Guía del profesor: Regla del cociente de los logaritmos

Aprende por qué el logaritmo de un cociente es una diferencia de logaritmos y usa la regla para desarrollar y compactar expresiones.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la regla del cociente de los logaritmos y las condiciones sobre $M$ , $N$ y la base
Explicar por qué la regla se deduce de la regla de los exponentes $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
Desarrollar logaritmos de cocientes como diferencias, también junto con la regla del producto
Compactar sumas y diferencias de logaritmos en un solo logaritmo y calcularlo
Reconocer y corregir los errores $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ y $\log(M - N) = \log M - \log N$

Requisitos previos

• Definición de logaritmo: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$
• Regla del producto para logaritmos: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Reglas de los exponentes, sobre todo $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
• Calcular logaritmos de potencias exactas como $\log_2 32$ o $\log 1000$

Iniciadores de discusión

1. La regla del producto convierte una multiplicación en una suma. Antes de ver la regla del cociente, ¿qué crees que le pasa a una división?
2. ¿Por qué desaparece la referencia $I_0$ al restar dos niveles en decibelios?
3. ¿Es $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ lo mismo que $\log\left(\dfrac{N}{M}\right)$ ? ¿Qué relación hay entre los dos?
4. Una compañera escribe $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$ . ¿Cómo la convencerías, con un solo cálculo, de que está mal?

Conceptos erróneos comunes

Creer que una fracción de dos logaritmos se simplifica como el logaritmo de una fracción

Remediación: Pon $\dfrac{\log 100}{\log 10}$ y $\log\left(\dfrac{100}{10}\right)$ uno al lado del otro y calcula los dos ( $2$ frente a $1$ ). Insiste en dónde está la raya de fracción: dentro del logaritmo o entre dos logaritmos.

Creer que el logaritmo se distribuye sobre una resta, es decir, $\log(M - N) = \log M - \log N$

Remediación: Haz que lo prueben con la calculadora ( $\log 90$ frente a $1$ ) y compara con $\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Las reglas solo relacionan operaciones DENTRO del logaritmo (multiplicar, dividir) con operaciones FUERA (sumar, restar).

Sumar el logaritmo de un segundo factor del denominador, como en $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Remediación: Pide que escriban primero $\log M - \log(NP)$ con paréntesis y que después quiten el paréntesis. Comprueba con números como $M = 100$ , $N = 2$ , $P = 5$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Trabajar al principio solo con potencias exactas ( $\log_2 32 - \log_2 4$ ) para que cada paso se pueda comprobar a mano
• Colorear el numerador y el denominador y usar los mismos colores para los términos con más y con menos
• Comprobar siempre la expresión reescrita con un ejemplo en la calculadora antes de seguir

Para estudiantes de nivel:

• Desarrollar cocientes con variables, como $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$
• Combinar la regla del cociente y la del producto en las dos direcciones
• Usar valores dados como $\log_b 2$ y $\log_b 5$ para hallar $\log_b 2{,}5$ o $\log_b 0{,}4$

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar la regla del cociente a partir de la del producto usando $\dfrac{M}{N} = M \cdot \dfrac{1}{N}$
• Explicar con la regla del cociente por qué la gráfica de $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ es la de $y = \log x$ desplazada $\log a$ hacia abajo
• Deducir la fórmula de la diferencia en decibelios entre dos sonidos y aplicarla a datos reales

Alineación con estándares

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usarla para resolver problemas con logaritmos y exponentes
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de un modelo exponencial como un logaritmo y calcularla

Recursos de la lección

visualGráficas superpuestas
Representa $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ e $y = \log x - \log a$ con un deslizador para $a$ : las curvas coinciden, mientras que $y = \dfrac{\log x}{\log a}$ no
activityClasificación de tarjetas verdadero o falso
Los estudiantes prueban afirmaciones como $\log(M - N) = \log M - \log N$ con la calculadora y las clasifican en reglas y trampas
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Ejercicios por parejas: desarrollar un cociente, después compactar el resultado y comprobar que se vuelve a la expresión inicial

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla del cociente de los logaritmos dice: el logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

La regla se cumple para

M > 0

N > 0

y una base

b > 0

con

b \neq 1

Por qué funciona: un logaritmo es un exponente. Escribe

\log_b M = x

\log_b N = y

, así que

M = b^x

N = b^y

. Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

Es la gemela de la regla del producto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): multiplicar dentro del logaritmo se convierte en sumar fuera, y dividir dentro se convierte en restar fuera.

Ejemplo:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, y en efecto

\log_2 8 = 3

Puedes usar la regla en dos direcciones:

Desarrollar: separar el logaritmo de un cociente en una diferencia, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Compactar: juntar una diferencia en un solo logaritmo, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Ejemplos resueltos

Demuestra que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Calcular directamente el lado izquierdo

$\dfrac{32}{4} = 8$ y $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Calcular cada logaritmo del lado derecho

$2^5 = 32$ y $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Restar

$5 - 2 = 3$

Comparar los dos lados

Lado izquierdo $3$ , lado derecho $3$ → Los dos lados son iguales

Respuesta: Los dos lados valen $3$ , así que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Errores comunes

Escribir $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Por qué está mal: Un cociente de dos logaritmos no es el logaritmo de un cociente. Compruébalo: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , pero $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Correcto: La regla convierte una división DENTRO del logaritmo en una resta: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . La fracción $\dfrac{\log M}{\log N}$ no tiene ningún atajo de este tipo.

Escribir $\log(M - N) = \log M - \log N$

Por qué está mal: La regla trata de un cociente dentro del logaritmo, no de una diferencia. Compruébalo: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , pero $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Correcto: No hay ninguna regla que separe $\log(M - N)$ . Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ se convierte en $\log M - \log N$ .

Restar en el orden equivocado: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Por qué está mal: La resta no es conmutativa, así que el orden importa. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , pero $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Correcto: Primero el numerador, menos el denominador: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

Escribir $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Por qué está mal: Tanto $N$ como $P$ están en el denominador, así que se restan los dos logaritmos. El $+$ trata a $P$ como si estuviera en el numerador.

Correcto: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Usa paréntesis: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Por qué es importante

La regla del cociente convierte una división en una resta, y eso es justo lo que necesitan muchas fórmulas:

Comparar dos mediciones: los decibelios, el pH y la escala de Richter comparan una magnitud con un valor de referencia mediante $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . La regla del cociente muestra que la diferencia entre dos niveles solo depende de la razón entre las dos magnitudes.
Sonido: dos sonidos cuyas intensidades están en razón $1000$ se diferencian en $10 \log 1000 = 30$ decibelios, sin importar lo fuertes que sean.
Química: dos disoluciones cuyas concentraciones de iones hidrógeno difieren en un factor $100$ se diferencian exactamente en $2$ en la escala de pH.
Simplificar expresiones: desarrollar $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ como $\log a + \log b - \log c$ hace mucho más fácil el álgebra posterior (y el cálculo).
Resolver ecuaciones: compactar $\log_3 x - \log_3 4$ en $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ suele ser el primer paso para resolver una ecuación logarítmica.

Junto con la regla del producto y la regla de la potencia, la regla del cociente te permite reescribir casi cualquier expresión logarítmica en la forma que necesitas.

Aplicaciones del mundo real

Comparar niveles de sonido en decibelios

El nivel sonoro es $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibelios, donde $I$ es la intensidad e $I_0$ una referencia fija. Por la regla del cociente, la diferencia entre dos niveles es $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: la referencia $I_0$ se cancela.

Ejemplo:

Un sonido 100 veces más intenso que otro suena $10 \log 100 = 20$ decibelios más fuerte.

1Inténtalo tú mismo

Un altavoz produce una intensidad de $I_A = 0{,}01$ W/m², y una calle tranquila $I_B = 0{,}00001$ W/m².

¿Cuántos decibelios más fuerte suena el altavoz que la calle?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Comparar la acidez con el pH

En química, $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno. Por la regla del cociente, la diferencia de pH entre dos disoluciones es el logaritmo de la razón de sus concentraciones.

Ejemplo:

El café tiene $[H^+] = 10^{-5}$ y el agua pura $10^{-7}$ . La diferencia de pH es $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 frente a pH 7).

2Inténtalo tú mismo

El zumo de tomate tiene $[H^+] = 10^{-4}$ y el agua pura tiene $[H^+] = 10^{-7}$ .

¿Cuánto más bajo es el pH del zumo de tomate que el del agua?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Comparar terremotos en la escala de Richter

La magnitud de Richter es $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud del movimiento del suelo y $A_0$ una amplitud de referencia. Para dos terremotos medidos a la misma distancia, la regla del cociente da $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Ejemplo:

Si un terremoto tiene 10 veces la amplitud de otro, su magnitud es $\log 10 = 1$ mayor.

3Inténtalo tú mismo

Dos terremotos se registran a la misma distancia. El primero tiene una amplitud $A_1 = 50000$ micrómetros y el segundo $A_2 = 500$ micrómetros. El segundo terremoto tiene magnitud $4$ .

¿Qué magnitud tiene el primer terremoto?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Puntos clave

1Regla del cociente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ para $M, N > 0$
2Viene de la regla de los exponentes $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : al dividir potencias se restan los exponentes
3Desarrollar separa el logaritmo de un cociente en una diferencia; compactar junta una diferencia en un solo logaritmo
4Primero el numerador: siempre se resta el logaritmo del denominador
5Con la regla del producto: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ y $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ y $\log(M - N)$ NO son iguales a $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Preguntas frecuentes

¿Los dos logaritmos tienen que tener la misma base?

Sí.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

solo funciona cuando los dos términos tienen la misma base

b

. Una diferencia como

\log_2 8 - \log_3 9

no se puede compactar en un solo logaritmo con esta regla.

¿Qué pasa cuando el cociente es menor que 1?

Entonces el logaritmo es negativo (con una base mayor que 1), y la regla muestra por qué:

\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3

. En general,

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

¿Puedo desarrollar $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ ?

Sí, para

x > 2

\log x - \log(x - 2)

. Pero

\log(x - 2)

se queda como está, porque no hay ninguna regla para el logaritmo de una diferencia.

¿Por qué se dice que es la gemela de la regla del producto?

Dividir entre

N

es multiplicar por

\dfrac{1}{N}

, así que

\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N

. Cada paso con la regla del cociente es un paso con la regla del producto disfrazado.

Glosario

Regla del cociente: La propiedad $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ para $M, N > 0$
Cociente: El resultado de una división; en $\dfrac{M}{N}$ , $M$ es el numerador y $N$ el denominador
Desarrollar: Reescribir el logaritmo de un producto o de un cociente como suma o diferencia de logaritmos más sencillos
Compactar: Juntar una suma o diferencia de logaritmos con la misma base en un solo logaritmo
Argumento: El número dentro de un logaritmo, como $M$ en $\log_b M$ ; tiene que ser positivo

Tarjeta de fórmulas

Regla del cociente

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Para $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Inverso

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Caso especial con $M = 1$, porque $\log_b 1 = 0$

Con la regla del producto

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Los factores del numerador se suman y los del denominador se restan

No es una regla

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Un cociente de logaritmos no es el logaritmo de un cociente

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Para estudiantes con dificultades:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Comparar niveles de sonido en decibelios

Comparar la acidez con el pH

Comparar terremotos en la escala de Richter

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Regla del cociente

Inverso

Con la regla del producto

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