Resolver ecuaciones logarítmicas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué ecuación es la forma exponencial de $\log_4 x = 3$ ?
1. a) $x = 4^3$
2. b) $x = 3^4$
3. c) $x = \frac{4}{3}$
4. d) $x = 3 \cdot 4$
Respuesta: $x = 4^3$
$\log_b A = c \iff A = b^c$ . Aquí $b = 4$ y $c = 3$ , así que $x = 4^3 = 64$ .
2.
Resuelve $\log_5 x = 3$ .
Respuesta: 125
$x = 5^3 = 125$ . Comprobación: $\log_5 125 = 3$ porque $5^3 = 125$ .
3.
Resuelve $\log_4(x - 3) = 2$ .
Respuesta: 19
1. Pasa a forma exponencial: $x - 3 = 4^2$ . ¿Cuánto es $4^2$ ? 16
2. Resuelve $x - 3 = 16$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 19
3. Comprobación del dominio: ¿cuánto vale el argumento $x - 3$ para tu $x$ ? (Debe ser positivo.) 16
4.
¿Qué valor NO puede ser solución de una ecuación que contiene $\log_3(x - 5)$ ?
1. a) $x = 32$
2. b) $x = 14$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 6$
Respuesta: $x = 4$
El argumento debe ser positivo: $x - 5 > 0$ , así que $x > 5$ . Para $x = 4$ el argumento es $4 - 5 = -1$ , y $\log_3(-1)$ no está definido.
5.
Resuelve $\log_2(3x - 1) = 3$ .
Respuesta: 3
$3x - 1 = 2^3 = 8$ , luego $3x = 9$ y $x = 3$ . Comprobación: el argumento $3 \cdot 3 - 1 = 8$ es positivo y $\log_2 8 = 3$ .
6.
Resuelve $\ln x = 2$ . Redondea a dos decimales.
Respuesta: 7.39
1. Pasa a forma exponencial: $x = e^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 2
2. Calcula $e^2$ y redondea a dos decimales. 7.39
7.
Resuelve $\log_3(5x - 4) = \log_3(2x + 11)$ .
Respuesta: 5
1. Iguala los argumentos: $5x - 4 = 2x + 11$ . Agrupa: $3x = \square$ 15
2. ¿Cuánto vale $x$ ? 5
3. Comprobación: ¿cuánto vale el argumento $5x - 4$ para este $x$ ? 21
8.
Resuelve $2 \log_5 x = \log_5 36$ .
Respuesta: 6
Regla de la potencia: $\log_5(x^2) = \log_5 36$ , luego $x^2 = 36$ y $x = 6$ o $x = -6$ . En la ecuación original $\log_5(-6)$ no está definido, así que $x = -6$ es una solución extraña. La solución es $x = 6$ .
9.
¿Qué expresión es la solución exacta de $7^x = 50$ ?
1. a) $\log 50 - \log 7$
2. b) $\frac{\log 50}{\log 7}$
3. c) $\frac{50}{7}$
4. d) $\log \frac{50}{7}$
Respuesta: $\frac{\log 50}{\log 7}$
$\log(7^x) = \log 50$ da $x \log 7 = \log 50$ , así que $x = \frac{\log 50}{\log 7} \approx 2{,}01$ . Ojo: $\log \frac{50}{7}$ y $\log 50 - \log 7$ son el mismo número (unos $0{,}85$ ) y son incorrectos.
10.
Resuelve $5^x = 40$ tomando el logaritmo decimal de ambos miembros. Redondea a dos decimales.
Respuesta: 2.29
1. Tras la regla de la potencia tienes $x \log 5 = \log 40$ . ¿Cuánto es $\log 40$ , redondeado a tres decimales? 1.602
2. ¿Cuánto es $\log 5$ , redondeado a tres decimales? 0.699
3. Divide: $x = \frac{\log 40}{\log 5}$ . Redondea $x$ a dos decimales. 2.29
11.
Resuelve $2^x = 20$ . Redondea a dos decimales.
Respuesta: 4.32
$x \log 2 = \log 20$ , así que $x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32$ . Encaja con la estimación $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$ .
12.
Resuelve $\log_2(x + 6) - \log_2(x - 1) = 3$ .
Respuesta: 2
1. Compacta: $\log_2 \frac{x + 6}{x - 1} = 3$ . Pasa a forma exponencial: $\frac{x + 6}{x - 1} = \square$ 8
2. Multiplica por $(x - 1)$ : $x + 6 = 8x - 8$ . Agrupa: $7x = \square$ 14
3. ¿Cuánto vale $x$ ? (Comprueba que $x - 1$ es positivo.) 2
13.
Resuelve $\log_6 x + \log_6(x + 1) = 1$ .
Respuesta: 2
1. Compacta: $\log_6\big(x(x + 1)\big) = 1$ . Forma exponencial: $x(x + 1) = \square$ 6
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ . ¿Cuál es el candidato positivo? 2
3. ¿Cuál es el otro candidato? -3
4. ¿Qué candidato es la solución? (Todos los argumentos deben ser positivos.) 2
14.
Resuelve $\log_2 x + \log_2(x - 6) = 4$ .
1. a)solo $x = 8$
2. b) $x = 8$ y $x = -2$
3. c)no tiene solución
4. d)solo $x = -2$
Respuesta: solo $x = 8$
$\log_2\big(x(x - 6)\big) = 4$ , luego $x^2 - 6x = 16$ , $x^2 - 6x - 16 = 0$ , $(x - 8)(x + 2) = 0$ . Con $x = -2$ , $\log_2(-2)$ no está definido, así que solo queda $x = 8$ : $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ ✓
15.
Resuelve $\log_3 x + \log_3(x - 8) = 2$ .
Respuesta: 9
1. Compacta y reescribe: $x(x - 8) = 3^2 = \square$ 9
2. $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$ . ¿Cuál es el candidato positivo? 9
3. ¿Cuál es el otro candidato? -1
4. ¿Qué candidato es la solución? (Comprueba los argumentos $x$ y $x - 8$ .) 9
16.
Resuelve $\log(x + 9) - \log x = 1$ , donde $\log$ es el logaritmo decimal (base 10).
Respuesta: 1
$\log \frac{x + 9}{x} = 1$ , luego $\frac{x + 9}{x} = 10$ , $x + 9 = 10x$ , $9x = 9$ , $x = 1$ . Comprobación: $\log 10 - \log 1 = 1 - 0 = 1$ ✓
17.
Resuelve $\log(x + 3) + \log x = 1$ (logaritmo decimal, base 10).
1. a)solo $x = 2$
2. b) $x = 2$ y $x = -5$
3. c)no tiene solución
4. d)solo $x = -5$
Respuesta: solo $x = 2$
$\log\big(x(x + 3)\big) = 1$ , luego $x^2 + 3x = 10$ , $(x + 5)(x - 2) = 0$ . Para $x = -5$ , $\log(-2)$ y $\log(-5)$ no están definidos: es una solución extraña. La solución es $x = 2$ : $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓
18.
Resuelve $4 \cdot 3^{x - 1} = 100$ . Redondea a dos decimales.
Respuesta: 3.93
1. Divide ambos miembros entre 4. $3^{x - 1} = \square$ 25
2. Toma logaritmos: $x - 1 = \frac{\log 25}{\log 3}$ . Redondea $x - 1$ a dos decimales. 2.93
3. ¿Cuánto vale $x$ , redondeado a dos decimales? 3.93