Guía del profesor: Resolver ecuaciones logarítmicas

Resuelve ecuaciones con la incógnita dentro de un logaritmo, descarta las soluciones extrañas y usa logaritmos para resolver ecuaciones como 3^x = 20.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones logarítmicas pasándolas a forma exponencial
Resolver ecuaciones con logaritmos en ambos miembros usando la igualdad de logaritmos
Compactar sumas y restas de logaritmos antes de resolver, e identificar y descartar soluciones extrañas
Resolver ecuaciones exponenciales con bases distintas tomando logaritmos, dando el valor exacto y el redondeado

Requisitos previos

• Definición de logaritmo (paso entre forma logarítmica y forma exponencial)
• Reglas del producto, del cociente y de la potencia para logaritmos
• Fórmula del cambio de base
• Resolver ecuaciones exponenciales (método de la misma base)
• Resolución de ecuaciones lineales y de segundo grado por factorización

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué puedes quitar los logaritmos en $\log_5 A = \log_5 B$ , pero no en $\log_5 A + \log_5 B = 2$ ?
2. La ecuación $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ da los candidatos $4$ y $-2$ . ¿De dónde sale el segundo?
3. ¿Puede tener solución $\log_3 x = -2$ aunque el miembro derecho sea negativo? ¿Y $\log_3 x = 0$ ?
4. Antes de usar la calculadora, ¿cómo sabes que la solución de $3^x = 20$ está entre $2$ y $3$ ?

Conceptos erróneos comunes

Cualquier número que sale al resolver es una solución

Remediación: Haz de la comprobación del dominio un último paso fijo. Muestra las gráficas de $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ y de $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ : coinciden para $x > 2$ , pero solo la compactada existe para $x < 0$ .

Un valor negativo de $x$ siempre es una solución extraña

Remediación: Usa $\log_2(x + 5) = 1$ , donde $x = -3$ es una solución válida. Insiste en que los que deben ser positivos son los argumentos, no la propia $x$ .

$\frac{\log 20}{\log 3}$ es igual a $\log \frac{20}{3}$

Remediación: Pide que calculen ambos con la calculadora: $2{,}73$ frente a unos $0{,}82$ . La regla del cociente habla del logaritmo de un cociente, no de un cociente de logaritmos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con ecuaciones directas como $\log_2 x = 5$ y practicar solo el paso a forma exponencial
• Dar una lista fija de pasos: compactar, reescribir, resolver, comprobar el dominio
• Ofrecer una tabla de potencias de 2, 3, 5 y 10 para reconocer valores como $81 = 3^4$

Para estudiantes de nivel:

• Resolver ecuaciones con logaritmos en ambos miembros y con una expresión dentro del logaritmo
• Resolver ecuaciones que al compactar dan una ecuación de segundo grado y descartar el candidato extraño
• Resolver ecuaciones exponenciales como $5^x = 40$ y redondear a dos decimales

Para estudiantes avanzados:

• Resolver ecuaciones con logaritmos de bases distintas aplicando antes la fórmula del cambio de base
• Resolver ecuaciones exponenciales con la incógnita en ambos miembros, como $2^{x+1} = 3^x$ , tomando logaritmos
• Construir una ecuación en la que los dos candidatos sean extraños y explicar por qué no tiene solución

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
En modelos exponenciales, expresar como logaritmo la solución de ab^(ct) = d, donde a, c y d son números y la base b es 2, 10 o e; evaluar el logaritmo con tecnología
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usarla para resolver problemas con logaritmos y exponentes
HSA-REI.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.2)
Resolver ecuaciones sencillas con una variable y dar ejemplos de cómo pueden aparecer soluciones extrañas
HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de corte de las gráficas de y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x)

Recursos de la lección

visualDos gráficas, una ecuación
El alumnado compara las gráficas de la ecuación original y de la compactada y ve de dónde sale la solución extraña
activityAceptar o descartar
Tarjetas con una ecuación y un candidato: los alumnos sustituyen y deciden si todos los argumentos siguen siendo positivos
worksheetPráctica de ecuaciones logarítmicas
Ecuaciones desde la forma exponencial hasta compactar con soluciones extrañas, con una columna para comprobar el dominio

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo, por ejemplo

\log_2 x = 3

\log_3(2x + 1) = 2

Dos herramientas resuelven casi cualquier ecuación logarítmica:

1. Pasar a forma exponencial. Un logaritmo es un exponente, así que

\log_b A = c \iff A = b^c

Por ejemplo,

\log_2 x = 3

significa que

x = 2^3 = 8

. En la gráfica, la recta

y = 3

corta la curva

y = \log_2 x

justo en

x = 8

2. Usar la igualdad de logaritmos. Si dos logaritmos de la misma base son iguales, sus argumentos son iguales:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

El método:

1.Compactar cada miembro en un solo logaritmo con las reglas del producto, del cociente y de la potencia.
2.Reescribir en forma exponencial, o igualar los argumentos.
3.Resolver la ecuación que resulta (normalmente lineal o de segundo grado).
4.Comprobar el dominio: cada argumento de la ecuación ORIGINAL debe ser positivo. Un candidato que hace que un argumento sea cero o negativo es una solución extraña y se descarta.

Ecuaciones exponenciales con bases distintas. Cuando los dos miembros de una ecuación exponencial no se pueden escribir con la misma base, se toma el logaritmo de ambos miembros y se aplica la regla de la potencia:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Aquí

\log

es el logaritmo decimal (base 10). El logaritmo natural

\ln

da el mismo resultado.

Ejemplos resueltos

Resuelve $\log_2 x = 3$ .

Identificar las partes

Base $2$ , argumento $x$ , valor del logaritmo $3$ → $\log_2 x = 3$

Pasar a forma exponencial

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Calcular la potencia

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Comprobar

$\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$ ✓, y el argumento $8$ es positivo → La solución es válida

Respuesta: $x = 8$

Errores comunes

Quedarse con los dos candidatos: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ o $x = -2$

Por qué está mal: Al compactar en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ parece que se permiten valores negativos de $x$ , porque el producto de dos números negativos es positivo. Pero la ecuación original contiene $\log_2 x$ , que no está definido para $x = -2$ .

Correcto: Comprueba cada candidato en la ecuación ORIGINAL. Solo sirve $x = 4$ ; $x = -2$ es una solución extraña.

Quitar los logaritmos sin más: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Por qué está mal: Solo puedes quitar los logaritmos cuando cada miembro es un único logaritmo de la misma base (igualdad de logaritmos). Aquí el miembro izquierdo es una suma de logaritmos y el derecho es un número.

Correcto: Primero compacta, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , y después pasa a forma exponencial: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Intercambiar base y exponente: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Por qué está mal: En $\log_b A = c$ la base $b$ se eleva a $c$ . La base del logaritmo sigue siendo la base de la potencia.

Correcto: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , así que $x = 4$ . Comprobación: $\log_3 9 = 2$ ✓

Dividir en lugar de tomar logaritmos: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Por qué está mal: $3^x$ es una potencia, no el producto $3 \cdot x$ . Una comprobación rápida muestra el error: $3^{6{,}67}$ vale unos $1500$ , mucho más que $20$ .

Correcto: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Ojo: $\frac{\log 20}{\log 3}$ NO es lo mismo que $\log \frac{20}{3}$ .

Por qué es importante

Las ecuaciones logarítmicas responden a preguntas de ¿cuánto tiempo? y ¿con qué intensidad? siempre que algo crece o disminuye por un factor constante:

Finanzas: ¿en cuántos años se duplican unos ahorros al 8 % de interés? Resuelve $1{,}08^t = 2$ .
Biología: ¿cuándo alcanza un cultivo de bacterias un tamaño que no es una potencia de 2?
Acústica: ¿cuántas veces más intenso es un cortacésped de 90 dB que el sonido más débil que puedes oír?
Química y geología: el pH y la escala de Richter son logaritmos. Para hallar la concentración o la energía que hay detrás hay que resolver una ecuación logarítmica.

En la lección Resolver ecuaciones exponenciales solo podías decir que la solución de

2^x = 20

está entre

4

5

. Con logaritmos obtienes el valor exacto

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Además, comprobar el dominio es un hábito que necesitarás en toda ecuación con raíces, fracciones o logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Duplicar los ahorros

El dinero que crece cada año un porcentaje fijo sigue $A = P \cdot (1 + r)^t$. Si despejas el exponente $t$ con logaritmos, sabes cuándo alcanzas una meta de ahorro.

Ejemplo:

Al 6 % de interés anual, el dinero se duplica cuando $1{,}06^t = 2$ , es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ años.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 1000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 8 % de interés anual. Después de $t$ años tienes $1000 \cdot 1{,}08^t$ dólares.

¿Después de cuántos años se ha duplicado el dinero hasta 2000 dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ y escribe el valor exacto de $t$ como cociente de dos logaritmos, en la forma ln(a)/ln(b) (todavía sin redondear):

El volumen en decibelios

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log r$, donde $r = \frac{I}{I_0}$ compara la intensidad de un sonido con la del sonido más débil que puede oír una persona.

Ejemplo:

Una conversación normal tiene unos 60 dB: $10 \log r = 60$ da $\log r = 6$ , así que $r = 10^6$ , un millón de veces el umbral de audición.

2Inténtalo tú mismo

Un cortacésped alcanza 90 dB. Su razón de intensidad $r$ cumple $10 \log r = 90$ .

¿Cuál es la razón de intensidad $r$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $r$ como una potencia de 10:

Bacterias que crecen

Una colonia que se duplica cada hora sigue $N = N_0 \cdot 2^t$. Cuando el tamaño buscado no es una potencia de 2, los logaritmos dan el tiempo exacto.

Ejemplo:

Una colonia de 200 células llega a 1000 células cuando $2^t = 5$ , es decir, al cabo de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ horas.

3Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 500 bacterias y se duplica cada hora.

¿Después de cuántas horas hay 6000 bacterias?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $500 \cdot 2^t = 6000$ y escribe el valor exacto de $t$ como cociente de dos logaritmos, en la forma ln(a)/ln(b) (todavía sin redondear):

Puntos clave

1En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro de un logaritmo, como en $\log_2 x = 3$
2Forma exponencial: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Propiedad inyectiva: de $\log_b M = \log_b N$ se obtiene $M = N$
4Compacta las sumas y restas de logaritmos en un solo logaritmo antes de resolver
5Comprueba cada candidato en la ecuación ORIGINAL: todos los argumentos deben ser positivos; si no, el candidato es una solución extraña
6En ecuaciones exponenciales con bases distintas, toma logaritmos: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Preguntas frecuentes

¿Por qué aparecen soluciones extrañas?

Compactar cambia el dominio.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

necesita

x > 2

, pero

\log_2\big(x(x - 2)\big)

solo necesita

x(x - 2) > 0

, que también se cumple para

x < 0

. Por eso la ecuación compactada puede tener soluciones que la original no tiene, y siempre se comprueba en la ecuación original.

¿Una solución negativa es siempre extraña?

No. Lo que importa es el signo de cada argumento, no el de

x

. En

\log_2(x + 5) = 1

se obtiene

x + 5 = 2

, luego

x = -3

, y el argumento

-3 + 5 = 2

es positivo. La solución

x = -3

es válida.

¿Uso log o ln para resolver $3^x = 20$ ?

Cualquiera de los dos.

\frac{\log 20}{\log 3}

\frac{\ln 20}{\ln 3}

dan el mismo número, aproximadamente

2{,}73

. Es justo la fórmula del cambio de base: los dos son iguales a

\log_3 20

¿Puede una ecuación logarítmica no tener solución?

Sí. En

\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)

los argumentos dan

x - 4 = 2x - 1

, luego

x = -3

. Pero entonces los dos argumentos valen

-7

, lo que no está permitido. El único candidato se descarta, así que la ecuación no tiene solución.

Glosario

Ecuación logarítmica: Una ecuación en la que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo, como $\log_3(2x + 1) = 2$
Forma exponencial: La forma de potencia de un logaritmo: $\log_b A = c$ se escribe $A = b^c$
Propiedad inyectiva: Si $\log_b M = \log_b N$ , entonces $M = N$ (para $M, N > 0$ )
Candidato: Un valor que se obtiene al resolver y que todavía hay que comprobar en la ecuación original
Solución extraña: Un candidato que hace que un argumento de la ecuación original sea cero o negativo y que, por tanto, se descarta
Dominio de un logaritmo: Los valores para los que $\log_b A$ está definido: el argumento debe ser positivo, $A > 0$

Tarjeta de fórmulas

Forma exponencial

\log_b A = c \iff A = b^c

Válida para $b > 0$, $b \neq 1$. Úsala cuando un miembro es un solo logaritmo y el otro es un número.

Propiedad inyectiva

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Úsala cuando cada miembro es un solo logaritmo de la misma base.

Comprobación del dominio

A > 0

Cada argumento $A$ de un logaritmo de la ecuación original debe ser positivo. Si no, el candidato es una solución extraña.

Logaritmo en ambos miembros

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Resuelve ecuaciones exponenciales cuyos miembros no se pueden escribir con la misma base, por ejemplo $3^x = 20$.

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Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Duplicar los ahorros

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Tarjeta de fórmulas

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