Guía del profesor: Distribuciones muestrales

Aprende cómo varían las medias y las proporciones muestrales de una muestra a otra, qué es el error típico y por qué el teorema central del límite las hace aproximadamente normales.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Distinguir un parámetro de un estadístico y usar bien los símbolos $\mu$ , $\sigma$ , $p$ , $\bar{x}$ , $\hat{p}$
Hallar la media y el error típico de la distribución muestral de $\bar{x}$ y de $\hat{p}$
Enunciar el teorema central del límite y decidir cuándo una distribución muestral es aproximadamente normal
Calcular probabilidades sobre una media o una proporción muestral con puntuaciones z y la tabla de la normal
Explicar por qué las muestras grandes dan estimaciones más precisas y hallar el tamaño de muestra para un error típico dado

Requisitos previos

• Introducción a la distribución normal: media, desviación estándar y campana de Gauss
• Puntuaciones z (tipificación): $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$
• Distribución normal estándar: lectura de la tabla
• Probabilidades con la distribución normal: áreas a la izquierda, a la derecha y entre valores
• Calcular la desviación estándar: dispersión de un conjunto de datos

Iniciadores de discusión

1. Dos encuestas sobre las mismas elecciones dan un 48 % y un 52 %. ¿Significa eso que una de ellas se equivocó?
2. ¿Por qué es mucho más difícil que la media de 36 baterías esté por debajo de 47 horas que lo esté una sola batería?
3. Una empresa dice que encuestó a 10 clientes y que el 90 % estaba contento. ¿Qué querrías saber antes de fiarte de ese número?
4. ¿Por qué duplicar el tamaño de la muestra no reduce el error típico a la mitad?

Conceptos erróneos comunes

Una muestra grande hace que los datos sean normales

Remediación: En el simulador, compara el histograma de UNA muestra grande (se parece a la población asimétrica) con el histograma de muchas MEDIAS muestrales (se convierte en una campana).

El error típico y la desviación estándar son lo mismo

Remediación: Muestra el panel de la población ( $\sigma$ ) junto a la desviación estándar de las medias en el simulador. Pide a los alumnos que predigan la segunda con $\sigma / \sqrt{n}$ antes de pulsar el botón.

Una población más grande necesita una muestra más grande

Remediación: Muestra que la fórmula $\sigma / \sqrt{n}$ no contiene el tamaño de la población. Compara con probar una sopa: una cucharada revela igual de bien el sabor de una olla pequeña o grande, si está bien removida.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empieza con el simulador del dado y solo con el centro: las medias siempre se acumulan alrededor de 3,5
• Da una tabla con $n$ , $\sqrt{n}$ y $\sigma / \sqrt{n}$ para cuadrados perfectos (4, 9, 16, 25, 36, 100)
• Practica clasificar números en parámetros y estadísticos antes de cualquier fórmula

Para estudiantes de nivel:

• Calcular errores típicos y puntuaciones z de medias muestrales con la tabla de la normal
• Comprobar las condiciones del modelo normal para $\hat{p}$ y calcular su error típico
• Comparar la probabilidad para un valor suelto con la probabilidad para una media muestral

Para estudiantes avanzados:

• Hallar el tamaño de muestra necesario para un error típico o un margen de error dado
• Explorar las poblaciones asimétrica y bimodal para ver lo rápido que actúa el teorema central del límite
• Deducir $\sigma / \sqrt{n}$ a partir de la regla de que las varianzas de valores independientes se suman

Alineación con estándares

HSS-IC.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.A.1)
Entender la estadística como un proceso para hacer inferencias sobre parámetros de una población a partir de una muestra aleatoria
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Usar datos de una encuesta por muestreo para estimar una media o una proporción poblacional; desarrollar un margen de error mediante simulaciones de muestreo aleatorio
HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Usar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlo a una distribución normal y estimar porcentajes de la población

Recursos de la lección

visualSimulador de muestreo
Saca 1, 100 o 1000 muestras de una población asimétrica, de un dado o de una población sí/no y observa cómo el histograma de las medias se vuelve normal
activityExperimento con dados en clase
Cada alumno lanza 5 dados y dice la media; la clase construye un diagrama de puntos de las medias y lo compara con las tiradas sueltas
worksheetProbabilidades de medias y proporciones
Práctica de errores típicos, comprobación de condiciones y probabilidades con la tabla para medias y proporciones muestrales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un parámetro es un número que describe toda una población, por ejemplo la media poblacional

\mu

, la desviación estándar (o desviación típica) poblacional

\sigma

o la proporción poblacional

p

. Un estadístico es un número calculado a partir de una muestra, por ejemplo la media muestral

\bar{x}

o la proporción muestral

\hat{p}

. El parámetro es fijo (aunque normalmente desconocido); el estadístico cambia de una muestra a otra.

La distribución muestral de un estadístico es la distribución de sus valores en todas las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño

n

Distribución muestral de la media $\bar{x}$

Centro: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (las medias muestrales se centran en la media poblacional)
Dispersión: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , llamada error típico (error estándar)
Forma (teorema central del límite): si la población es normal, $\bar{x}$ es normal para cualquier $n$ . Si no, $\bar{x}$ sigue siendo aproximadamente normal cuando $n$ es grande, normalmente con $n \geq 30$ .

Por eso, una probabilidad sobre una media muestral usa la puntuación z

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribución muestral de la proporción $\hat{p}$

Centro: $\mu_{\hat{p}} = p$
Dispersión: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Forma: aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Estas fórmulas suponen una muestra aleatoria de valores independientes (en la práctica: la muestra es menos de un 10 % de la población, aproximadamente).

Ejemplos resueltos

Un instituto tiene 1200 alumnos. Su estatura media es de 165 cm. Un proyecto de clase mide una muestra aleatoria de 50 alumnos y obtiene una estatura media de 163,2 cm. ¿Qué número es un parámetro y cuál es un estadístico?

Busca el número que describe toda la población

165 cm es la media de los 1200 alumnos → Parámetro:

\mu = 165

Busca el número que viene de la muestra

163,2 cm es la media de los 50 alumnos medidos → Estadístico:

\bar{x} = 163{,}2

Piensa en una segunda muestra

Otra muestra aleatoria de 50 alumnos daría una media algo distinta, por ejemplo 166,0 cm →

\bar{x}

varía,

\mu

es fijo

Respuesta: $\mu = 165$ cm es el parámetro, $\bar{x} = 163{,}2$ cm es un estadístico. El estadístico cambia de una muestra a otra, y eso es justo lo que describe una distribución muestral.

Errores comunes

Usar $\sigma$ en lugar de $\sigma / \sqrt{n}$ en una pregunta sobre una media muestral

Por qué está mal: $\sigma$ es la dispersión de los valores sueltos. Las medias varían mucho menos, así que con $\sigma$ las medias poco habituales parecen demasiado probables.

Correcto: Para $\bar{x}$ divide siempre entre el error típico: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Para un solo valor, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Dividir entre $n$ en lugar de entre $\sqrt{n}$

Por qué está mal: Con $\sigma = 12$ y $n = 36$ , dividir entre $n$ da $0{,}33$ en lugar del error típico correcto $2$ , así que cada puntuación z sale 6 veces más grande.

Correcto: Calcula primero la raíz cuadrada de $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Creer que el teorema central del límite hace normal la población o los datos

Por qué está mal: Una muestra grande de una población asimétrica sigue siendo asimétrica: su histograma se parece a la población. Solo la distribución de las MEDIAS muestrales se vuelve normal.

Correcto: El teorema central del límite trata de la distribución muestral de $\bar{x}$ , no de los valores individuales.

Usar el modelo normal para $\hat{p}$ sin comprobar $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Por qué está mal: Con $p = 0{,}05$ y $n = 40$ tenemos $np = 2$ : la mayoría de las muestras tienen 0, 1, 2 o 3 éxitos, y la distribución de $\hat{p}$ es muy asimétrica.

Correcto: Comprueba primero las dos condiciones. Si una falla, toma una muestra más grande o usa la distribución binomial.

Por qué es importante

Casi todos los números de encuestas que salen en las noticias son estadísticos, no parámetros:

Encuestas electorales: una encuesta a 1000 votantes estima la proporción entre todos los votantes. El error típico te dice a qué distancia de la verdad es probable que esté la encuesta.
Control de calidad: una fábrica comprueba el peso medio de una muestra de paquetes en lugar de pesar cada paquete.
Medicina: un ensayo clínico mide el efecto medio en unos cientos de pacientes y saca conclusiones para todos.
Ciencia: hacer la media de mediciones repetidas reduce el error aleatorio.

La idea clave: el error típico

\sigma / \sqrt{n}

disminuye cuando la muestra crece. Cuatro veces más personas reducen el error a la mitad; por eso las encuestas grandes son más precisas. Además, el teorema central del límite te permite usar la distribución normal, las puntuaciones z y la tabla de la normal que ya conoces, incluso cuando la población no es normal.

Aplicaciones del mundo real

Encuestas electorales

Las empresas de sondeos preguntan a unas 1000 personas y publican un margen de error. Ese margen sale directamente del error típico de $\hat{p}$.

Ejemplo:

Si el apoyo real es $p = 0{,}5$ , una encuesta a 1000 personas tiene error típico $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , así que cerca del 95 % de esas encuestas quedan a unos 3 puntos porcentuales de la verdad como mucho.

1Inténtalo tú mismo

Una encuesta más pequeña pregunta a $n = 400$ votantes elegidos al azar. El apoyo real a una candidata es $p = 0{,}5$ .

¿Cuál es el error típico de la proporción muestral $\hat{p}$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Control de calidad en una cafetería

Las máquinas que llenan vasos se vigilan con la media de muestras pequeñas. Una media demasiado lejos del objetivo, medida en errores típicos, hace saltar una alarma.

Ejemplo:

Una máquina llena vasos con $\mu = 250$ mL y $\sigma = 8$ mL. Un inspector mide 16 vasos, así que el error típico es $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Inténtalo tú mismo

Los 16 vasos tienen una media de $\bar{x} = 246$ mL. La máquina está ajustada a $\mu = 250$ mL con $\sigma = 8$ mL.

¿Cuál es la puntuación z de esta media muestral?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Planificar un estudio médico

Antes de empezar un estudio, los investigadores eligen el tamaño de la muestra para que el error típico sea lo bastante pequeño. Por la raíz cuadrada, reducir el error a la mitad exige cuatro veces más pacientes.

Ejemplo:

La presión arterial tiene $\sigma = 20$ mmHg. Con 25 pacientes el error típico es $20 / 5 = 4$ mmHg; con 100 pacientes es $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Inténtalo tú mismo

Unos investigadores quieren que el error típico de la presión media sea de 2 mmHg. La desviación estándar poblacional es $\sigma = 20$ mmHg.

¿Cuántos pacientes necesitan?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

De $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ se obtiene $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Puntos clave

1Un parámetro ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) describe la población y es fijo; un estadístico ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) sale de una muestra y varía de una muestra a otra
2La distribución muestral de $\bar{x}$ tiene media $\mu$ y error típico $\sigma / \sqrt{n}$
3Teorema central del límite: con $n \geq 30$ (aproximadamente) la media muestral es aproximadamente normal sea cual sea la forma de la población; si la población es normal, para cualquier $n$
4Para una probabilidad sobre una media muestral usa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ y la tabla de la normal
5La proporción muestral $\hat{p}$ tiene media $p$ y error típico $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; es aproximadamente normal cuando $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$
6Las muestras grandes dan estimaciones más precisas: multiplicar el tamaño por cuatro reduce el error típico a la mitad

Preguntas frecuentes

¿Por qué el error típico usa $\sqrt{n}$ y no $n$ ?

La varianza de una media de

n

valores independientes es

\sigma^2 / n

. El error típico es su raíz cuadrada:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Por eso necesitas cuatro veces más valores para reducir el error a la mitad.

¿Es 30 un número mágico?

No, es una regla práctica. Si la población ya es casi normal, bastan muestras mucho más pequeñas; si es muy asimétrica (como los ingresos), puede que necesites más de 30. Pruébalo en el simulador: la población asimétrica necesita un

n

mayor que el dado.

¿Qué diferencia hay entre desviación estándar y error típico?

La desviación estándar

\sigma

mide cuánto varían los valores sueltos. El error típico

\sigma / \sqrt{n}

mide cuánto varía un estadístico, como la media muestral, de una muestra a otra. Para

n > 1

el error típico siempre es menor.

¿Importa el tamaño de la población?

Casi nada, siempre que la muestra sea una parte pequeña de la población (menos de un 10 % aproximadamente). Una muestra aleatoria de 1000 personas es más o menos igual de precisa para una ciudad que para un país entero. Lo que importa es el tamaño de la muestra

n

Glosario

Parámetro: Número que describe toda una población, como $\mu$ , $\sigma$ o $p$ ; normalmente desconocido
Estadístico: Número calculado a partir de una muestra, como $\bar{x}$ o $\hat{p}$ ; cambia de una muestra a otra
Distribución muestral: Distribución de un estadístico en todas las muestras aleatorias posibles del mismo tamaño $n$
Error típico: Desviación estándar de una distribución muestral, por ejemplo $\sigma / \sqrt{n}$ para la media muestral
Teorema central del límite: Para $n$ grande la distribución muestral de la media es aproximadamente normal, sea cual sea la forma de la población
Proporción muestral: Fracción de éxitos en una muestra, $\hat{p} = \dfrac{\text{número de éxitos}}{n}$

Tarjeta de fórmulas

Media de la media muestral

\mu_{\bar{x}} = \mu

Las medias muestrales se centran en la media poblacional

Error típico de la media

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersión de las medias muestrales; disminuye cuando $n$ crece

Puntuación z de una media muestral

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Úsala con la tabla de la normal cuando $n \geq 30$ o la población es normal

Error típico de una proporción

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modelo normal si $np \geq 10$ y $n(1-p) \geq 10$

Más sobre este tema

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Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Distribución muestral de la media xˉ\bar{x}xˉ

Distribución muestral de la proporción p^\hat{p}p^​

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Encuestas electorales

Control de calidad en una cafetería

Planificar un estudio médico

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Media de la media muestral

Error típico de la media

Puntuación z de una media muestral

Error típico de una proporción

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Distribución muestral de la media $\bar{x}$

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