Regla del cociente de los logaritmos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué expresión es igual a $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (para $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M - \log_b N$
3. c) $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$
4. d) $\log_b N - \log_b M$
Respuesta: $\log_b M - \log_b N$
Regla del cociente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ . El cociente de logaritmos $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$ es otra cosa, y $\log_b N - \log_b M$ tiene el orden equivocado.
2.
Desarrolla $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right)$ para $x > 0$ .
1. a) $\log_3 x - \log_3 7$
2. b) $\log_3 7 - \log_3 x$
3. c) $\dfrac{\log_3 x}{\log_3 7}$
4. d) $\log_3(x - 7)$
Respuesta: $\log_3 x - \log_3 7$
El numerador es $x$ y el denominador es $7$ , así que $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ .
3.
Calcula $\log_2 48 - \log_2 3$ .
Respuesta: 4
$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\left(\dfrac{48}{3}\right) = \log_2 16 = 4$ , porque $2^4 = 16$ .
4.
Calcula $\log 5000 - \log 5$ (logaritmo decimal, base 10).
Respuesta: 3
$\log 5000 - \log 5 = \log\left(\dfrac{5000}{5}\right) = \log 1000 = 3$ , porque $10^3 = 1000$ .
5.
Calcula $\log_3 162 - \log_3 2$ .
Respuesta: 4
1. Compacta: $\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3 \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 81
2. $3^{\square} = 81$ . ¿Cuál es el exponente, es decir, cuánto vale $\log_3 81$ ? 4
6.
¿Qué afirmación es verdadera?
1. a) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$
2. b) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 1$
3. c) $\log(100 - 10) = \log 100 - \log 10$
4. d) $\log 100 - \log 10 = \log 10$
Respuesta: $\log 100 - \log 10 = \log 10$
$\log 100 - \log 10 = 2 - 1 = 1 = \log 10$ (regla del cociente: $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10$ ). Las demás son falsas: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 2$ y $\log 90 \approx 1{,}954 \neq 1$ .
7.
Sabes que $\log_2 x = 7$ . Halla $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right)$ .
Respuesta: 2
1. Desarrolla: $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right) = \log_2 x - \log_2 32$ . ¿Cuánto vale $\log_2 32$ ? 5
2. Sustituye $\log_2 x = 7$ : ¿cuánto es $7 - 5$ ? 2
8.
Calcula $\log_6 72 - \log_6 2$ .
Respuesta: 2
$\log_6 72 - \log_6 2 = \log_6\left(\dfrac{72}{2}\right) = \log_6 36 = 2$ ( $6^2 = 36$ ).
9.
Escribe $\log 300 - \log 3$ como un solo logaritmo y calcúlalo.
Respuesta: 2
1. $\log 300 - \log 3 = \log \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 100
2. ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
10.
Escribe $\log a + \log b - \log c$ como un solo logaritmo ( $a, b, c > 0$ ).
1. a) $\log(a + b - c)$
2. b) $\log(abc)$
3. c) $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
4. d) $\log\left(\dfrac{ac}{b}\right)$
Respuesta: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
Regla del producto: $\log a + \log b = \log(ab)$ . Regla del cociente: $\log(ab) - \log c = \log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ .
11.
Usa $\log 2 \approx 0{,}3$ y $\log 5 \approx 0{,}7$ (logaritmo decimal, base 10) para calcular aproximadamente $\log\left(\dfrac{2}{5}\right)$ .
Respuesta: -0.4
1. $\log\left(\dfrac{2}{5}\right) = \log 2 - \log 5$ . ¿Cuál es el valor del primer término, $\log 2$ ? 0.3
2. Resta: ¿cuánto es $0{,}3 - 0{,}7$ ? -0.4
12.
Usa $\log 3 \approx 0{,}477$ y $\log 12 \approx 1{,}079$ (logaritmo decimal, base 10) para calcular aproximadamente $\log 4$ . Da el resultado con 3 decimales.
Respuesta: 0.602
$4 = \dfrac{12}{3}$ , así que $\log 4 = \log 12 - \log 3 \approx 1{,}079 - 0{,}477 = 0{,}602$ (la calculadora da $0{,}60206$ ).
13.
Calcula $\log_2 24 + \log_2 4 - \log_2 3$ .
Respuesta: 5
1. Regla del producto: $\log_2 24 + \log_2 4 = \log_2 \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 96
2. Regla del cociente: $\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 32
3. ¿Cuánto vale $\log_2 32$ ? 5
14.
Sabiendo que $\log_b x = 4$ , $\log_b y = 1{,}5$ y $\log_b z = 2$ , halla $\log_b\left(\dfrac{xy}{z}\right)$ .
Respuesta: 3.5
1. Numerador: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ . ¿Cuál es su valor? 5.5
2. Resta $\log_b z$ : ¿cuánto es $5{,}5 - 2$ ? 3.5
15.
Desarrolla por completo $\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right)$ ( $x, y > 0$ ).
1. a) $4 + \log_2 x - \log_2 y$
2. b) $4 - \log_2 x + \log_2 y$
3. c) $4 - \log_2 x - \log_2 y$
4. d) $\dfrac{4}{\log_2 x + \log_2 y}$
Respuesta: $4 - \log_2 x - \log_2 y$
$\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right) = \log_2 16 - (\log_2 x + \log_2 y) = 4 - \log_2 x - \log_2 y$
16.
Calcula $\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4$ .
Respuesta: 3
$\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4 = \log_5\left(\dfrac{500}{4}\right) = \log_5 125 = 3$ ( $5^3 = 125$ )
17.
Sabiendo que $\log_b M = 6$ , $\log_b N = 2{,}5$ y $\log_b P = 1$ , halla $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right)$ .
Respuesta: 2.5
1. Denominador: $\log_b(NP) = \log_b N + \log_b P$ . ¿Cuál es su valor? 3.5
2. $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log_b M - \log_b(NP)$ . ¿Cuánto es $6 - 3{,}5$ ? 2.5
18.
Demuestra que $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ no es lo mismo que $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ : ¿cuánto vale $\dfrac{\log 1000}{\log 10} - \log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ?
Respuesta: 1
1. ¿Cuánto vale $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ? 2
3. ¿Cuánto es la diferencia $3 - 2$ ? 1