desarrollar: Escribir un logaritmo como suma y resta de logaritmos más sencillos
Compactar: Escribir varios logaritmos como un único logaritmo
Coeficiente: Un número que multiplica a un logaritmo, como el $3$ de $3 \log x$ ; la regla de la potencia lo convierte en exponente

Tarjeta de fórmulas

Regla de la potencia

\log_b(M^p) = p \log_b M

El exponente del argumento pasa delante

Regla de la raíz

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Porque $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Inverso

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Porque $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Regla del producto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Recuerda: los productos se convierten en sumas

Regla del cociente

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Recuerda: los cocientes se convierten en restas

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Volumen en decibelios

Contar las cifras de números enormes

Crecimiento de una población

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Regla de la potencia

Regla de la raíz

Inverso

Regla del producto

Regla del cociente

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