Distribución binomial

Aprende a calcular probabilidades para ensayos independientes repetidos con dos resultados.

Avanzado30 minLección
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Definición

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
La probabilidad de exactamente kk éxitos en nn ensayos es:
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Donde:
  • nn = número de ensayos
  • kk = número de éxitos
  • pp = probabilidad de éxito en cada ensayo
  • (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = número de formas de elegir kk éxitos de nn ensayos
Condiciones para una distribución binomial:
  1. 1.Número fijo de ensayos (nn)
  2. 2.Cada ensayo es independiente
  3. 3.Solo dos resultados por ensayo (éxito/fracaso)
  4. 4.Misma probabilidad de éxito (pp) para cada ensayo

Pruébalo ahora

¿Cuál de las siguientes es una condición para una distribución binomial?

Ejemplos resueltos

Lanzas una moneda equilibrada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
1

Identificar los parámetros

n=5n = 5 (lanzamientos), k=3k = 3 (caras), p=0,5p = 0,5 (moneda equilibrada) → n=5, k=3, p=0,5
2

Calcular la combinación

(53)=5!3!(5−3)!=5!3!2!=1206×2=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10 → 10 formas
3

Calcular la probabilidad de éxito

pk=0,53=0,125p^k = 0,5^3 = 0,125
4

Calcular la probabilidad de fracaso

(1−p)n−k=0,52=0,25(1-p)^{n-k} = 0,5^2 = 0,25
5

Multiplicar todas las partes

P(X=3)=10×0,125×0,25=0,3125P(X=3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 = 0,3125 → 0,3125 o 31,25%

Errores comunes

Olvidar incluir la combinación (nk)\binom{n}{k}

Por qué está mal: La combinación cuenta DE CUÁNTAS FORMAS se pueden organizar kk éxitos entre nn ensayos. Sin ella, solo calculas la probabilidad de UNA disposición específica.

Correcto: Siempre usa la fórmula completa: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Usar pp tanto para los términos de éxito COMO de fracaso

Por qué está mal: La probabilidad de fracaso es 1−p1-p, no pp. Si el éxito es 0,3, el fracaso debe ser 0,7.

Correcto: Usa pkp^k para éxitos y (1−p)n−k(1-p)^{n-k} para fracasos.

Confundir 'al menos' con 'exactamente'

Por qué está mal: 'Exactamente 3' significa P(X=3)P(X=3), pero 'al menos 3' significa P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+...P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + ...

Correcto: Para 'al menos', suma las probabilidades de todos los valores desde ese número hasta nn. O usa el complemento: P(X≥k)=1−P(X<k)P(X \geq k) = 1 - P(X < k)

Visual interactivo

Gráfico de barras

n = 5, p = 0,5 (moneda justa)

0(0,03)
1(0,16)
2(0,31)
3(0,31)
4(0,16)
5(0,03)

Gráfico de barras

n = 6, p = 0,75 (tiros libres)

0(0)
1(0)
2(0,03)
3(0,13)
4(0,3)
5(0,36)
6(0,18)

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

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Problemas de práctica

17 problemas
Problema 1 de 17
Fácil
¿Cuál de las siguientes es una condición para una distribución binomial?

Por qué es importante

La distribución binomial aparece en todas partes en la vida real:
  • Control de calidad: ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de 100 productos sean defectuosos?
  • Medicina: Si un medicamento funciona el 80% de las veces, ¿cuál es la probabilidad de que ayude al menos a 7 de 10 pacientes?
  • Deportes: ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador de baloncesto anote exactamente 6 de 10 tiros libres?
  • Genética: Si un rasgo tiene 25% de probabilidad de heredarse, ¿qué tan probable es que 2 de 4 hijos lo hereden?
Entender la distribución binomial te ayuda a hacer predicciones y tomar decisiones informadas cuando lidias con situaciones repetidas de sí/no.

Aplicaciones del mundo real

Ensayos clínicos

Las empresas farmacéuticas usan la distribución binomial para analizar la efectividad de medicamentos en ensayos clínicos.

Ejemplo:

Si un nuevo medicamento tiene una tasa de éxito del 75%, la probabilidad de que exactamente 8 de 10 pacientes mejoren se calcula con la fórmula binomial.

1Inténtalo tú mismo

Una vacuna es 90% efectiva. Vacunas a 5 personas.

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 personas desarrollen inmunidad?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula binomial con n=5n=5, k=4k=4, p=0,9p=0,9:

Análisis deportivo

Entrenadores y analistas usan probabilidades binomiales para predecir resultados de partidos y rendimiento de jugadores.

Ejemplo:

Si un jugador de baloncesto tiene un porcentaje de tiros libres del 70%, la distribución binomial calcula la probabilidad de anotar un número específico de tiros.

2Inténtalo tú mismo

Un futbolista anota penaltis el 80% de las veces. Tira 4 penaltis.

¿Cuál es la probabilidad de que anote exactamente 3?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Aplica la fórmula binomial:

Puntos clave

  • 1La distribución binomial modela kk éxitos en nn ensayos independientes con probabilidad de éxito pp
  • 2Fórmula: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
  • 3La combinación (nk)\binom{n}{k} cuenta el número de formas de organizar los éxitos
  • 4Condiciones: nn fijo, ensayos independientes, dos resultados, pp constante
  • 5Media: μ=np\mu = np y Desviación estándar: σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Preguntas frecuentes

Úsala cuando tienes un número fijo de ensayos independientes, cada uno con solo dos resultados (éxito/fracaso), y la probabilidad de éxito permanece constante en cada ensayo.
Úsala cuando tienes un número fijo de ensayos independientes, cada uno con solo dos resultados (éxito/fracaso), y la probabilidad de éxito permanece constante en cada ensayo.
La binomial es para conteos discretos (números enteros de éxitos), mientras que la normal es para datos continuos. Sin embargo, cuando nn es grande y pp no es muy extremo, la binomial puede aproximarse con la normal.
O sumas P(X=k)+P(X=k+1)+...+P(X=n)P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n), o usas el complemento: P(X≥k)=1−P(X<k)=1−[P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k−1)]P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k-1)].

Glosario

Distribución binomial
Una distribución de probabilidad para el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes
Ensayo
Un experimento u observación individual con dos resultados posibles
Ensayo de Bernoulli
Un experimento con exactamente dos resultados: éxito (probabilidad pp) o fracaso (probabilidad 1−p1-p)
Combinación
(nk)\binom{n}{k} representa el número de formas de elegir kk elementos de nn elementos, sin importar el orden
Eventos independientes
Eventos donde el resultado de uno no afecta la probabilidad del otro

Tarjeta de fórmulas

Probabilidad

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos

Combinación

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Número de formas de elegir k de n

Media

μ=np\mu = np

Número esperado de éxitos

Varianza

σ2=np(1−p)\sigma^2 = np(1-p)

Dispersión de la distribución

Desviación estándar

σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Raíz cuadrada de la varianza

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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