Distribuciones muestrales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Una encuesta a 200 votantes elegidos al azar muestra que el 54 % apoya una nueva ley. En esta situación, el 54 % es...
1. a)error típico
2. b)parámetro
3. c)estadístico
4. d)población
Respuesta: estadístico
El 54 % se calculó con una muestra de 200 votantes, así que es un estadístico ( $\hat{p} = 0{,}54$ ). La proporción entre TODOS los votantes sería el parámetro $p$ .
2.
Una población tiene desviación estándar $\sigma = 18$ . ¿Cuál es el error típico de la media muestral para muestras de tamaño $n = 36$ ?
Respuesta: 3
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{18}{\sqrt{36}} = \dfrac{18}{6} = 3$ .
3.
Una población tiene media $\mu = 40$ y desviación estándar $\sigma = 8$ . ¿Cuál es la media de la distribución muestral de $\bar{x}$ para muestras de tamaño $n = 25$ ?
1. a)8
2. b)40
3. c)200
4. d)1,6
Respuesta: 40
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 40$ , sea cual sea el tamaño de la muestra. El tamaño solo cambia la dispersión: el error típico es $8 / \sqrt{25} = 1{,}6$ .
4.
Los tornillos de una máquina tienen una longitud media $\mu = 50$ mm y $\sigma = 2$ mm. Un operario mide muestras aleatorias de 16 tornillos. Halla la media y el error típico de $\bar{x}$ .
Respuesta: 0.5
1. ¿Cuál es la media de la distribución muestral, $\mu_{\bar{x}}$ (en mm)? 50
2. ¿Cuánto vale $\sqrt{16}$ ? 4
3. ¿Cuánto vale el error típico $2 / 4$ (en mm)? 0.5
5.
Las puntuaciones de CI tienen $\mu = 100$ y $\sigma = 10$ en un grupo de prueba. ¿Cuál es el error típico del CI medio de muestras aleatorias de $n = 100$ personas?
Respuesta: 1
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = \dfrac{10}{10} = 1$ . La media $\mu = 100$ no influye en el error típico.
6.
El 20 % de las aplicaciones de una tienda son juegos ( $p = 0{,}2$ ). Tomas muestras aleatorias de $n = 100$ aplicaciones. Comprueba las condiciones y halla el error típico de $\hat{p}$ .
Respuesta: 0.04
1. ¿Cuánto vale $np = 100 \cdot 0{,}2$ ? 20
2. ¿Cuánto vale $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}8$ ? 80
3. Ambos son al menos 10. ¿Cuánto vale $\sqrt{\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{100}}$ ? 0.04
7.
Los precios de las viviendas de una región tienen una fuerte asimetría a la derecha. ¿Con qué tamaño de muestra la distribución muestral del precio medio se parece más a una normal?
1. a)n = 5
2. b)n = 10
3. c)n = 40
4. d)n = 15
Respuesta: n = 40
La población es asimétrica, así que solo una muestra grande hace que $\bar{x}$ sea aproximadamente normal (teorema central del límite, regla práctica $n \geq 30$ ). De las opciones, solo $n = 40$ cumple.
8.
Una población tiene $\mu = 80$ y $\sigma = 12$ . Una muestra aleatoria de $n = 16$ tiene media $\bar{x} = 86$ . ¿Cuál es la puntuación z de esta media muestral?
Respuesta: 2
Error típico $= 12 / 4 = 3$ , así que $z = \dfrac{86 - 80}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$ . La media muestral está 2 errores típicos por encima de $\mu$ .
9.
Una población tiene $\sigma = 20$ . Compara el error típico de $\bar{x}$ para $n = 25$ y para $n = 100$ .
Respuesta: 0.5
1. ¿Cuál es el error típico para $n = 25$ ? 4
2. ¿Cuál es el error típico para $n = 100$ ? 2
3. ¿Cuánto vale (error típico nuevo) $\div$ (error típico anterior)? 0.5
10.
Una moneda es justa ( $p = 0{,}5$ ). La lanzas $n = 100$ veces y anotas la proporción de caras $\hat{p}$ . ¿Cuál es el error típico de $\hat{p}$ ?
1. a)0,0025
2. b)0,5
3. c)0,05
4. d)0,25
Respuesta: 0,05
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$ . El valor 0,0025 es la varianza (falta la raíz), 0,25 es $p(1-p)$ y 0,5 es el propio $p$ .
11.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con $\mu = 70$ y $\sigma = 15$ . Para una clase aleatoria de $n = 25$ alumnos, halla $P(\bar{x} < 67)$ . Usa $P(Z < -1) = 0{,}1587$ .
Respuesta: 0.1587
1. ¿Cuánto vale $\sqrt{25}$ ? 5
2. ¿Cuánto vale el error típico $15 / 5$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $z = \dfrac{67 - 70}{3}$ ? -1
4. ¿Cuánto vale $P(\bar{x} < 67)$ ? 0.1587
12.
Las baterías de un móvil duran $\mu = 50$ horas con $\sigma = 12$ horas. Para una muestra aleatoria de $n = 36$ baterías, halla $P(\bar{x} > 54)$ . Usa $P(Z < 2) = 0{,}9772$ y da el resultado como número decimal.
Respuesta: 0.0228
$n = 36 \geq 30$ , así que $\bar{x}$ es aproximadamente normal. Error típico $= 12 / 6 = 2$ , $z = \dfrac{54 - 50}{2} = 2$ , $P(\bar{x} > 54) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .
13.
Alrededor del 5 % de las bombillas de una fábrica son defectuosas ( $p = 0{,}05$ ). Una inspectora toma muestras aleatorias de $n = 120$ bombillas. ¿Puede usar el modelo normal para $\hat{p}$ ? Si no, ¿qué tamaño debe tener $n$ ?
Respuesta: 200
1. ¿Cuánto vale $np = 120 \cdot 0{,}05$ ? 6
2. ¿Cuánto vale $n(1-p) = 120 \cdot 0{,}95$ ? 114
3. ¿Sirve el modelo normal? No
4. ¿Cuál es el menor $n$ con $n \cdot 0{,}05 \geq 10$ ? 200
14.
El peso de las manzanas sigue una distribución normal con $\mu = 180$ g y $\sigma = 20$ g. Halla la probabilidad de que UNA manzana pese más de 185 g, y de que la media de una bolsa de 16 manzanas supere los 185 g. Usa $P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987$ y $P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Respuesta: 0.1587
1. ¿Puntuación z de una manzana de 185 g: $\dfrac{185 - 180}{20}$ ? 0.25
2. ¿ $P$ (una manzana $> 185$ g)? 0.4013
3. ¿Error típico de la media de la bolsa, $20 / \sqrt{16}$ ? 5
4. ¿Puntuación z de una media de bolsa de 185 g? 1
5. ¿ $P$ (media de la bolsa $> 185$ g)? 0.1587
15.
¿Qué afirmación sobre el teorema central del límite es correcta?
1. a)El error típico crece cuando crece el tamaño de la muestra
2. b)Para n grande, la propia población se vuelve normal
3. c)Solo funciona cuando la población ya es normal
4. d)Para n grande, la media muestral es aproximadamente normal sea cual sea la forma de la población
Respuesta: Para n grande, la media muestral es aproximadamente normal sea cual sea la forma de la población
El teorema central del límite dice que para $n$ grande la distribución de la MEDIA muestral es aproximadamente normal, sea cual sea la forma de la población. No cambia la población, también funciona con poblaciones no normales, y el error típico $\sigma / \sqrt{n}$ disminuye, no aumenta, cuando $n$ crece.
16.
Los tiempos de entrega tienen $\sigma = 15$ minutos. Una empresa quiere que el error típico del tiempo medio de entrega sea de 1,5 minutos. ¿Cuántas entregas debe registrar? ¿Y para un error típico de 0,75 minutos?
Respuesta: 400
1. Si $15 / \sqrt{n} = 1{,}5$ , ¿cuánto vale $\sqrt{n}$ ? 10
2. Entonces, ¿cuánto vale $n$ ? 100
3. Si $15 / \sqrt{n} = 0{,}75$ , ¿cuánto vale $\sqrt{n}$ ? 20
4. ¿Cuánto vale $n$ ahora? 400
17.
El 40 % de los hogares de una ciudad tiene mascota ( $p = 0{,}4$ ). Para una muestra aleatoria de $n = 150$ hogares, halla $P(\hat{p} > 0{,}46)$ . Usa $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ y da el resultado como número decimal.
Respuesta: 0.0668
Condiciones: $np = 60$ , $n(1-p) = 90$ , ambos al menos 10. Error típico $= \sqrt{0{,}24 / 150} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . $z = \dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = 1{,}5$ , así que $P(\hat{p} > 0{,}46) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
18.
Las lámparas LED duran $\mu = 1000$ horas con $\sigma = 80$ horas. Para una muestra aleatoria de $n = 64$ lámparas, halla $P(990 < \bar{x} < 1020)$ . Usa $P(Z < -1) = 0{,}1587$ y $P(Z < 2) = 0{,}9772$ .
Respuesta: 0.8185
1. ¿Cuánto vale el error típico $80 / \sqrt{64}$ ? 10
2. ¿Cuál es la puntuación z de $\bar{x} = 990$ ? -1
3. ¿Cuál es la puntuación z de $\bar{x} = 1020$ ? 2
4. ¿Cuánto vale $P(990 < \bar{x} < 1020)$ ? 0.8185